數(shù)與運(yùn)算一致性的內(nèi)涵及實(shí)踐路徑

2022年，教育部印發(fā)的《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下簡(jiǎn)稱(chēng)“新課標(biāo)\"）在2011年版課標(biāo)的基礎(chǔ)上進(jìn)行了較大幅度的修訂，這需要教師在學(xué)習(xí)中思辨和比較中研讀。新課標(biāo)致力于實(shí)現(xiàn)義務(wù)教育階段的培養(yǎng)目標(biāo)，立足于逐步形成適應(yīng)終身發(fā)展需要的核心素養(yǎng)：教學(xué)目標(biāo)立足于發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)；教學(xué)內(nèi)容的確定基于培養(yǎng)學(xué)生核心素養(yǎng)；教學(xué)評(píng)價(jià)的制定基于對(duì)核心素養(yǎng)達(dá)成情況的評(píng)估。由此可見(jiàn)，新課標(biāo)在教學(xué)目標(biāo)、教學(xué)內(nèi)容和教學(xué)評(píng)價(jià)等方面都對(duì)培養(yǎng)學(xué)生核心素養(yǎng)提出了具體要求，突出了發(fā)展核心素養(yǎng)的重要地位。

新課標(biāo)指出，課程內(nèi)容的設(shè)置應(yīng)具有結(jié)構(gòu)化特征，需對(duì)內(nèi)容進(jìn)行整合，形成結(jié)構(gòu)化的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，從而培養(yǎng)學(xué)生核心素養(yǎng)。新課標(biāo)指出：引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)概念之間的一致性和統(tǒng)一性，形成結(jié)構(gòu)性的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，用整體的、聯(lián)系的、發(fā)展的眼光看問(wèn)題，是發(fā)展核心素養(yǎng)的重要途徑。若要建立知識(shí)結(jié)構(gòu)，就要借助“核心概念\"和“一致性”。核心概念可以理解為能反映數(shù)學(xué)知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系、能根據(jù)知識(shí)之間的共性溝聯(lián)其他數(shù)學(xué)概念，進(jìn)而形成知識(shí)結(jié)構(gòu)的那些最基本、最具概括性的數(shù)學(xué)概念。一致性從宏觀角度可以理解為世間方物的發(fā)展變化規(guī)律本質(zhì)上是一樣的；從微觀角度可以理解為知識(shí)之間具有緊密聯(lián)系。下面以義務(wù)教育階段學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要領(lǐng)域—代數(shù)領(lǐng)域中“數(shù)與運(yùn)算\"這一主題為例，探討如何以核心概念“計(jì)數(shù)單位”為核心，引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)數(shù)與運(yùn)算一致性的內(nèi)涵，幫助建立數(shù)感，形成運(yùn)算能力和推理意識(shí)，發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)。

與《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》相比，新課標(biāo)將原有的“數(shù)的認(rèn)識(shí)\"和“數(shù)的運(yùn)算\"兩個(gè)主題組合成“數(shù)與運(yùn)算\"這一個(gè)主題，即強(qiáng)調(diào)數(shù)的概念和數(shù)的運(yùn)算具有一致性。從數(shù)的概念角度，包括整數(shù)小數(shù)、分?jǐn)?shù)，以及從數(shù)的運(yùn)算角度，包括加、減、乘、除，要體現(xiàn)它們的一致性，都離不開(kāi)“計(jì)數(shù)單位\"這一核心概念。

