拍音的律學相關(guān)理論探究

陳重生先生曾說過這樣一句話：“凡是掌握鋼琴調(diào)律技術(shù)的人，都知道‘拍音’對調(diào)律的重要性。如果一位鋼琴調(diào)律師對于‘拍音’能夠有真正的認識與理解，那他就掌握了鋼琴調(diào)律的真諦。否則，他只是一位‘一知半解’不合格的鋼琴調(diào)律師”，[1]可見，拍音在鋼琴調(diào)律過程中的重要性。但筆者通過對鋼琴調(diào)律行業(yè)現(xiàn)狀的初步調(diào)研后發(fā)現(xiàn)，社會上一些所謂的“速成”培訓機構(gòu)在培訓時、一些所謂的調(diào)律師在調(diào)律作業(yè)過程中都僅僅是機械的記住相關(guān)音程的拍音速度，例如將十二平均律“四五度分律法”中的所有四度拍頻記為1拍/秒、所有五度音程拍頻記為0.66拍/秒等，卻很少有人真正了解和掌握以上拍頻的相關(guān)律學的理論依據(jù)，這也就導致這些調(diào)律師在進行調(diào)律作業(yè)時，沒有充分的理論支撐去靈活地應(yīng)對和解決調(diào)律過程中出現(xiàn)的各種問題，調(diào)律的質(zhì)量當然也就很難得到保證。

本文首先對倍音列的相關(guān)知識和鋼琴聲學中的拍音進行一定的講解，接著在闡釋純律及其與十二平均律的相互聯(lián)系的基礎(chǔ)上，分析十二平均律相關(guān)音程拍頻的理論計算方式，最后以十二平均律“上四下五精密調(diào)律法”為例，對其中相關(guān)音程拍頻的理解與應(yīng)用進行闡述。希望能使廣大鋼琴調(diào)律學習者進一步理清平均律分律過程中相關(guān)音程拍頻的律學理論依據(jù)，鞏固理論知識，用理論指導實踐，靈活應(yīng)對調(diào)律過程中遇到的相關(guān)問題，根據(jù)不同拍頻所反映出來的相關(guān)問題對分律過程中每一階段甚至每一個步驟進行針對性分析和處理，進一步提高理論水平，扎實精進調(diào)律技術(shù)。

一、倍音列、 共同倍音及“鋼琴聲學”中的“拍音”

鋼琴琴弦的振動為諸多簡諧振動組成的“合成振動”或者“復合振動”，也就是在理想狀態(tài)下，鋼琴在產(chǎn)生振動時，除了有效弦長整段產(chǎn)生振動之外，其1/2、1/3、1/4、1/5有效弦段也產(chǎn)生振動。人們把復合振動產(chǎn)生

的音稱為“復合音”，把簡諧振動產(chǎn)生的音稱為“諧音”，把有效弦長整段振動產(chǎn)生的音稱為“基音”或者“第1諧音”，那么1/2有效弦長振動產(chǎn)生的音稱為“第2諧音”； 1/3 有效弦段振動產(chǎn)生的音稱為“第3諧音”依次類推。根據(jù)鋼琴任意弦段的固有振動頻率公式： （這里T為琴弦的張力，l為琴弦的有效弦長，d為琴弦的直徑，p為琴弦的材料密度，g為重力加速度，π為圓周率，n為任意弦段長度與有效弦長整段長度的比值的倒數(shù)，即這里為正整數(shù)。），便可以計算出以上各對應(yīng)弦段振動的頻率。[2由此公式，我們不難發(fā)現(xiàn)，各諧音的頻率與基音的頻率存在整數(shù)倍關(guān)系，把基音頻率看成1，則各相續(xù)諧音的頻率比依次為 1：2：3：4：5… 人們把與基音頻率成整數(shù)倍的諧音稱為“倍音”，那么上面的第2諧音、第3諧音、第4諧音就可以說成是基音的“2倍音”“3倍音”“4倍音”……到這里我們發(fā)現(xiàn)，各倍音前的整數(shù)“1、2、3、4”不僅表示其與基音的頻率比值，還表示倍音次數(shù)；另外，第2倍音與基音成八度關(guān)系，第3倍音與第2倍音成純五度關(guān)系，第4倍音與第3倍音成純四度關(guān)系，第5倍音與第4倍音成大三度關(guān)系…

