類2α分?jǐn)?shù)階微分方程邊值問題的奇攝動

朱紅寶

(安徽工業(yè)大學(xué)數(shù)理科學(xué)與工程學(xué)院，安徽馬鞍山243002)

奇異攝動問題多年來一直是學(xué)術(shù)界關(guān)注的熱點(diǎn)問題，其攝動方法已成功地應(yīng)用于自然科學(xué)的多個(gè)領(lǐng)域[1-2]。近年來，研究者嘗試將奇攝動問題與分?jǐn)?shù)階微分方程理論相結(jié)合，如：Beyer等[3]將分?jǐn)?shù)階微分問題運(yùn)用到具有阻尼的物理運(yùn)動中，詮釋了物理上有關(guān)震動問題；Thandapani等[4]研究一類分?jǐn)?shù)階偏微分問題的奇攝動，給出了解的形式及分?jǐn)?shù)階偏微分問題在實(shí)際問題中理論意義；Odibat等[5]運(yùn)用變分迭代方法研究一類分?jǐn)?shù)階奇攝動問題；莫嘉琪[6]研究一類非線性奇攝動分?jǐn)?shù)階微分方程的漸近解，得出解的漸近展開式并給出了解一致有效估計(jì)；馮依虎等[7]研究分?jǐn)?shù)階奇攝動微分問題的漸近結(jié)論，利用伸展變量法構(gòu)造出解的形式展開式，證明了解的一致有效性。分?jǐn)?shù)階微分問題的研究，解決了物理上的諸如具有阻尼的震動問題、復(fù)雜的熱傳導(dǎo)現(xiàn)象等用常規(guī)導(dǎo)數(shù)的微分方程所不能描述的問題，從而具有廣泛的實(shí)際意義。

倪明康等[8]利用邊界層函數(shù)法討論了如下二階半線性微分方程(ε>0，為小參數(shù))的第一類邊值問題：

在特定假設(shè)下，構(gòu)造了問題的形式漸近解，并證明了解的一致有效性。本文將該問題推廣到分?jǐn)?shù)階微分問題，利用奇攝動理論構(gòu)造一類分?jǐn)?shù)階微分方程的漸近解，并用微分不等式理論證明漸近解的一致有效性。

探討2α分?jǐn)?shù)階奇異攝動邊值問題：

這里ε為很小的正數(shù)，函數(shù)y(x)的α分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)定義為

其中：Γ為Gamma函數(shù)；α為小于1的正分?jǐn)?shù)。

假設(shè)：

H1函數(shù)f(x,y)及A(ε)，B(ε)是關(guān)于其變量在其定義域內(nèi)為足夠光滑函數(shù)；

H2退化問題f(x,y)=0僅有唯一單調(diào)解y0=φ(x);

H3函數(shù)f(x,y)在范圍內(nèi)滿足不等式，其中c為正的常數(shù)。

由于退化問題f(x,y)=0是代數(shù)型，在以上假設(shè)下，其解一般不能滿足邊值條件(2)~(3)，在x=0和x=1處會產(chǎn)生邊界層。

1 形式漸近解的構(gòu)造

用邊界層函數(shù)法構(gòu)造2α分?jǐn)?shù)階奇攝動邊值問題(1)~(3)的漸近解y(x,ε)，令

其中

為正則級數(shù)；

為x=0附近邊界層級數(shù)；

為x=1附近邊界層函數(shù)。

由假設(shè) H2知：,式(10)為代數(shù)方程，可依次得，其中的Fi是依次已知的函數(shù)。將代入(5)，得原問題的正則項(xiàng)。

在x=0附近的邊界層函數(shù)由以下方程決定：

其中

Hi為已知函數(shù)。由分?jǐn)?shù)階微分方程(11)，可得如下Volterra積分系統(tǒng)：

其中C0，C1為任意常數(shù)。解此Volterra積分系統(tǒng)并結(jié)合條件(12)~(13)得Π0y(τ0)及C0和C1。將求出的Π0y(τ0)代入式(14)，可化為廣義的 Volterra積分-微分方程，結(jié)合條件(15)~(16)可求出 Π1y(τ0)，類似可得Π2y(τ0)…，且 Π0y(τ0)，Π1y(τ0)，…在x=0 附件具有激波層性態(tài)[9]：

其中ki+1≤ki，i=0,1,…為正常數(shù)。將 Πiy(τ0)代入式(6)，得原問題在x=0附近的邊界層級數(shù) Πy(τ0,ε)。

類似地，在x=1附近的邊界層函數(shù)由以下方程決定：

其中

Gi為已知函數(shù)。由分?jǐn)?shù)階微分方程(23)，得如下的Volterra積分系統(tǒng)：

其中D0，D1為任意常數(shù)，解此Volterra積分系統(tǒng)(32)～(33)并結(jié)合條件(24)~(25)得R0y(τ1)及D0和D1。將R0y(τ1)代入式(26)，可化為廣義的Volterra積分-微分方程，結(jié)合條件(27)～(28)可求出R1y(τ1)，類似地可依次求出R2y(τ1)…，且R0y(τ1)，R1y(τ1)，… 在x=1附件具有激波層性態(tài)[9]：

2 漸近展開式的一致有效性

定義設(shè)存在光滑函數(shù)，分別滿足：

定理1在假設(shè)H1~H3的條件下，分別為2α分?jǐn)?shù)階奇攝動邊值問題的上解和下解，則問題(1)~(3)存在一個(gè)解y(x,ε)，且有

證明先按以下迭代關(guān)系構(gòu)造函數(shù)序列

由極值原理[10]得

假設(shè)當(dāng)i=n-1時(shí)，有，則

由數(shù)據(jù)歸納法知

類似可得

及

由以上討論并結(jié)合Arzela-Ascoli定理，知2α分?jǐn)?shù)階奇攝動邊值問題(1)~(3)有一個(gè)解y(x,ε)，使得

證畢。

定理2在假設(shè)HI~H3下,2α分?jǐn)?shù)階奇攝動邊值問題(1)~(3)有一個(gè)解y(x,ε)，且具有如下關(guān)于ε的一致有效的漸近展開式：

證明首先構(gòu)造輔助函數(shù)a(x,ε)和b(x,ε)，

其中r為正常數(shù)，其大小在隨后的證明中給出。顯然，

且對于足夠小的正數(shù)ε，存在一個(gè)正常數(shù)δ1，使得

選取r≥δ1，可得

同理可得

下面證明

由假設(shè)及式(22)，(34),存在一個(gè)正常數(shù)δ2，使得

再由式(41)，(42)可知關(guān)系式(40)成立，定理2證畢。