一、數(shù)的概念本質(zhì)的一致性

數(shù)的概念的一致性可以從兩個(gè)角度探討。第一，不管是整數(shù)小數(shù)還是分?jǐn)?shù)，都是對(duì)數(shù)量的抽象，從這個(gè)層面講，數(shù)的概念具有一致性。例如，整數(shù)部分，20本書(shū)、20棵樹(shù)、20輛汽車(chē)等，都能用20來(lái)表示；分?jǐn)?shù)部分：3/5塊月餅、3/5本書(shū)、3/5個(gè)紙箱等都能用3/5來(lái)表示；小數(shù)部分：0.7元、0.7米、0.7千克等都能用0.7來(lái)表示。第二，數(shù)是對(duì)多少個(gè)單位的表達(dá)，例如，整數(shù)：20是2個(gè)“十\"；分?jǐn)?shù)：3/5是3個(gè)“1/5\"；小數(shù)：0.7是7個(gè)0.1。由此可見(jiàn)，計(jì)數(shù)單位是認(rèn)識(shí)數(shù)或理解數(shù)概念的核心。同時(shí)，整數(shù)、分?jǐn)?shù)、小數(shù)，本質(zhì)上都是對(duì)若干個(gè)計(jì)數(shù)單位的表達(dá)，從這個(gè)角度講，數(shù)的概念具有一致性。所以，計(jì)數(shù)單位也是幫助學(xué)生體會(huì)數(shù)概念一致性的基石，需要在一、二年級(jí)學(xué)生認(rèn)識(shí)整數(shù)時(shí)，特別是20以?xún)?nèi)數(shù)的認(rèn)識(shí)，借助計(jì)數(shù)器、方塊圖或者小棒、圓片等學(xué)具，將計(jì)數(shù)單位的累積、細(xì)分的過(guò)程和計(jì)數(shù)單位個(gè)數(shù)的累加、遞減過(guò)程表達(dá)清楚，夯實(shí)計(jì)數(shù)單位的基礎(chǔ)，而在認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)時(shí)注重分?jǐn)?shù)單位的學(xué)習(xí)，小數(shù)的初步認(rèn)識(shí)時(shí)注重與已有知識(shí)的聯(lián)系，建立實(shí)際支撐，就可以幫助學(xué)生建立數(shù)的概念，培養(yǎng)數(shù)感。

二、數(shù)與運(yùn)算的一致性

數(shù)與運(yùn)算的一致性可以從兩個(gè)角度進(jìn)行分析。第一，四則運(yùn)算意義的一致性。小學(xué)階段，整數(shù)、小數(shù)和分?jǐn)?shù)的加、減、乘、除四則運(yùn)算是以加法為基礎(chǔ)的，在加法的基礎(chǔ)上，乘法是加法的簡(jiǎn)便運(yùn)算，減法是加法的逆運(yùn)算，除法是減法的簡(jiǎn)便運(yùn)算，而且乘法和除法互為逆運(yùn)算，也是計(jì)數(shù)單位及其個(gè)數(shù)的變化：加法是計(jì)數(shù)單位的增加，減法是計(jì)數(shù)單位的減少，乘法是相同計(jì)數(shù)單位的增加，除法是相同計(jì)數(shù)單位的減少。第二，四則運(yùn)算算理的一致性。整數(shù)、小數(shù)和分?jǐn)?shù)四則運(yùn)算的算法雖然各不相同，但它們的算理具有一致性。加、減法運(yùn)算都是相同計(jì)數(shù)單位個(gè)數(shù)的加減，計(jì)數(shù)單位保持不變；具體來(lái)看：在整數(shù)加減法中相同數(shù)位對(duì)齊以及在小數(shù)加減法中小數(shù)點(diǎn)對(duì)齊都是因?yàn)橄嗤瑪?shù)位上的數(shù)才能相加減，在分?jǐn)?shù)加減法中同分母分?jǐn)?shù)分母不變分子相加減以及異分母分?jǐn)?shù)通分后再加減都是因?yàn)橄嗤?jì)數(shù)單位才能相加減；乘法運(yùn)算的算理都是計(jì)數(shù)單位乘計(jì)數(shù)單位得到新的計(jì)數(shù)單位，同時(shí)計(jì)數(shù)單位的個(gè)數(shù)乘計(jì)數(shù)單位的個(gè)數(shù)得到新的計(jì)數(shù)單位的個(gè)數(shù)；除法運(yùn)算的算理都是計(jì)數(shù)單位除以計(jì)數(shù)單位得到新的計(jì)數(shù)單位，同時(shí)計(jì)數(shù)單位的個(gè)數(shù)除以計(jì)數(shù)單位的個(gè)數(shù)得到新的計(jì)數(shù)單位的個(gè)數(shù)；可以看到，計(jì)數(shù)單位是理解數(shù)運(yùn)算的核心，同時(shí)，整數(shù)、分?jǐn)?shù)、小數(shù)四則運(yùn)算，本質(zhì)都是計(jì)數(shù)單位及計(jì)數(shù)單位的個(gè)數(shù)，從這個(gè)角度講，數(shù)的運(yùn)算具有一致性。

三、數(shù)概念與數(shù)與運(yùn)算的一致性

上文已介紹了數(shù)的概念的一致性及數(shù)的運(yùn)算的一致性：計(jì)數(shù)單位及計(jì)數(shù)單位的累加或遞減。數(shù)的概念和數(shù)的運(yùn)算都是基于計(jì)數(shù)單位構(gòu)建的，以0.1為例，在初步認(rèn)識(shí)小數(shù)時(shí)，0.1是認(rèn)識(shí)小數(shù)的基礎(chǔ)、是比較小數(shù)大小的基礎(chǔ)、是小數(shù)簡(jiǎn)單計(jì)算的基礎(chǔ)，因此，數(shù)的概念與數(shù)的運(yùn)算具有一致性。

