立體幾何動點三類常見問題分析

立體幾何是高中數(shù)學的重要內(nèi)容之一，歷年高考數(shù)學試卷中頻繁出現(xiàn)相關(guān)題目.其中，動點問題是主要命題方向，但是此類問題難度較大，既考驗學生的計算能力，又考驗學生的空間想象能力.為幫助學生掌握解題方法，筆者結(jié)合具體例題，對考試中常見的幾類立體幾何動點問題及其解法進行總結(jié)歸納.

一、軌跡問題

動點軌跡問題是高考立體幾何問題的常見命題方向，主要考查點、線、面間的位置關(guān)系，探究符合一定條件的點的運動軌跡.軌跡問題通常分為兩類：一是判斷動點在三維空間的運動軌跡；二是計算動點的軌跡長度.無論是哪一類問題，解答時均需熟練掌握動點軌跡的判斷方法.

在命題情境中，需根據(jù)軌跡特征判斷軌跡類型，常見的軌跡類型有：球面軌跡（如給定一個點到固定點的距離不變求該點的軌跡）平面軌跡（如給定一個點滿足平面相關(guān)條件求該點的軌跡）直線軌跡（如給定一個點滿足直線相關(guān)條件求該點的軌跡）圓錐曲線軌跡（在某些特殊情況下，動點的軌跡可能是橢圓、雙曲線或拋物線）等.

動點軌跡問題的解題方法多樣，沒有固定模式.常用的解題方法可總結(jié)為以下幾種.

定義法：根據(jù)題目條件，直接依據(jù)常見軌跡（如球面軌跡、圓柱面軌跡、圓錐曲線軌跡等）的定義來判斷動點的軌跡.

幾何性質(zhì)法：利用空間幾何的基本性質(zhì)（如平行、垂直、距離等）和定理（如三垂線定理、線面垂直的判定定理等）來推導動點的軌跡.

代人法：假設(shè)動點滿足某個方程（如球面方程、圓柱面方程等），將動點的坐標代人方程，驗證方程是否恒成立，從而確定軌跡.

參數(shù)法：引入?yún)?shù)來表示動點的坐標，根據(jù)題目條件建立參數(shù)方程，然后消去參數(shù)得到動點的普通方程，進而確定軌跡.

向量法：不通過建系，而是利用向量的線性運算、數(shù)量積、模等性質(zhì)，結(jié)合空間向量的基本定理，通過向量計算推導動點的軌跡，尤其在處理與角度、距離相關(guān)的問題時，向量法能提供更簡潔的解題思路.

坐標法：建立適當?shù)目臻g直角坐標系，將空間中的點、線、面用坐標表示，將立體幾何中的軌跡問題轉(zhuǎn)化為坐標運算問題，再利用坐標運算和方程求解推導動點的軌跡，該方法在處理與距離、角度、平行、垂直等相關(guān)的立體幾何問題時特別有效.

可以發(fā)現(xiàn)，各種解題方法適用的情境各不相同，因此學生需結(jié)合題目信息靈活選擇解題方法.

[例1]如圖1，在直三棱柱 中，Δ A B C 為邊長是2的正三角形，3 ， N 為棱 上的中點， M 為棱 上的動點，過 N 作平面 A B M 的垂線段，垂足為 o ，當點 M 從點 c 運動到 時，點 o 的軌跡長度為多少？

解析：取 A B 的中點 P ，連接 ，如圖2，

因為 P C ⊥ A B ， P N ⊥ A B 且 P N ∩ P C = P 所以 A B ⊥ 平面 又 A B ? 平面 A B M

則平面 A B M ⊥ 平面 ，平面ABM∩平面

過 N 作 N O ⊥ P M ， N O ? 平面 所以 N O ⊥ 平面ABM.

取 P N 的中點 Q ，當點 M 從點 c 運動到 時，點 o 的運動軌跡為以P N 為直徑的圓 Q （部分），如圖3所示.

如圖4，當 M 運動到 時，點o 到達最高點，此時

所以 ，從而 ∠ O Q P = 所以弧長 ，即點 o 的軌跡長度為 π

評析：本題為動點軌跡長度問題，解答這類問題的難點在于準確判斷出動點的運動軌跡，并結(jié)合幾何圖形的性質(zhì)來解題.因此，解題時首先要仔細分析題目給出的所有條件，明確求解的是哪個動點的軌跡長度，確定動點的約束條件；接著根據(jù)題目條件，判斷動點的軌跡是直線、圓、橢圓、拋物線還是其他更復雜的曲線；然后選擇解題方法，若軌跡是直線或圓等簡單圖形，可以直接利用幾何性質(zhì)（如勾股定理、弧長公式等）計算長度；最后根據(jù)解題方法進行解題.

二、最值問題

最值問題是常見考題，頻繁出現(xiàn)在高考試卷中.可將最值問題再細分為距離最值、角度最值、面積最值、體積最值等幾類.其中，距離最值包括動點到點的距離最值、動點到直線的距離最值、動點到平面的距離最值、直線到直線的距離最值、直線到平面的距離最值等；角度最值包括異面直線所成角的最值、線面角的最值、二面角的最值等;面積最值包括三角形面積最值、四邊形面積最值及截面面積最值等.

在最值問題中，常用的解題方法包括以下幾種.