對于琴弦等振動產(chǎn)生的樂音，其各倍音（包括基音）形成的有規(guī)律的排列，我們稱之為“倍音列”。兩個音產(chǎn)生的倍音列之中會存在若干對頻率相等的倍音，我們稱之為兩個基音的“共同倍音”，倍音列中第一對頻率相等的倍音叫做“第一共同倍音”，第二對頻率相等的倍音叫做“第二共同倍音”

鋼琴上每一組琴弦都包含著倍音，但是由于琴弦本身的柔順性、琴弦擊弦點位置的設(shè)置以及鍵盤運動速度等的影響，其產(chǎn)生的倍音的數(shù)量和表現(xiàn)不盡相同。一般情況下，基音頻率較低的琴弦要比基音頻率較高的琴弦所包含的倍音數(shù)要多，對于鋼琴來講，小字組及以下各組音的倍音強度比基音強，而小字組以上各組音的倍音強度要比基音弱。此外，對于同一組琴弦的倍音列來講，與基音相比倍數(shù)低的倍音比倍數(shù)高的倍音振幅高，聲音強度較強，且衰減的慢，換言之，倍數(shù)高的倍音比倍數(shù)低的倍音音量小，保持的時間短。[3]

由以上可知，鋼琴聲學中的倍音列是由琴弦的整段有效弦長及其各相應(yīng)弦段發(fā)生振動，產(chǎn)生一系列與基音頻率成整數(shù)倍的倍音，并有規(guī)律的排列起來而形成的。這里需要注意，以上琴弦是一種完全柔順的理想弦，實際上，鋼琴上的琴弦并非是完全柔韌的理想弦，而是在抵抗巨大張力的同時，自身產(chǎn)生巨大內(nèi)應(yīng)力而形成有一定剛性或稱為“力勁”的實際弦。實際弦在振動時受以上因素的影響，其各弦段并不是按整數(shù)倍分段振動的，而是以略小于整數(shù)倍的分段進行振動的，這里不再對其進行過多的贅述。

從物理聲學角度，“拍音”是兩個振動頻率相近的聲波發(fā)生疊加形成的一種聽覺感受上周期性忽強忽弱的聲音效果。嚴格地講，拍音不是真正意義的音，而是人耳對聲音強弱變化而產(chǎn)生的一種“抖動”的聽覺感受，其“抖動”的頻率為兩音振動頻率差的絕對值。[4]用F表示此拍音的頻率， f₁ 、f分別表示兩個聲波的振動頻率，則其拍頻值的計算公式可表示為F 。鋼琴調(diào)律是一門與聲音打交道的科學技術(shù)，進一步來講，鋼琴調(diào)律是一門與拍音打交道的科學技術(shù)。這里“鋼琴聲學”中的“拍音”就是在相應(yīng)律制的要求下，相關(guān)音程產(chǎn)生的倍音列中，根、冠音的第一共同倍音的聲波發(fā)生疊加而形成的合成波，其拍頻同樣可以運用 F=∣f₁-f₂∣ 這個公式計算得出， f₁ 、f分別為該音程根音和冠音的第一共同倍音的頻率。