理解數(shù)的概念和數(shù)與運(yùn)算都是以計(jì)數(shù)單位為核心，根據(jù)上面的分析，數(shù)與運(yùn)算的一致性包括三種內(nèi)涵：數(shù)概念的一致性、數(shù)與運(yùn)算的一致性、數(shù)與運(yùn)算的一致性。從一年級(jí)到六年級(jí)，數(shù)與運(yùn)算這一主題包括整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)及其四則運(yùn)算很多內(nèi)容，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)知識(shí)間存在的密切聯(lián)系。以學(xué)習(xí)主題統(tǒng)領(lǐng)，厘清數(shù)與運(yùn)算一致性的內(nèi)涵，建立整體知識(shí)結(jié)構(gòu)，能夠幫助學(xué)生更深入地理解概念，提升學(xué)生學(xué)習(xí)能力，最終落實(shí)核心素養(yǎng)。

四、數(shù)與運(yùn)算一致性的實(shí)踐

首先，引導(dǎo)學(xué)生感受數(shù)與運(yùn)算一致性，可以幫助學(xué)生建立數(shù)與運(yùn)算知識(shí)結(jié)構(gòu)和體系，培養(yǎng)結(jié)構(gòu)化思維，發(fā)展核心素養(yǎng)。感受數(shù)與運(yùn)算一致性的核心是深刻理解計(jì)數(shù)單位這一核心概念，因此，應(yīng)該上好“概念課”，突出計(jì)數(shù)單位的核心地位，將計(jì)數(shù)單位這一核心概念貫穿教學(xué)的始終，從一、二年級(jí)認(rèn)識(shí)整數(shù)，到三年級(jí)初步認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)和小數(shù)，第一節(jié)對(duì)計(jì)數(shù)單位的認(rèn)識(shí)都應(yīng)引起教師的重視，并需要不斷強(qiáng)化學(xué)生對(duì)計(jì)數(shù)單位的認(rèn)識(shí)和理解，為學(xué)生體會(huì)數(shù)與運(yùn)算一致性打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。另外，整數(shù)、分?jǐn)?shù)、小數(shù)四則運(yùn)算內(nèi)容繁雜，教材對(duì)內(nèi)容的編排較為分散，不利于集中管理，而對(duì)算理的深人理解有助于學(xué)生感受數(shù)與運(yùn)算的一致性，因此，教師應(yīng)上好“算理課”，借助小棒圖、示意圖，加深學(xué)生對(duì)算理的理解，并需要不斷強(qiáng)化算理與計(jì)數(shù)單位的聯(lián)系，突出計(jì)數(shù)單位的核心地位，引導(dǎo)學(xué)生感受計(jì)數(shù)單位在數(shù)的運(yùn)算中的重要性，為學(xué)生感悟數(shù)與運(yùn)算一致性打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

其次，通過(guò)問(wèn)題驅(qū)動(dòng)學(xué)生對(duì)核心概念的持續(xù)性思考，數(shù)的概念和數(shù)的運(yùn)算都是以計(jì)數(shù)單位為核心，因此，數(shù)與運(yùn)算這一主題的內(nèi)容最核心的問(wèn)題是計(jì)數(shù)單位是什么，以及計(jì)數(shù)單位有多少?？紤]到不同學(xué)段學(xué)生的年齡特征和思維水平，合理設(shè)置核心問(wèn)題，如對(duì)于低段學(xué)生，可以提出“0.1怎么重要呢”；對(duì)于高段學(xué)生，可以提出“觀察小數(shù)的計(jì)算過(guò)程，你聯(lián)想到什么”利用核心問(wèn)題激發(fā)學(xué)生對(duì)計(jì)數(shù)單位的持續(xù)性思考，幫助學(xué)生感受數(shù)與運(yùn)算的一致性。另外，借助思維導(dǎo)圖、數(shù)位表等，引導(dǎo)學(xué)生不斷對(duì)比辨析并歸納總結(jié)整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)的概念以及它們的四則運(yùn)算方面的一致性，引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)數(shù)與運(yùn)算一致性的內(nèi)涵，增強(qiáng)學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)的整體性和結(jié)構(gòu)性，提高知識(shí)遷移水平，幫助學(xué)生建立數(shù)與運(yùn)算知識(shí)結(jié)構(gòu)，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)感、運(yùn)算能力和推理能力，發(fā)展結(jié)構(gòu)化思維，培養(yǎng)學(xué)生自己能夠?qū)⑺鶎W(xué)知識(shí)進(jìn)行結(jié)構(gòu)化、系統(tǒng)化的能力，發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)。