直接法：通過作輔助線、面等方式，將問題轉(zhuǎn)化為更簡單的幾何問題，利用幾何性質(zhì)（如平行、垂直、距離等）直接求解.

向量法：建立空間直角坐標系，將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題.先利用向量的點積、模長等求解距離、角度等相關(guān)量，再結(jié)合函數(shù)思想（如設(shè)定動點的坐標或參數(shù)），建立目標函數(shù)，利用函數(shù)性質(zhì)求解最值.

幾何與代數(shù)結(jié)合法：先用幾何方法確定動點的軌跡或范圍，再利用代數(shù)方法建立目標函數(shù)并求解最值.

特殊值法：當動點或動線在特定位置時，可能會取得最值，此時可通過取特殊值來簡化問題.

[例2]如圖5，正方體ABCD- 中，點 P 在線段 上運動，設(shè)異面直線 C P 與 所成角為 θ ，則 cos θ 的最小值為多少？

解析：在正方體 中，

所以四邊形 是平行四邊形，

則 ，

所以 C P 與 所成角 或其補角為 C P 與 所成角 θ

連接 A C ，由正方體的特征可知 為正三角形，

故當 P 與 A 重合時， 當 P 與 重合時，因為 與 平行，所以 A

由余弦函數(shù)性質(zhì)可知 y = cos θ 在 上單調(diào)遞減，所以 cos θ 的最小值為 中

評析：本題為求異面直線所成角的余弦值的最小值問題.要求得余弦值的最值，需判斷動點運動過程中所求角度的變化情況，再結(jié)合三角函數(shù)性質(zhì)對其余弦值的最值進行判斷.在解答角度最值問題時，首先要明晰題目中給出的所有條件，明確需要求解的是最大角還是最小角；接著通過輔助線或輔助面，建立動點與已知點、線、面之間的幾何聯(lián)系；然后利用平面幾何或立體幾何的性質(zhì)與定理（如平行線性質(zhì)、垂直線性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理、正弦定理、余弦定理等）進行推導；最后利用代數(shù)方法（如配方法、求導法、不等式性質(zhì)等）求解角度的最值.

三、空間位置關(guān)系問題

在立體幾何動點問題中，空間位置關(guān)系問題的命題情境及解題方法多樣.常見的空間位置關(guān)系考查包括平行與垂直關(guān)系、距離與角度關(guān)系等問題，如判斷動點軌跡與定直線、定平面的平行或垂直關(guān)系，求證動點軌跡與某直線、平面平行或垂直的條件，涉及距離之和、差、積等特定條件的問題等.

在解答此類問題時，常用的方法包括以下幾種.

圓錐曲線定義法：當動點運動過程中保持某些距離或角度一定條件不變時，可聯(lián)想解析幾何中有關(guān)軌跡（如圓、橢圓、拋物線等）的定義，從而轉(zhuǎn)化條件求解.

空間向量法：利用空間向量的性質(zhì)（如向量的點積、叉積等）來求解空間中的動點問題，這種方法可以降低思維難度，使解題思路程序化.

在解答這類問題時，要求學生具備較強的空間想象力，需要學生結(jié)合具體情況和所給條件靈活選擇解題方法.

[例3]如圖6，在梯形ABCD中， A B / / C D ！ 四邊形ACFE為矩形，且 C F ⊥ 平面A B C D ， A D = C D = B C = C F = 1 .

（1）求證：平面 E F C D ⊥ 平面 B C F

（2）點 M 在線段 E F 上運動，求當點 M 在什么位

置時，平面 M A B 與平面FCB所成銳二面角余弦值

為√3 #

解析：（1）略；

（2）以 C 為坐標原點， C A ，C B ， C F 所在直線分別為 x 軸， y 軸， z 軸，得到如圖7所示的坐標系.

因為 A D = C D = B C = C F = 1 ，則 A B = 2

又 所以 3由 余弦定理有 所以 ，則 設(shè) ！ 則

所以 設(shè) 為平面 M A B 的一個法向量，則 號令 x = 1 ，則 易知 為平面 F C B 的一個法向量，所以 解得 或 而 ，所以 所以 即M 在線段 E F 靠近點 F 的三等分點處時，滿足題意.

評析：本題為立體幾何動態(tài)問題中關(guān)于點的確定問題，屬于常見問題.本題主要借助向量法，即通過構(gòu)建空間直角坐標系，得到兩個平面的法向量，而后根據(jù)兩個平面的二面角余弦值進行列式，從而得到動點的位置.

綜上所述，高中立體幾何動點常見的三類問題，分別為軌跡問題、最值問題、空間位置關(guān)系問題.這三類問題又可以細分為多個子問題，各問題對應(yīng)不同的解題方法，這三類問題在每年的高考中都會有所涉及.本文歸納了幾類問題的常見命題情境及解題方法，但由于命題情境靈活多變，學生需掌握不同情境下的解題方法，以確保在考試中能夠快速準確解題.

［參考文獻]

[1］郝以靜.立體幾何中動點軌跡常見問題及解題策略[J].數(shù)理天地（高中版），2024（5）：23-24.

[2]孫平.巧用向量法解一類立體幾何中的探索性問題[J].中學生數(shù)理化（高考數(shù)學），2024（2）：34-37.

[3]李翼.立體幾何中的動態(tài)問題探析[J].數(shù)理天地（高中版），2023（21）：6-7.

（責任編輯 黃春香）