一道考

　　摘要：本文對2011年四川省高考數(shù)學理科卷第21題的第二個問題展開五層探究，總結得到六個命題．
　　關鍵詞：高考題；探究
　　
　　2011年四川省高考數(shù)學理科卷第21題為：橢圓有兩頂點A（-1，0），B（1，0），過其焦點F（0，1）的直線l與橢圓交于C，D兩點，并與x軸交于點P，直線AC與BD交于點Q． （1）略；（2）當點P異于A，B兩點時，求證：? 為定值．
　　
　　圖1
　　此橢圓中b=c=1，可證得?=1． ?與b或c存在某種內在聯(lián)系嗎？由此引發(fā)第一層探究．
　　
　　探究1：定值的特殊性
　　命題1：已知橢圓+=1的兩頂點A（-b，0），B（b，0），過焦點F（0，c）的直線l與橢圓交于C，D兩點，并與x軸交于點P，點P異于A，B兩點，直線AC與BD交于點Q，則?=b2．
　　證明：直線l顯然存在斜率，設其方程為y=kx+ck≠0，k≠±，點C，D的坐標分別設為（x1，y1），（x2，y2），．
　　由y=kx+c，+=1， 消去y得（b2k2+a2）x2+2b2ckx－b4=0，故x1+x2=－，x1x2= －．
　　直線AC的方程為y=（x+b），直線BD的方程為y=?（x-b）．
　　故=，由－b　　y1y2=（kx1+c）（kx2+c）=k2x1x2+kc?（x1+x2）+c2=－?，則與y1y2異號，故=，解得x=－． 所以?=－，0?－，y=b2． 至此命題1得證．
　　如果直線l經(jīng)過橢圓長軸上的任意一點（不含中心）而其他條件不變，此時?=b2是否仍然成立？由此引發(fā)第二層探究．
　　
　　探究2：由長軸上的特殊點變?yōu)殚L軸上任意點
　　命題2：已知橢圓+=1的兩頂點A（-b，0），B（b，0），過長軸上任意點F（0，m） （0　　證明：設直線l的方程為y=kx+mk≠0，k≠±，0　　2=?==2，y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=k2x1x2+km?;（x1+x2）+m2= －?（bk+m）（bk-m），故=，解得x=－． 所以?=－，0?－，y=b2，至此命題2得證．
　　如果把直線l過長軸上的任意點改為過短軸上的任意點（不含中心），那么?=b2仍然成立嗎？由此引發(fā)第三層探究．
　　
　　探究3：由直線過長軸上的任意點變?yōu)橹本€過短軸上任意點
　　命題3：已知橢圓+=1的兩頂點A（0，-a），B（0，a），過短軸上任意點（m，0）（0　　此命題的證明可參照命題1和命題2的證明，不再贅述．
　　以上探究都基于直線過橢圓長、短軸上的點，若放開目光，在橢圓上選取動點，與頂點作連線，又將帶來什么新的發(fā)現(xiàn)？由此引發(fā)第四層探究．
　　
　　探究4：由長、短軸上的任意點變?yōu)闄E圓上任意點
　　命題4：已知橢圓+=1的兩頂點A（-b，0），B（b，0），點M是橢圓上除頂點外的任意點，直線MA，MB分別與y軸交于點P，Q，則?=a2．
　　
　　圖1
　　證明：設壓縮變換f把點（x，y）變?yōu)辄c（x1，y1），且滿足
　　x1=x，y1=y. 在f的作用下橢圓+=1變?yōu)閳Ax2+y2=a2． 如圖1所示，橢圓上的點A，B，M分別變?yōu)閳A上的點A1，B1，M1，點O，P，Q在變換前后保持不變，直線A1M1與直線B1M1與y軸的交點仍是點P，Q．
　　容易看出Rt△A1OP∽Rt△QOB1，所以=，故OP?OQ=OA1?OB1=a2.
　　所以在橢圓+=1中，?=OP?OQ=a2，至此命題3得證．
　　類比推理，不難得到與命題4類似的命題．
　　命題5：已知橢圓+=1的兩頂點A（0，-a），B（0，a），點M是橢圓上除頂點外的任意點，直線MA，MB分別與x軸交于點P，Q，則?=b2．
　　此命題的證明可參照命題4的證明，不再贅述．
　　在探究4中，橢圓上的動點分別與橢圓的頂點作連線，如果橢圓上的動點與兩焦點作連線，又將如何？由此引發(fā)第五層探究．
　　
　　探究5：由橢圓上任意點與頂點相連變?yōu)榕c焦點相連
　　命題6：已知橢圓+=1，M是橢圓上的任意點，MF1，MF2分別與橢圓交于點A，B，設=λ，=μ，則λ+μ=2（e為橢圓離心率）．
　　證明：若M是橢圓的長軸頂點，結論易于證明；反之則設點M的坐標為（x0，y0）（x0≠0），MF1，MF2的直線方程分別是y=x+c，y=x－c．
　　由y=x+c，+=1，
　　得?x2+x－b2=0，故x0xA=，則xA=． 同理得xB=．
　　則λ+μ=+=+=．
　　命題5得證．
　　至此本文完成了對此道高考題的五層探究． 每年的高考試題無不凝集著命題者的智慧和汗水，給我們日常的數(shù)學教學提供了豐富的、寶貴的鮮活資源． 作為一線教學者，我們理應重視對高考試題的深入思考和理性探究，洞察命題的設想和解題的思路，才能在豐富的變化中把握客觀規(guī)律，才能更好地應用于數(shù)學教學．