最后，從結(jié)構(gòu)化角度來(lái)看，教師只有掌握知識(shí)的整體結(jié)構(gòu)中的每個(gè)局部知識(shí)，抓住知識(shí)間的連接點(diǎn)，才能引導(dǎo)學(xué)生回憶起與新知識(shí)相關(guān)的舊知識(shí)，促使學(xué)生通過(guò)知識(shí)遷移，將新知轉(zhuǎn)化成舊知。在此過(guò)程中，學(xué)生在新知和舊知之間建立聯(lián)系，發(fā)現(xiàn)其一致性，最終形成結(jié)構(gòu)化的知識(shí)體系。因此，教師應(yīng)對(duì)小學(xué)階段數(shù)與運(yùn)算的內(nèi)容進(jìn)行結(jié)構(gòu)化整合，構(gòu)建數(shù)與運(yùn)算的知識(shí)結(jié)構(gòu)。由于數(shù)與運(yùn)算這一主題內(nèi)容分散于小學(xué)一至六年級(jí)的教材，學(xué)習(xí)過(guò)程存在斷點(diǎn)，難以構(gòu)建知識(shí)間的內(nèi)在聯(lián)系，學(xué)生不容易感受數(shù)與運(yùn)算的一致性，進(jìn)而難以形成知識(shí)結(jié)構(gòu)。為了幫助學(xué)生感受數(shù)與運(yùn)算一致性，引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)建知識(shí)結(jié)構(gòu)，教師需要整體把握結(jié)構(gòu)化的課程內(nèi)容，并根據(jù)學(xué)生已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)、認(rèn)知水平、學(xué)習(xí)要求等選擇能促進(jìn)學(xué)生思考的教學(xué)方式，根據(jù)各部分內(nèi)容的內(nèi)在聯(lián)系，整體設(shè)計(jì)教學(xué)活動(dòng)，借由鋪墊課、探究課、復(fù)習(xí)課、延伸課等結(jié)構(gòu)化課程，幫助學(xué)生從整體、聯(lián)系、發(fā)展的角度觀察、思考、表達(dá)數(shù)學(xué)，形成結(jié)構(gòu)化的知識(shí)體系，助力數(shù)學(xué)素養(yǎng)的生成

五、結(jié)束語(yǔ)

引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)概念之間的一致性和統(tǒng)一性，形成結(jié)構(gòu)性的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，用整體的、聯(lián)系的、發(fā)展的眼光看問(wèn)題，是發(fā)展核心素養(yǎng)的重要途徑。想要建立知識(shí)結(jié)構(gòu)，就要借助“核心概念\"和“一致性”。對(duì)于數(shù)與運(yùn)算這一主題內(nèi)容，基于計(jì)數(shù)單位這一核心概念體會(huì)數(shù)與運(yùn)算的一致性?xún)?nèi)涵，可以幫助學(xué)生建立數(shù)與運(yùn)算的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，引導(dǎo)學(xué)生用結(jié)構(gòu)化的知識(shí)形成結(jié)構(gòu)化的思維方式，建立數(shù)感，形成運(yùn)算能力和推理意識(shí)，發(fā)展核心素養(yǎng)。

【參考文獻(xiàn)】

[1]王嵐.“運(yùn)算一致性\"的價(jià)值理解與實(shí)踐路徑[]江蘇教育，2023（14）：7-11.

[2]熊淑君.核心概念統(tǒng)整下的數(shù)與運(yùn)算一致性教學(xué)探索[J.教學(xué)與管理，2024（5）：55-59.

[3]陳光明.重構(gòu)數(shù)與運(yùn)算一致性形成結(jié)構(gòu)化知識(shí)體系[J].遼寧教育，2024（7）：27-30.

[4]袁懿，何袁靜，陳麗娜.數(shù)的運(yùn)算及數(shù)量關(guān)系的一致性研究：以小學(xué)數(shù)學(xué)六年級(jí)上冊(cè)數(shù)與代數(shù)整體教學(xué)為例[J.重慶第二師范學(xué)院學(xué)報(bào)，2023，36（5）：74-82.