等比數(shù)列復(fù)習(xí)中易錯(cuò)點(diǎn)的分析與對(duì)策

　　摘要：等比數(shù)列是高中階段一種重要的數(shù)列模型，也是高考重要考點(diǎn)之一，本文結(jié)合筆者在一輪復(fù)習(xí)教學(xué)過(guò)程中的感受和啟發(fā)淺談等比數(shù)列中的易錯(cuò)問(wèn)題．
　　關(guān)鍵詞：等比數(shù)列；等差數(shù)列；規(guī)律總結(jié)；參考方略與突破
　　
　　等比數(shù)列是高中階段一種重要的數(shù)列模型，也是高考重要考點(diǎn)之一，筆者結(jié)合一輪復(fù)習(xí)教學(xué)過(guò)程中的感受和啟發(fā)淺談等比數(shù)列中的易錯(cuò)問(wèn)題，并就錯(cuò)誤原因分析與應(yīng)對(duì)、例題解析、參考方略與突破這三個(gè)方面作簡(jiǎn)要總結(jié)．
　　
　　易錯(cuò)點(diǎn)分類剖析
　　易錯(cuò)點(diǎn)1混淆等比數(shù)列與等差數(shù)列的性質(zhì)
　　例1各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列｛ａn｝的前n項(xiàng)和為Sn，若Sn=2，S3n=14，則S=_______．
　　解析：設(shè)S2n=x，S2n－Sn=x－2，S3n－S2n=14－x，由Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比數(shù)列，得（x－2）2=2（14－x），即x2－2x－24=0，解得x1=－4（舍），x2=6，即S2n=6． 數(shù)列Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…的公比為2，所以S4n－S3n=2?23=16，所以S4n=16+S3n=30．
　　誤區(qū)1：錯(cuò)認(rèn)為Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…為等差數(shù)列；
　　誤區(qū)2：把此性質(zhì)錯(cuò)認(rèn)為Sn，S2n，S3n，…為等比數(shù)列．
　　易錯(cuò)點(diǎn)2 思維定式致使出錯(cuò)
　　例2設(shè)等比數(shù)列｛ａn｝的公比為q，前n項(xiàng)和Sn>0（n∈N*）．
　?。?）求q的取值范圍；
　?。?）設(shè)bn=an+2－an+1，記｛bn｝的前n項(xiàng)和為Tn，試比較Sn和Tn的大?。?br/>　　解析：（1）因?yàn)椋醤｝是等比數(shù)列，Sn>0，可得a1=S1>0，q≠0． 當(dāng)q=1時(shí)，Sn=na1>0；當(dāng)q≠1時(shí)，Sn=>0，即>0?圳1－q<0，1－qn<0，①或1－q>0，1－qn>0.②
　　解①得q>1；解②，由于n可為奇數(shù)，也可為偶數(shù)，得－1　　綜上所述，q的取值范圍是（－1，0）∪（0，+∞）．
　?。?）由bn=an+2－an+1得
　　bn=anq2－q，T=q2－qSn，于是Tn－Sn=Snq2－q－1=Snq+（q－2）． 又S>0，且－10，則當(dāng)－12時(shí)，Tn－Sn>0，即Tn>Sn；當(dāng)－　　誤區(qū)1：在求q的取值范圍時(shí)，尤其是在解第二個(gè)不等式時(shí)，容易忽視對(duì)n為偶數(shù)的討論．
　　誤區(qū)2：在比較Sn與Tn的大小時(shí)，直接作差，造成計(jì)算量大、不易求解．
　　易錯(cuò)點(diǎn)3混淆等比數(shù)列的肯定與否定的證明
　　例3等差數(shù)列｛ａn｝的前n項(xiàng)和為Sn，a1=1+，S3=9+3．
　?。?）求數(shù)列｛ａn｝的通項(xiàng)an與前n項(xiàng)和Sn；
　?。?）設(shè)bn=，求證：數(shù)列｛ｂｎ｝中任意不同三項(xiàng)都不可能成為等比數(shù)列．
　　解析：（1）由已知得a1=+1，3a1+3d=9+3，所以d=2，故an=2n－1+，Sn=n（n+）．
　?。?）由（1）得bn==n+． 假設(shè)數(shù)列｛ｂn｝中存在三項(xiàng)09e87c450388b21eda997f9e16c8bb87bp，bq，br（p，q，r互不相等）成等比數(shù)列，則b=bpbr，即（q+）2=（p+）（r+），所以（q2－pr）+（2q－p－r）=0． 因?yàn)閜，q，r∈N*，所以q2－pr=0，2q－p－r=0， 所以2=pr，（p－r）2=0，所以p=r，這與p≠r矛盾，所以數(shù)列｛ｂn｝中任意不同三項(xiàng)都不可能成為等比數(shù)列．
