基于智能化識(shí)別的鐵路隧道多連通域映射函數(shù)求解

【摘要】基于復(fù)變函數(shù)映射函數(shù)求解的基本原理，建立了多連通域映射函數(shù)求解數(shù)學(xué)模型，并引入復(fù)合形優(yōu)化算法，求解了深埋隧道多連通域問題的近似映射函數(shù)。結(jié)果表明：對(duì)于非圓不規(guī)則形狀的多連通域問題，映射函數(shù)無法精確求解，只能得到有限項(xiàng)的冪級(jí)數(shù)作為近似映射函數(shù)，增加邊界上映射點(diǎn)數(shù)量或者增加冪級(jí)數(shù)項(xiàng)數(shù)均可提升映射函數(shù)的精度。通過復(fù)合形優(yōu)化算法計(jì)算，冪級(jí)數(shù)項(xiàng)數(shù)取4，半邊界映射點(diǎn)數(shù)量取40時(shí)，映射形狀與實(shí)際吻合良好，函數(shù)精度較高。

【關(guān)鍵詞】映射函數(shù)； 多連通域； 解析解； 智能識(shí)別

【中圖分類號(hào)】U456.3A

0 引言

將深埋圓形隧道簡(jiǎn)化為含圓孔的平面無限大域時(shí)，可以通過平面彈性力學(xué)常規(guī)解法對(duì)深埋圓形隧道開挖引起的位移、應(yīng)力展開解析分析。但對(duì)于淺埋隧道開挖、深埋非圓形隧道開挖、雙線隧道開挖等一系列更加復(fù)雜的實(shí)際問題，依靠平面彈性力學(xué)常規(guī)的逆解法和半逆解法往往難以推導(dǎo)得到解析解，需要引入平面彈性力學(xué)復(fù)變函數(shù)求解方法［1］?；贛uskhelishvili［2］提出的平面彈性力學(xué)復(fù)變函數(shù)求解方法，結(jié)合保角映射，大量學(xué)者開展了隧道襯砌和圍巖的位移、應(yīng)力解析分析。曹小林［3］推導(dǎo)得到了深埋圓形、橢圓形、矩形、直墻拱形等常用隧道斷面開挖引起的圍巖應(yīng)力解析解，并被Abaqus有限元數(shù)值解驗(yàn)證。張治國(guó)等［4］推導(dǎo)得出了盾構(gòu)隧道開挖引起的土體變形解析解，與現(xiàn)場(chǎng)實(shí)測(cè)土體變形值進(jìn)行對(duì)比驗(yàn)證了解析解的正確性。曾癸森［5］推導(dǎo)得到了半無限域內(nèi)淺埋橢圓形隧道開挖引起的圍巖位移、應(yīng)力解析解，并被Ansys有限元數(shù)值解驗(yàn)證。李阿康［6］推導(dǎo)了地表超載作用下淺埋圓形隧道位移、應(yīng)力解析解，并被Midas-GTS有限元數(shù)值解驗(yàn)證。李巖松等［7］考慮隧道壁后注漿加固效應(yīng)，推導(dǎo)得到了注漿加固條件下深埋馬蹄形隧道襯砌和注漿圈的位移、應(yīng)力解析解，并被Flac有限差分?jǐn)?shù)值解驗(yàn)證。

大量學(xué)者采用平面彈性力學(xué)復(fù)變函數(shù)求解方法對(duì)隧道開挖以及支護(hù)過程中的力學(xué)問題展開了解析研究，然而其計(jì)算過程復(fù)雜繁瑣，求解難度較大，故僅在一些較為簡(jiǎn)單的隧道力學(xué)問題中應(yīng)用。因此，本文基于平面彈性力學(xué)復(fù)變函數(shù)冪級(jí)數(shù)求解方法，對(duì)凍脹作用下隧道襯砌力學(xué)響應(yīng)開展解析分析。

1 單連通域映射函數(shù)求解原理

針對(duì)一個(gè)由一條圓形邊界或橢圓形邊界組成的單連通域問題，其映射函數(shù)可以精確表示。然而求解一個(gè)由一條不規(guī)則邊界組成的單連通域問題的精確映射函數(shù)難度較大，單連通域保角映射示意如圖1所示。

