數(shù)列通項(xiàng)公式求解策略探究

數(shù)列作為一類特殊函數(shù)，是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，也是高考考查的重點(diǎn).近年來(lái)遞推數(shù)列問(wèn)題在高考頻繁出現(xiàn)，已為命題熱點(diǎn).遞推數(shù)列的題型有很多，遞推數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法技巧性強(qiáng)，常常通過(guò)靈活的解題策略將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等比數(shù)列的問(wèn)題進(jìn)行求解，有時(shí)需要運(yùn)用不完全歸納法，先通過(guò)數(shù)列的特殊幾項(xiàng)歸納出數(shù)列具有的一般規(guī)律，最后用數(shù)學(xué)歸納法給出證明.求遞推數(shù)列的通項(xiàng)公式的方法多種多樣，通常包括公式法、累加法、累乘法、待定系數(shù)法、取倒數(shù)法、整體換元法、數(shù)學(xué)歸納法、構(gòu)造法等.準(zhǔn)確識(shí)別遞推關(guān)系式的結(jié)構(gòu)特征，采用高效、合適的方法，是正確求解數(shù)列通項(xiàng)公式的關(guān)鍵，有助于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)據(jù)分析、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模等核心素養(yǎng).

一、公式法

先分析所求數(shù)列的特征，將其轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等比數(shù)列，再利用等差數(shù)列或等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求解.具體公式為：若 為等差數(shù)列，則 ；若 為等比數(shù)列，則 ；或利用公式 求通項(xiàng).

[例1]（2020年高考江蘇卷第20題節(jié)選）已知數(shù)列 的首項(xiàng) ，前 n 項(xiàng)和為 設(shè) λ 與k是常數(shù)，若對(duì)一切正整數(shù)n，均有S?S 成立，則稱此數(shù)列為‘ 數(shù)列.（2）若數(shù)列 是 數(shù)列，且 ，求數(shù)列 的通項(xiàng)公式.

解 （204號(hào)

當(dāng) n ? 2 時(shí)，

評(píng)析：該題為數(shù)列綜合問(wèn)題，以新定義數(shù)列為背景，主要考查等差數(shù)列的基礎(chǔ)知識(shí)，以及學(xué)生代數(shù)推理、轉(zhuǎn)化與化歸能力，需注意的是直接寫(xiě)出 ，忽略驗(yàn)證 是否也滿足此式是學(xué)生的易錯(cuò)點(diǎn).

二、累加法

對(duì)于遞推數(shù)列 ，且 f （ n ） 可求和的情況，其解題方法為：把 n 用 1 ， 2 ， ? s ， n 逐一代入上式，通過(guò)等式累加求出數(shù)列通項(xiàng) f （ 1 ） + f （ 2 ） + f （ 3 ） + ? s + f （ n ） . （20

[例2]（2020年高考浙江卷第20題節(jié)選）已知數(shù)列 中， ， ，Cn+1 bc（n∈N\"）.（I）若數(shù)列為等比數(shù)列，公比 q gt; 0 ，且 ，求 q 與 的通項(xiàng)公式.

解：依題意知 而

（204號(hào) ，即 ，因?yàn)?q gt; 0 ，所以解得 ，故

因此 進(jìn)而可得

[文章編號(hào)] 1674-6058（2025）08-0030-03 由此可知，數(shù)列 是首項(xiàng)為1，公比為4的等比數(shù)列.故 ，所以 ， ）.可以把 n 用 1 ， 2 ， ? s ， n 逐一代入公式，通過(guò)等式對(duì)應(yīng)相加求出數(shù)列的通項(xiàng)

評(píng)析：本題是先得到等比數(shù)列 ，再通過(guò)把 n 用 1 ， 2 ， ? s ， n 代入 后進(jìn)行累加得到通項(xiàng)公式.其中，等比數(shù)列的構(gòu)造具有一定的技巧性.

三、累乘法

對(duì)于遞推數(shù)列，當(dāng) n ? 2 時(shí)，有 ，其中 f （ n ） 為可以求積的類型.

其解題思路為：把 n 用 1 ， 2 ， ? s ， n 逐一代入上式，通過(guò)等式累乘求出數(shù)列的通項(xiàng) （20號(hào)

[例3]（2022年新高考I卷第17題節(jié)選）記 為數(shù)列 的前項(xiàng)和，已知 是公差為 的等差數(shù)列（1）求 的通項(xiàng)公式.

解： 是首項(xiàng)為

1，公差為 的等差數(shù)列，

故 當(dāng) n ? 2 時(shí)， 整理得

又： 也滿足 的通項(xiàng)

公式為 評(píng)析：本題先確定數(shù)列 再通過(guò)整理得到

αn的值，從而考慮用累乘法.

四、待定系數(shù)法

對(duì)于遞推數(shù)列：已知 （為常數(shù)）， 為非零常數(shù)），求通項(xiàng) 的類型.