　　誤區(qū)1：證明數(shù)列為等比數(shù)列或數(shù)列任意三項(xiàng)不成等比數(shù)列時(shí)只證特殊項(xiàng)滿足條件；
　　誤區(qū)2：證明數(shù)列不是等比數(shù)列時(shí)，大費(fèi)文章說(shuō)明任意項(xiàng)為等比數(shù)列．
　　易錯(cuò)點(diǎn)4 忽視“項(xiàng)”的位置
　　例4在等差數(shù)列｛ａn｝中，公差d不為0，a2是a1與a4的等比中項(xiàng)． 已知數(shù)列a1，a3，ak1，ak2，…，akn，…成等比數(shù)列，求數(shù)列｛ｋn｝的通項(xiàng)kn．
　　解 析：依題設(shè)得an=a1+（n－1）d，a=a1a4，所以（a1+d）2=a1（a1+3d），整理得d2=a1d． 因?yàn)閐≠0，所以d=a1，所以an=nd． 由已知得d，3d，k1d，k2d，…，knd，…是等比數(shù)列，有d≠0，所以數(shù)列1，3，k1，k2，…，kn，…也是等比數(shù)列，首項(xiàng)為1，公比為3，由此得k1=9． 等比數(shù)列｛ｋn｝的首項(xiàng)k1=9，公比q=3，所以kn=9×qn-1=3n+1．
　　誤區(qū)：在由an為等差數(shù)列中的項(xiàng)寫出akn關(guān)于d的表達(dá)式時(shí)，對(duì)akn為｛ａn｝中的第幾項(xiàng)判斷有誤．
　　易錯(cuò)點(diǎn)5等比數(shù)列求和忽視“q=1”的討論
　　例5在等差數(shù)列｛ａn｝中，a1=1，前n項(xiàng)和Sn滿足條件=，n∈N*．
　?。?）求數(shù)列｛ａn｝的通項(xiàng)公式；
　?。?）記bn=anpan（p>0）， 求數(shù)列｛ｂn｝前n項(xiàng)和Tn．
　　解析：（1）設(shè)等差數(shù)列｛ａn｝的公差為d，由條件知S1=a1=1，S2=3S1=3，a2=S2－S1=2，所以an=n．
　　（2）由（1）得bn=anpan=npn，所以Tn=p+2p2+…+（n－1）pn-1+npn． ①
　　當(dāng)p=1時(shí)，由①式得Tn=1+2+…+n=；當(dāng)p≠1時(shí)，在①式兩邊同乘以p，得到pTn=p2+2p3+…+（n－1）pn+npn+1． ②
　?、?②，得（1－p）Tn=p+p2+p3+…+pn－npn+1=－npn+1，所以Tn=－．
　　綜上所述，Tn=，p=1，－，p≠1.
　　
　　誤區(qū)1：解題中忽視“特殊數(shù)列”；
　　誤區(qū)2：用“錯(cuò)位相減法”求和時(shí)，“錯(cuò)位”出錯(cuò)．
　　
　　規(guī)律總結(jié)與應(yīng)對(duì)
　　1. 規(guī)律總結(jié)
　　（1）在利用等比數(shù)列中的基本量——a1，q，n，an，Sn列方程組解題過(guò)程中，尤其是未知元多，而方程少于未知元個(gè)數(shù)時(shí)，要注意整體代換思想的應(yīng)用．
　?。?）注意分類討論的思想在解決數(shù)列前n項(xiàng)和或求參數(shù)取值范圍中的作用，涉及正整數(shù)n的不等式一定要考慮是否對(duì)n為正整數(shù)分情況求解．
　?。?）正確理解等比數(shù)列的概念． 注意理解“公比q≠0”，等比數(shù)列的每一項(xiàng)都不為0，即an≠0．
　　（4）在應(yīng)用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式求和時(shí)不要死記公式，要注意求和的數(shù)列有多少項(xiàng)． 注意當(dāng)q=1時(shí)，Sn=na1；當(dāng)q≠1時(shí)，．
　?。?）要注意錯(cuò)位相減法求和的實(shí)質(zhì)——構(gòu)造等比數(shù)列求和． 應(yīng)用此法求和時(shí)要注意用錯(cuò)位相減法所得的新數(shù)列求和表達(dá)式中的等比數(shù)列求和部分的首項(xiàng)、公比及項(xiàng)數(shù)．
　　2. 應(yīng)用指導(dǎo)
　?。?）等比數(shù)列與等差數(shù)列有很多類似的性質(zhì)，因此在學(xué)習(xí)的時(shí)候應(yīng)該把等比數(shù)列與等差數(shù)列進(jìn)行類比． 通過(guò)復(fù)習(xí)等差數(shù)列的定義和性質(zhì)去學(xué)習(xí)理解等比數(shù)列的定義和性質(zhì)，在學(xué)習(xí)中注意理解等差數(shù)列中的“差是個(gè)常數(shù)”與等比數(shù)列中“比是一個(gè)常數(shù)”．
　?。?）解決等比數(shù)列有關(guān)問(wèn)題的常見(jiàn)思想方法．