2 復(fù)合形優(yōu)化算法基本原理及步驟

采用復(fù)合形優(yōu)化算法求解有約束的n維非線性優(yōu)化問題時(shí)，首先需要為每個(gè)未知參數(shù)在計(jì)算空間內(nèi)選取m（n+1≤m≤2n）個(gè)初始頂點(diǎn)，且滿足未知參數(shù)邊界條件和優(yōu)化問題的約束條件，使其構(gòu)成一個(gè)未知參數(shù)的初始復(fù)合形。隨之復(fù)合形進(jìn)行迭代計(jì)算，在迭代過程中不斷舍棄目標(biāo)函數(shù)值最大點(diǎn)，并尋找到的目標(biāo)函數(shù)值更小值進(jìn)行替代，與前一步保留的其他頂點(diǎn)共同構(gòu)成新的復(fù)合形，如此重復(fù)迭代，當(dāng)滿足優(yōu)化問題所需的精度要求時(shí)，即可收獲一組優(yōu)化問題的近似解。

復(fù)合形優(yōu)化算法在求解非線性優(yōu)化問題時(shí)一般按照如下步驟進(jìn)行：

3 隧道多連通域映射函數(shù)求解

3.1 多連通域問題的目標(biāo)函數(shù)修正

多連通域保角映射示意如圖2所示。對(duì)于多連通域問題，如仍然采用前述目標(biāo)函數(shù)求解映射函數(shù)，僅考慮一條連通邊界上各點(diǎn)的映射精度，則另外兩條連通邊界的映射精度難以保證，故須對(duì)第1節(jié)所推導(dǎo)的目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行修正。

3.2 單線鐵路隧道映射函數(shù)求解實(shí)例

以我國(guó)西部地區(qū)某寒區(qū)單線鐵路隧道作為研究對(duì)象，其簡(jiǎn)化后的隧道斷面形式如圖3所示。

工程結(jié)構(gòu)程朝， 李樹茂， 藺詩瑤，等： 基于智能化識(shí)別的鐵路隧道多連通域映射函數(shù)求解

假設(shè)隧道襯砌厚度0.6 m，凍結(jié)圍巖區(qū)厚度2.5 m，按圖4所示建立直角坐標(biāo)系，求解考慮襯砌內(nèi)、外邊界及凍結(jié)圍巖邊界的深埋曲墻拱形隧道多連通域映射函數(shù)。

根據(jù)前述計(jì)算流程，在圖4所示x軸右側(cè)隧道襯砌內(nèi)、外邊界及凍結(jié)圍巖邊界上分別均勻地選取m=40個(gè)頂點(diǎn)，共3m=120個(gè)頂點(diǎn)。x軸右側(cè)邊界上所選取的頂點(diǎn)坐標(biāo)如表1所示。

按照上述坐標(biāo)可以繪制出近似映射圖形的形狀，如圖5所示，將實(shí)際形狀與映射形狀相對(duì)比，圖中實(shí)線表示實(shí)際形狀，虛線表示近似映射形狀，由圖可知，映射形狀與實(shí)際形狀較為接近，能近似反映實(shí)際形狀?？傮w來看，取n=4時(shí)求解得到的近似映射函數(shù)具有較好的映射精度，若想進(jìn)一步提高映射精度，可增加Ck的項(xiàng)數(shù)，即增大n的取值，或者在待研究域邊界上選取更多的點(diǎn)用于構(gòu)造目標(biāo)函數(shù)，即增大m的取值。

4 結(jié)論

本章基于映射函數(shù)求解基本原理構(gòu)建了多連通域映射函數(shù)求解數(shù)學(xué)模型，引入復(fù)合形優(yōu)化算法，求解了深埋隧道多連通域問題的近似映射函數(shù)，得出結(jié)論如下：

（1）近似映射函數(shù)求解可以視作求目標(biāo)函數(shù)最小值的帶約束非線性優(yōu)化問題，目標(biāo)函數(shù)與邊界上所取映射點(diǎn)坐標(biāo)及數(shù)量相關(guān)，增加邊界上映射點(diǎn)數(shù)量m或者增加冪級(jí)數(shù)項(xiàng)數(shù)k均可提升映射函數(shù)的精度。

（2）引入復(fù)合形優(yōu)化算法，冪級(jí)數(shù)項(xiàng)數(shù)取至k=4，在每條邊界的右半部分中選取m=40個(gè)映射點(diǎn)，構(gòu)造目標(biāo)函數(shù)，編寫了非規(guī)則邊界多連通域問題通用映射函數(shù)求解程序，求解單線鐵路隧道對(duì)應(yīng)近似映射函數(shù)，發(fā)現(xiàn)映射形狀與實(shí)際形狀吻合程度較高，說明近似映射函數(shù)精度良好。

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