二、純律及其與十二平均律的相互聯(lián)系

在講述純律之前，先來簡單地說明一下五度相生律及其構(gòu)成。五度相生律，即由一律出發(fā)，每隔純五度（即上文說到的倍音列中二倍音和三倍音的距離）產(chǎn)生一律，再由此律依同理再產(chǎn)生一次律，如此繼續(xù)相生產(chǎn)生相應(yīng)的各律，最后作八度移動，納入一個八度之內(nèi)而成。而純律則是于五度相生律的純五度之外，再加入大三度（倍音列中四倍音與五倍音的距離）作為生律的基礎(chǔ)而得。[5]由此可見，倍音列就是純律的生成依據(jù)，倍音列中的倍音次數(shù)之比就是純律中音程的比。也因純律完全是在倍音列的基礎(chǔ)上生成的一種律制，在純律的相關(guān)音程（例如純四度、純五度等）的倍音列中，其每組共同倍音的頻率都是完全相同的，根據(jù)前面的公式，也就是這里的 f₁ 、f相等，則|f₁-f₂|=0 ，換言之，其共同倍音產(chǎn)生疊加后形成拍音的頻率為零。因此，如果將鋼琴的律制調(diào)成純律，那么理論上來講，人耳便完全聽不到忽強忽弱的拍音現(xiàn)象，而是一種近乎直線般平滑的聽覺感受，實際上這樣的拍音便也不復存在了，因此我們說純律的相關(guān)音程在聽覺感受上是“純正無拍”的狀態(tài)。

為了更好地理解純律與十二平均律的聯(lián)系，我們這里引出一個音分值的概念。音分值最早由英國音樂家埃利斯于1884年提出，是為了便于表示出兩音之間音程距離而引入的一個單位。這里的音程距離并非頻率差，而是由頻率差引起的人耳聽覺上的感受。同樣的一個音程，無論在低音區(qū)還是高音區(qū)，它給人聽覺上音程距離的感受是相同的，但是在低音區(qū)該音程的頻率差要比在高音區(qū)小得多，兩個音程之間音區(qū)跨度越大，它們的頻率差相差得越大。在純律律制下的一個八度，其12個半音之間的音程距離并非完全相同，這就導致純律不能夠完成轉(zhuǎn)調(diào)。因此在鋼琴上，人們采用的是最早由我國明朝皇族世子朱載墳發(fā)現(xiàn)的十二平均律。[十二平均律即將純律每個八度的12個半音之間的音程距離平均化，也就是將純律的每個八度平均分成12個半音，將半音之間的音程距離表示為100音分，且相鄰半音之間的頻率比也相等，為 ，約等于1.0594630941，因而十二平均律也被稱為“等比律”。前面說到純律是依靠倍音列形成的一種律制，那么十二平均律則是在純律的基礎(chǔ)上作人為調(diào)整后形成的一種人工律制。

原本純律本身每個八度所包含的半音之間的音程距離是不相等的，將其人為調(diào)整為十二平均律后，每個半音

之間的音程距離便完全相等了。那么除了純一和純八度音程，同樣的一個音程，其在十二平均律中的音程距離與在純律中的音程距離相比，勢必會產(chǎn)生不同的大小變化。為了更具象一點，將十二平均律中與純律音程相比音程距離變大的音程稱之為“寬音程”，將十二平均律中與純律相比音程距離變小的音程稱之為“窄音程”。舉純律C大調(diào)中C-E這個大三度為例，如圖1所示。

從上圖可以看出，將純律調(diào)整為十二平均律以后，此大三度的音程變寬了，與純律大三度相比寬了14音分；大三度的轉(zhuǎn)位音程為小六度E-C，那么E-C這個小六度就窄進14音分。另外，純律大六度音程為884音分，而平均律大六度音程為900音分，要比純律大六度寬16音分；小三度為大六度的轉(zhuǎn)位音程，因此平均律小三度要比純律小三度窄進16音分。同樣地，純律純四度音程為498音分，而平均律純四度音程為500音分，要比純律純四度音程寬出2個音分；純五度是純四度的轉(zhuǎn)位音程，所以平均律純五度的音程要比純律純五度窄進2音分。由此總結(jié)出一般規(guī)律：平均律協(xié)和音程中，四度和“大”字頭的音程，均為寬音程；五度和“小”字頭的音程，均為窄音程。

三、鋼琴十二平均律“上四下五精密調(diào)律法”中相關(guān)音程拍頻的理論依據(jù)

