經(jīng)典的Drinfel'd-Sokolov-Wilson方程 的精確行波解

Abstract：Both Riccati-expansion method and F-expansion method are used to obtain the exact traveling wave solution of theclassical Drinfel'd-Sokolov-Wilson（DSW） equation in various forms. The results show that the solutions obtained by F-expansion method are richer than those by Riccati-expansion method.

Keywords：clasical Drinfel'd-Sokolov-Wilson equation；Riccati-expansion method;F-expansion method;exact traveling wave solution

1預(yù)備知識

經(jīng)典的 Drinfel ^′d. -Sokolov-Wilson（DSW）方程是一類重要的淺水波方程[1-2]，其形式為

式（1）中： ??q?r 和 s 都是非零常數(shù)。

目前，已有許多關(guān)于DSW方程（1）及其變形的研究。Jimbo等[3證明了DSW方程（1）是Kadomtsev-Petviashvili族的一員;Hirota等[4得到了其孤子結(jié)構(gòu);文獻(xiàn)[5-1O]分別采用直接代數(shù)方法、 ?G^′/G? 一展開法、改進(jìn)的Jacobian 橢圓函數(shù)法和改進(jìn)的F-展開法，找到了DSW方程（1）的一些精確解；Alrebdi等[11]研究了DSW方程（1）的孤子結(jié)構(gòu)和動力學(xué)行為。從動力系統(tǒng)的角度出發(fā)，Wen 等[12-14]研究了DSW 方程（1）及其分?jǐn)?shù)階方程的許多精確行波解，包括孤立波、扭波和各種形式的周期波，還找到了其M/W-型孤立波[13]和M/W-型周期波[14]。此外，文獻(xiàn)[15-16]還考慮奇異擾動的DSW方程的孤立波、扭波和周期波的持續(xù)性。雖然已經(jīng)找到了DSW方程（1）的部分解，但是基于新方法可能會找到新的解。因此，本文分別利用Riccati-展開法[17]和F-展開法[18]，得到方程（1）各種形式的精確行波解。

為了研究方程（1）的行波解，利用變換 u（x，t）=u（ξ），v（x，t）=v（ξ），ξ=x-ct ，把方程（1）寫為

假定 u（E） 和 v（ξ） 可以展開成關(guān)于 F（ξ） 的多項式，即

式（3）中： 和 b₀，b₁，…，b_n 是待確定的常數(shù)，且 F（ξ） 是1個一階常微分方程的解。

2利用Riccati-展開法求解DSW方程（1）

假設(shè) F（ξ） 滿足一階常微分方程

F^′=b+F²

式（4）中： b 是常數(shù)。關(guān)于方程（4）的解，參考文獻(xiàn)[17]中的式 （4）～（6） 。

利用 u^' 與 vv^′ ，以及 uv^′，u^′v 與 v^′′ 之間的齊次平衡，可得式（3）中的最高次冪分別為 m=2 和 n=1 。把式（3）代人式（2）中，并利用式（4），得到

和

令式（5）和（6）中 的系數(shù)為0，得到

方程組（7）的解為

利用式（3）和（8），以及文獻(xiàn)[17]中的式 （4）～（6） ，得到DSW方程（1）如下形式的解。

定理11）如果 blt;0 ，那么，DSW方程（1）有解

和

2）如果 b=0 ，那么，DSW方程（1）有解

3）如果 bgt;0 ，那么，DSW方程（1）有解

和

3利用 F? -展開法求解DSW方程（1）

假設(shè) F（ξ） 滿足一階常微分方程

（F^′）²=q₀+q₂F²+q₄F⁴.

式（14）中： q₀…q₂ 和 q₄ 是常數(shù)。根據(jù)式（14），有 F^′F^′′=q₂FF^′+2q₄F³F^′ 。進(jìn)一步有

方程（14）的解參考文獻(xiàn)[18]中的表1。利用 u^' 與 vv^′ ，以及 uv^′，u^′v 與 v^′′ 之間的齊次平衡，可得式（3）中的最高次冪分別為 m=2 和 n=1 。把式（3）代入式（2）中，并利用式（15），得到

和

令式（16）和式（17）中 的系數(shù)為0，得到

方程組（18）的解為

用式（3）和式（19），以及文獻(xiàn)[18]中的表1，得到DSW方程（1）如下形式的解。

定理2 假定 k 為Jacobian橢圓函數(shù)的模量（modulus）。

1）如果 ，那么，DSW方程（1）有解

和

特別地，當(dāng) k1 時，式（20）變成

2）如果 q₀=1-k²?q₂=2k²-1?q₄=-k² ，那么，DSW方程（1）有解

特別地，當(dāng) k1 時，式（23）變成

3）如果 q₀=k²-1，q₂=2-k²，q₄=-1 ，那么，DSW方程（1）有解

特別地，當(dāng) k1 時，式（25）變成式（24）。

4）如果 q₀=k²，q₂=-（1+k²），q q₄=1 ，那么，DSW方程（1）有解

和

特別地，當(dāng) k0 時，式（26）和（27）分別變成

和

而當(dāng) k1 時，式（26）變成

5）如果 q₀=-k²，q₂=2k²-1，q₄=1-k² ，那么，DSW方程（1）有解

特別地，當(dāng) k0 時，式（31）變成式（29）。

6）如果 q₀=-1，q₂=2-k²，q₄=k²-1 ，那么，DSW方程（1）有解

7）如果 q₀=1，q₂=2-k²，q₄=1-k² ，那么，DSW方程（1）有解

特別地，當(dāng) k0 時，式（33）變成

8）如果 ，那么，DSW方程（1）有解

9）如果 ，那么，DSW方程（1）有解

特別地，當(dāng) k0 時，式（36）變成

而當(dāng) k1 時，式（36）變成

10）如果 q₀=-k²（1-k²），q₂=2k²-1，q₄=1 ，那么，DSW方程（1）有解

特別地，當(dāng) k0 時，式（39）變成式（28），而當(dāng) k1 時，式（39）變成式（38）。

4結(jié)束語

基于Riccati-展開法和 F- 展開法，分別得到了經(jīng)典的DSW方程的各種形式的精確行波解。通過比較定理1和定理2，雖然F-展開法得到的解比Riccati-展開法的更豐富，但是Riccati-展開法得到的有理函數(shù)形式的解在F-展開法中卻沒得到。另外，相比于以前的結(jié)果[5-10]，得到的解很多都是新的。

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（責(zé)任編輯：黃曉楠 英文審校：黃心中）