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    一道考

    2011-12-29 00:00:00胡守華
    數(shù)學教學通訊·高中版 2011年10期


      摘要:本文對2011年四川省高考數(shù)學理科卷第21題的第二個問題展開五層探究,總結得到六個命題.
      關鍵詞:高考題;探究
      
      2011年四川省高考數(shù)學理科卷第21題為:橢圓有兩頂點A(-1,0),B(1,0),過其焦點F(0,1)的直線l與橢圓交于C,D兩點,并與x軸交于點P,直線AC與BD交于點Q. (1)略;(2)當點P異于A,B兩點時,求證:? 為定值.
      
      圖1
      此橢圓中b=c=1,可證得?=1. ?與b或c存在某種內在聯(lián)系嗎?由此引發(fā)第一層探究.
      
      探究1:定值的特殊性
      命題1:已知橢圓+=1的兩頂點A(-b,0),B(b,0),過焦點F(0,c)的直線l與橢圓交于C,D兩點,并與x軸交于點P,點P異于A,B兩點,直線AC與BD交于點Q,則?=b2.
      證明:直線l顯然存在斜率,設其方程為y=kx+ck≠0,k≠±,點C,D的坐標分別設為(x1,y1),(x2,y2),.
      由y=kx+c,+=1, 消去y得(b2k2+a2)x2+2b2ckx-b4=0,故x1+x2=-,x1x2= -.
      直線AC的方程為y=(x+b),直線BD的方程為y=?(x-b).
      故=,由-b  y1y2=(kx1+c)(kx2+c)=k2x1x2+kc?(x1+x2)+c2=-?,則與y1y2異號,故=,解得x=-. 所以?=-,0?-,y=b2. 至此命題1得證.
      如果直線l經(jīng)過橢圓長軸上的任意一點(不含中心)而其他條件不變,此時?=b2是否仍然成立?由此引發(fā)第二層探究.
      
      探究2:由長軸上的特殊點變?yōu)殚L軸上任意點
      命題2:已知橢圓+=1的兩頂點A(-b,0),B(b,0),過長軸上任意點F(0,m) (0  證明:設直線l的方程為y=kx+mk≠0,k≠±,0  2=?==2,y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+km?;(x1+x2)+m2= -?(bk+m)(bk-m),故=,解得x=-. 所以?=-,0?-,y=b2,至此命題2得證.
      如果把直線l過長軸上的任意點改為過短軸上的任意點(不含中心),那么?=b2仍然成立嗎?由此引發(fā)第三層探究.
      
      探究3:由直線過長軸上的任意點變?yōu)橹本€過短軸上任意點
      命題3:已知橢圓+=1的兩頂點A(0,-a),B(0,a),過短軸上任意點(m,0)(0  此命題的證明可參照命題1和命題2的證明,不再贅述.
      以上探究都基于直線過橢圓長、短軸上的點,若放開目光,在橢圓上選取動點,與頂點作連線,又將帶來什么新的發(fā)現(xiàn)?由此引發(fā)第四層探究.
      
      探究4:由長、短軸上的任意點變?yōu)闄E圓上任意點
      命題4:已知橢圓+=1的兩頂點A(-b,0),B(b,0),點M是橢圓上除頂點外的任意點,直線MA,MB分別與y軸交于點P,Q,則?=a2.
      
      圖1
      證明:設壓縮變換f把點(x,y)變?yōu)辄c(x1,y1),且滿足
      x1=x,y1=y. 在f的作用下橢圓+=1變?yōu)閳Ax2+y2=a2. 如圖1所示,橢圓上的點A,B,M分別變?yōu)閳A上的點A1,B1,M1,點O,P,Q在變換前后保持不變,直線A1M1與直線B1M1與y軸的交點仍是點P,Q.
      容易看出Rt△A1OP∽Rt△QOB1,所以=,故OP?OQ=OA1?OB1=a2.
      所以在橢圓+=1中,?=OP?OQ=a2,至此命題3得證.
      類比推理,不難得到與命題4類似的命題.
      命題5:已知橢圓+=1的兩頂點A(0,-a),B(0,a),點M是橢圓上除頂點外的任意點,直線MA,MB分別與x軸交于點P,Q,則?=b2.
      此命題的證明可參照命題4的證明,不再贅述.
      在探究4中,橢圓上的動點分別與橢圓的頂點作連線,如果橢圓上的動點與兩焦點作連線,又將如何?由此引發(fā)第五層探究.
      
      探究5:由橢圓上任意點與頂點相連變?yōu)榕c焦點相連
      命題6:已知橢圓+=1,M是橢圓上的任意點,MF1,MF2分別與橢圓交于點A,B,設=λ,=μ,則λ+μ=2(e為橢圓離心率).
      證明:若M是橢圓的長軸頂點,結論易于證明;反之則設點M的坐標為(x0,y0)(x0≠0),MF1,MF2的直線方程分別是y=x+c,y=x-c.
      由y=x+c,+=1,
      得?x2+x-b2=0,故x0xA=,則xA=. 同理得xB=.
      則λ+μ=+=+=.
      命題5得證.
      至此本文完成了對此道高考題的五層探究. 每年的高考試題無不凝集著命題者的智慧和汗水,給我們日常的數(shù)學教學提供了豐富的、寶貴的鮮活資源. 作為一線教學者,我們理應重視對高考試題的深入思考和理性探究,洞察命題的設想和解題的思路,才能在豐富的變化中把握客觀規(guī)律,才能更好地應用于數(shù)學教學.
      

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