關(guān)于鋼琴調(diào)律法，在采用十二平均律之前，還出現(xiàn)過“畢達哥拉斯調(diào)律法”“中庸全音調(diào)律法”等，但在十二平均律出現(xiàn)后，這些調(diào)律法逐漸被淘汰?，F(xiàn)今基于十二平均律，主要有“三六度精密調(diào)律法”和“四五度精密調(diào)律法”，其中“三六度精密調(diào)律法”分“福島式”和“金先斌式”；“四五度精密調(diào)律法”分“雙向循環(huán)法”和“上四下五循環(huán)法”。[7這里舉“上四下五循環(huán)法”即“上四下五精密調(diào)律法”為例，原因在于該調(diào)律法與以上幾種相比，有如下特點： ① 嚴格遵守上四下五循環(huán)調(diào)律法，即所有四度都為上行操扳，所有五度都為下行操扳； ② 所有被調(diào)整的律音，都在高出純正音后確定其拍數(shù)，即均為正拍； ③ 調(diào)律時，四度拍頻最高為1拍/秒，五度拍頻最高為三秒二拍； ④ 只采用大三度和大六度進行檢驗。換言之，該調(diào)律法無論是分律步驟、拍速還是檢驗步驟，相比較而言更簡潔且容易掌握。但也正因以上的特點，該調(diào)律法又是最不容錯的，一個步驟的錯誤在多次的循環(huán)累積后，會變成一個足以破壞整個調(diào)律結(jié)果的程度。因此，對于“上四下五精密調(diào)律法”來講，更需要深譜相關(guān)步驟拍頻的理論依據(jù)。

前面說過純律中音程的比也是倍音次數(shù)的比，例如純律中 37A^-42D^① 這個純四度音程的比也是第3倍音和第4倍音的比，為 3：4 。因為倍音次數(shù)的比也是頻率的比，因此不難得出它們的第一共同倍音即拍音所在音高的頻率值滿足等式 4×f_37A=3×f_42D ，進一步地，則37A-42D音程的拍音拍頻F =|4×f_37A-3×f_42D|=0 ，這也再一次說明純律純四度是“純正無拍”的。

上面總結(jié)過，在采用“上四下五精密調(diào)律法”進行十二平均律分律中，純四度是上行操扳，且其音程相對比純律的純四度音程是變寬了2個音分的，換言之，在以37A為基準上行調(diào)整42D音高時，要將這個純四度從有拍音逐漸調(diào)到無“純正無拍”，即將42D調(diào)至符合純律純四度的音高時，繼續(xù)上行操扳直至高出2個音分。高出2個音分也就意味著42D的頻率也變高了，那么其“共同倍音”的頻率 3×f_42D 也相應(yīng)的變高了，不再與 4×f_37A 相等，因此 |4×f_37A-3×f_42D| 不再等于0，而會是一個具體的差值，這個差值就是十二平均律37A-42D這個純四度的拍頻。

純律中35G-42D這個純五度的音程比為 2：3 。同樣，該音程第一共同倍音即拍音所在音高的頻率值滿足等式3×f₃₅₆=2×f_42D ，那么35G-42D音程的拍音拍頻F Ω=|3×f_35G-2×f_42D|=0 ，說明純律純五度也是“純正無拍”的。采用“上四下五精密調(diào)律法”進行十二平均律調(diào)律中，35G-42D這個純五度為下行操扳，也就是以42D為基準對35G的音高進行調(diào)整，將35G調(diào)整至使該純五度從有拍音逐漸至“純正無拍”時，繼續(xù)上行操扳直至高出2個音分，也就是使得該五度音程窄進了2個音分。35G的頻率升高了，其“共同倍音”的頻率 3×f_35G 也相應(yīng)的升高了，與 2×f_42D 也會產(chǎn)生一個具體的差值，這個差值就是十二平均律35G-42D這個純五度的拍頻。

另外，十二平均律同度和純八度也滿足以上等式，經(jīng)過計算，這兩個音程拍頻與純律同度和純八度一樣，因此只需調(diào)成“純正無拍”，較易于理解與掌握，這里便不予贅述。