解題思路：通過(guò)待定系數(shù)法構(gòu)建等式 ，從而由 是等比數(shù)列來(lái)求出通項(xiàng)

[例4]（2007年高考全國(guó)I卷第22題節(jié)選）已知數(shù)列 中，滿足 ， 求 的通項(xiàng)公式.

解： ，令

解得 ，故 是一個(gè)首項(xiàng)為 ，公比為 的等比數(shù)列，（20

[練習(xí)]在數(shù)列 中， ，求 的通項(xiàng)公式.

解：令 ，： ，故 是一個(gè)首項(xiàng)為8，公比為2的等比數(shù)列，∴an+5=8·2n=1=2n+2 （20

五、取倒數(shù)法

對(duì)于形如a，=C（C為常數(shù)），n+1 = 為非零常數(shù)）的遞推數(shù)列，求通項(xiàng) 的類型.

解題思路：對(duì)等式兩邊取倒數(shù)得 令 大常數(shù)），根據(jù) 為等比數(shù)列求出通項(xiàng)

[例5]（2008年高考陜西卷理科第22題節(jié)選）已知數(shù)列 的首項(xiàng)

（1）求 的通項(xiàng)公式.

解： 為常數(shù)）， ∴ λ = - 1 ，

是一個(gè)首項(xiàng)為 公比為 的等比數(shù)列，

六、數(shù)學(xué)歸納法

數(shù)學(xué)歸納法是一種證明數(shù)學(xué)命題的重要方法，常用于證明某個(gè)命題在所有自然數(shù)范圍內(nèi)成立.它基于兩個(gè)重要的假設(shè)：一是基準(zhǔn)情形，即當(dāng) n 取特定值時(shí)命題成立；二是歸納假設(shè)，即假設(shè)當(dāng) n = k 時(shí)命題成立，進(jìn)而證明當(dāng) n = k + 1 時(shí)命題也成立.通過(guò)這種遞推思想，可推導(dǎo)出命題對(duì)所有自然數(shù) n 都成立的結(jié)論.

數(shù)學(xué)歸納法在數(shù)學(xué)研究和證明中具有優(yōu)勢(shì)：它簡(jiǎn)捷有效，借助演繹推理能快速證明數(shù)學(xué)命題的正確性，減少了煩瑣推導(dǎo).

需要強(qiáng)調(diào)的是，數(shù)學(xué)歸納法的兩個(gè)步驟都至關(guān)重要，缺一不可，否則可能得出錯(cuò)誤結(jié)論.

[例6]（2020年高考全國(guó)Ⅲ卷第17題節(jié)選）設(shè)數(shù)列 滿足 1）計(jì)算 猜想 的通項(xiàng)公式并加以證明.

解：由題意可得 ， ，根據(jù)數(shù)列 的前三項(xiàng)的值3，5，7，猜想出它是一個(gè)以3為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，故有

（1）當(dāng) n = 1 時(shí)， ，滿足 ，猜想正確;

下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：

（2）當(dāng) 時(shí)，猜想 正確.那么當(dāng) n = k + 1 時(shí)，因?yàn)? 2 k + 3 = 2 （ k + 1 ） + 1 ，故猜想對(duì) n = k + 1 時(shí)也成立.

綜上可知，對(duì)任意的 ，都有 成立.

七、構(gòu)造法

對(duì)于遞推數(shù)列：已知 為常數(shù)）， 為非零常數(shù)），求通項(xiàng) 的類型.

解題思路：構(gòu)造等式n+1 ，設(shè) 求出 λ 后，令 an+入，則 是一個(gè)首項(xiàng)為 ，公比為 的等比數(shù)列．因此， ，故a=

[例7]（2006年高考全國(guó) I 卷第22題節(jié)選）設(shè)數(shù)列 的前項(xiàng)和為

（I）求首項(xiàng) 與通項(xiàng) =

解：當(dāng) n = 1 時(shí)， 解得 5

當(dāng) n ? 2 時(shí)，

構(gòu)造新數(shù)列 故

公 （20

評(píng)析：此題在得到 后，也可以用待定系數(shù)法完成.

新高考改革背景下，數(shù)列通項(xiàng)公式的探究要求日益提高，遞推數(shù)列通項(xiàng)公式的推導(dǎo)方法研究也更具深度和廣度.本文通過(guò)歸納和提煉常見(jiàn)遞推數(shù)列通項(xiàng)公式的推導(dǎo)方法，有效提升了求解效率.強(qiáng)化遞推數(shù)列通項(xiàng)公式的推導(dǎo)訓(xùn)練，不僅能激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，更能引導(dǎo)其深人探究數(shù)列相關(guān)知識(shí)，從而全面提升學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).

[參考文獻(xiàn)］

[1]王濤.例談?dòng)? 求數(shù)列通項(xiàng)公式的常用方法[C]//教育教學(xué)研究（2016年版）第一輯.廣東省中山市龍山中學(xué)，2016：84-85.

[2]張穎.由遞推式構(gòu)造新數(shù)列求數(shù)列通項(xiàng)公式[J].才智，2010（6）：104.

（責(zé)任編輯 黃春香）