　?、俜匠痰乃枷耄?等比數(shù)列中有五個(gè)量a1，q，n，an，Sn，一般可以“知三求二”，通過(guò)列方程（組）求關(guān)鍵量a1和q．
　　②數(shù)形結(jié)合的思想． 通項(xiàng)an=a1qn-1可化為an=qn，因此，an是關(guān)于n的函數(shù)，即｛ａn｝中的各項(xiàng)所表示的點(diǎn)（n，an）在曲線y=qx上是一群孤立的點(diǎn)．
　?、鄯诸愑懻撍枷耄缺葦?shù)列的前n項(xiàng)和公式涉及對(duì)公比q的分類討論，此處是?？嫉囊族e(cuò)點(diǎn)．
　?。?）已知三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列時(shí)，可設(shè)三個(gè)數(shù)為a，aq，aq2，也可設(shè)為，a，aq；若四個(gè)數(shù)成等比數(shù)列時(shí)，可設(shè)為，，aq，aq2．
　　（4）一般地，若數(shù)列｛ａn｝為等差數(shù)列，｛ｂn｝為等比數(shù)列且公比為q，求數(shù)列｛an?bn｝的前n項(xiàng)和，可用錯(cuò)位相減法．
　　
　　
　　參考方略與突破
　　1. 注意“整體代換”思想的應(yīng)用
　　整體代換，求比值的方法在處理數(shù)列問(wèn)題及其他有關(guān)數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)經(jīng)常用到，如例1可用基本量求解． 由已知可列兩個(gè)方程組成的方程組，但方程組中有三個(gè)量，要獨(dú)立求出三個(gè)量是不可能的，進(jìn)行整體代換可使問(wèn)題得到解決．
　　2. 明確等比數(shù)列的概念是證明數(shù)列為等比數(shù)列或非等比數(shù)列的前提
　　判定一個(gè)數(shù)列是等比數(shù)列，不能只驗(yàn)證數(shù)列的前幾項(xiàng)；等比數(shù)列的判定有如下幾種方法：
　?。?）定義法：=q（q是不為0的數(shù)，n∈N*）?圳｛ａn｝是等比數(shù)列．
　?。?）通項(xiàng)公式法：an=cqn-1（c，q均為不為0的數(shù)，n∈N*）?圳｛ａn｝是等比數(shù)列．
　?。?）等比中項(xiàng)公式法：a=an?an+2?（an+1?an?an+2≠0）?圳｛ａn｝是等比數(shù)列．
　?。?）前n項(xiàng)和公式法：Sn=qn－=kqn－k（k=是常數(shù)，且q≠0，q≠1）?圳｛ａn｝是等比數(shù)列．
　　3. 注意等比數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用
　　（1）m，n，p，q∈N*，若m+n=p+q，則am，an，ap，aq的關(guān)系為aman=apaq，特別地，a1an=a2an-1=…．
　　（2）等比數(shù)列｛ａn｝的單調(diào)性：
　　當(dāng)a1>0，q>1或a1<0，0　　當(dāng)a>0，01時(shí)，｛ａn｝是遞減數(shù)列.
　?。?）若｛ａn｝和｛bn｝均是等比數(shù)列，則｛manbn｝（m≠0）仍是等比數(shù)列．
　?。?）等比數(shù)列中依次k項(xiàng)和成等比數(shù)列，即Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…成等比數(shù)列，其公比為qk．
　　（5）等比數(shù)列中依次k項(xiàng)積成等比數(shù)列，記前n項(xiàng)積為Tn，即Tk，，，…成等比數(shù)列，其公比為qk2.
　　4. 識(shí)別題目類型，正確選擇求和方法
　　（1）若數(shù)列｛ａn｝為等差數(shù)列，｛bn｝為等比數(shù)列且公比為q，求數(shù)列｛ａnbn｝前n項(xiàng)和可用“錯(cuò)位相減法”．用此法時(shí)注意：①在寫出“Sn”與“qSn”的表達(dá)式時(shí)，應(yīng)特別注意將兩式錯(cuò)位對(duì)齊，以便下一步準(zhǔn)確寫出“Sn－qSn”的表達(dá)式． ②應(yīng)用等比數(shù)列求和公式時(shí)必須注意公比q≠1這一前提條件．
　?。?）裂項(xiàng)相消法實(shí)質(zhì)是將數(shù)列中某些項(xiàng)分解，然后重新組合，使之能消去一些項(xiàng)，最終達(dá)到求和的目的．
　　如果數(shù)列的通項(xiàng)公式可以寫成f（n－1）－f（n）的形式常用裂項(xiàng)求和的方法．特別地，當(dāng)數(shù)列形如，其中｛ａｎ｝是等差數(shù)列時(shí)，也可用此法． 此法主要有如下兩種類型：①分式形式=?－；
　?、诟叫问??（－）．