以上是“上四下五精密調(diào)律法”中所有分律音程拍頻的理論依據(jù)，同理，該分律法中的檢驗音程也遵循此理論依據(jù)。設(shè)一個十二平均律大三度音程根音的頻率為 f_#k， 冠音的頻率值為 ，因為大三度音程頻率比為 4：5 ，可得出該音程拍頻 F=|5×f_#-4×f_#| ；當該音程為大六度時，因為大六度的音程比為 3：5 ，可得出其拍頻F=|5×f_#-3×f_#| 。

據(jù)以上分析，若十二平均律中一個音程根音和冠音的頻率比值為n：m（n、m屬于正整數(shù)且 ₁lt;_m ），同樣地， f_# 為根音的頻率值， f_P 為冠音的頻率值，便可總結(jié)出求此音程拍頻的一般公式： ，十二平均律調(diào)律過程中相關(guān)音程的拍音頻率均可依據(jù)此公式求得。

1834年，在德國斯圖加特召開的國際物理學大會上確立了國際標準音高，規(guī)定 49A=440Hz 。現(xiàn)在大部分的樂器制造和演奏沿用這一數(shù)值，將之與十二平均律半音頻率比 上下進行相應(yīng)運算，便可以得出鋼琴上88個鍵各個鍵音的理論頻率值。在進行鋼琴調(diào)律時，根據(jù)取音的需求取 49A=440Hz 或在 440Hz 基礎(chǔ)上進行適度的加減，并將之與平均律半音頻率比 進行上下運算，求出分律范圍內(nèi)所有相關(guān)鍵音的頻率值，再通過前面總結(jié)的公式F ?|m×f_#-n×f_#| ，將分律過程中各個相關(guān)音程的根音、冠音的頻率值代入，同時賦予m、n對應(yīng)的值，理論上，便可以計算出分律過程中各相關(guān)音程的具體拍頻。以“上四下五精密調(diào)律法”為例，當取 49A=440Hz 時，可通過以上方式求出分律范圍內(nèi)所有相關(guān)音程的理論拍頻：純四度： 33F-38A#=0. 79拍/秒， 34F?-39B=0.84 拍/秒， 35G^-40C=0.89 拍/秒；36G#-41C#=0.94拍/秒，37A-42D=0.99拍/秒，38A#-43D#=1.05拍/秒，39B-44E =1 .12拍/秒；純五度： 33F-40C=0. 59 拍/秒，34F#-41C#=0.63拍/秒，35G-42D=0.66拍/秒；36G#-43D#=0.70拍/秒；大三度： 33F-37A=6.93 拍/秒，34F#-38A#=7.34拍/秒，35G-39B 1=7 .78拍/秒，36G#-40C=8.24拍/秒，37A-41C#=8.73拍/秒， 38A?-42D=9.25 拍/秒， 39B-43D#=9.80 拍/秒，40C-44E=10.38拍/秒；大六度： 33F-42D=7. 92拍/秒，34F#-43D eq=8 .39拍/秒， 35G^-44E=8.89 拍/秒，36G#-45F=9.42拍/秒。

根據(jù)F σ=|σ_m×f_#-n×f_#| 公式進一步分析，將十二平均律一相應(yīng)音程根音和冠音同時進行同向平移，設(shè)平移后的根音和原根音、冠音和原冠音頻率的比值為k（當同時向高音區(qū)平移時，根據(jù)十二平均律相鄰半音的頻率比 可知，這里k為 的正整數(shù)次冪，且越向高音區(qū)平移k的值越大；當向低音區(qū)平移時，這里k為 的正整數(shù)次冪的倒數(shù)，且越向低音區(qū)k的值越?。?，設(shè)平移后音程的根音和冠音的頻率分別為f’和f”，則可得=k，f_#^′=kf_# ， 。平移后音程不變，只是音程位置不同，因此 f_##ⁱ m仍成立。設(shè)平移后音程的拍頻為F’，則F’ 即F =kF 。由此公式可得出一個規(guī)律：將十二平均律中一個音程向高音區(qū)平移時，其拍音的頻率變快，且是平移之前音程拍頻的 的正整數(shù)次冪倍；相反，將該音程向低音區(qū)平移時，其拍頻會變慢，且是平移之前音程拍頻的 的負整數(shù)次冪倍。結(jié)合觀察前面求出的“上四下五精密調(diào)律法”中相關(guān)音程的具體理論拍頻，此規(guī)律也再一次得到驗證：

大三度：33F-37Alt;34F#-38A#lt;35G-39Blt;36G#-40Clt;37A-41C#lt;38A#-42Dlt;39B-43D#40C-44Elt;41C#-45F;純四度：33F-38A#lt;34F#-39Blt;35G-40Clt;36G#-41C#lt;37A-42Dlt;38A#-43D#lt;39B-44Elt;40C-45F;純五度：33F-40Clt;34F#-41C#lt;35G-42Dlt;36G#-43D#lt;37A-44Elt;38A#-45F

大六度：33F-42Dlt;34F#-43D#lt;35G-44Elt;36G#-45F。

可見，“上四下五精密調(diào)律法”中相關(guān)音程的拍頻從低音區(qū)向上平移呈現(xiàn)均勻、稍許加快的現(xiàn)象，且以 的正整數(shù)次冪倍增加，并非如許多調(diào)律師和學習者所了解的那樣，所有純四度均為1拍/秒，所有純五度均為三秒二拍。同時這也再次表明，對于一個合格的調(diào)律師而言，自身對于拍音的相關(guān)律學及拍頻計算的理論依據(jù)的充分理解和掌握，提前對分律過程中每個相關(guān)音程的拍音做到“心里有數(shù)”，才是進一步對其進行實踐應(yīng)用的必要前提，否則只是一知半解，很難得到理想的調(diào)律結(jié)果。

結(jié)語

拍音是調(diào)律師構(gòu)建準確音程關(guān)系的基礎(chǔ)和判斷音準的直接指標，它對鋼琴的音色品質(zhì)與音樂表現(xiàn)力起著決定性作用，是實現(xiàn)鋼琴優(yōu)質(zhì)調(diào)律效果的重要保障。鋼琴調(diào)律的學習和實踐過程中，對拍音的律學相關(guān)理論的充分理解和掌握，是進一步對其進行練習和運用的必要前提。本文對倍音列的相關(guān)知識和“鋼琴聲學”中的拍音進行了一定的講解，并在闡釋純律及其與十二平均律的相互聯(lián)系的基礎(chǔ)上，著重分析了十二平均律相關(guān)音程拍頻的理論計算方式，最后以十二平均律“上四下五精密調(diào)律法”為例，對其中相關(guān)音程拍頻的理解與應(yīng)用進行了解析。希望為廣大鋼琴調(diào)律學習者進一步理清平均律分律過程中相關(guān)音程拍頻的理論依據(jù)，對各分律、校對和檢驗手段中的拍音做到“心里有數(shù)”，進一步鞏固理論知識，用理論指導實踐，提高調(diào)律技術(shù)水平。M

注釋：

① 本文中的音名均采用“鋼琴調(diào)律鍵音表達式”，42D即鋼琴上d的“鋼琴調(diào)律鍵音表達式”。

參考文獻：

[1]陳重生.鋼琴調(diào)律“拍音”的再認識[J].樂器，2011年08期.

[2]陳重生.鋼琴調(diào)律原理與應(yīng)用[M].上海音樂學院出版社，2011.03.第61-63頁.

[3]陳重生.鋼琴調(diào)律原理與應(yīng)用[M].上海音樂學院出版社，2011.03.第67-69頁.

[4]韓寶強.音的歷程[M].中國文聯(lián)出版社，2003.05.第80頁．

[5]繆天瑞.律學[M].人民音樂出版社，1996.第44-45頁。

[6]繆天瑞.律學[M].人民音樂出版社，1996.第150頁。

[7]陳重生.鋼琴調(diào)律原理與應(yīng)用[M].上海音樂學院出版社，2011.03.第317-343頁，

作者簡介：李令中，南京藝術(shù)學院現(xiàn)代音樂與科技學院2023級碩士研究生