分率與具體數(shù)量的區(qū)分

范桂梅

摘 要：在小學(xué)數(shù)學(xué)中，分?jǐn)?shù)知識是比較抽象又非常重要的內(nèi)容。學(xué)完分?jǐn)?shù)意義后，學(xué)生不會正確區(qū)分、處理數(shù)量和分率。針對這一情況，筆者結(jié)合自己的數(shù)學(xué)對出錯的原因加以分析，找出解決問題的策略。

關(guān)鍵詞：分率; 數(shù)量;錯例分析 ; 對策

在小學(xué)數(shù)學(xué)中，分?jǐn)?shù)知識是比較抽象又非常重要的內(nèi)容。學(xué)生學(xué)完“分?jǐn)?shù)的意義”后就要學(xué)習(xí)“分率”和“用分?jǐn)?shù)表示的具體數(shù)量”這一知識。數(shù)量和分率是兩個相關(guān)而又不同的概念。在解題過程中，有些學(xué)生不會正確區(qū)分、處理兩者關(guān)系，甚至到了六年級下冊總復(fù)習(xí)時，學(xué)生的作業(yè)錯誤率仍然沒有下降。因此，“分率”和“具體數(shù)量”是小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中公認(rèn)的一個難點。那到底是什么原因讓學(xué)生感到分?jǐn)?shù)學(xué)習(xí)如此艱難呢？怎樣讓學(xué)生能夠在學(xué)完分?jǐn)?shù)的意義后正確區(qū)分分率與具體數(shù)量呢？下面筆者結(jié)合自己的教學(xué)談?wù)勛约旱淖龇ā?/p>

一、教材分析

眾所周知，分?jǐn)?shù)是小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的一個重點。人教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材關(guān)于分?jǐn)?shù)學(xué)習(xí)內(nèi)容的編排主要分為三個階段：第一階段在三年級，學(xué)生已經(jīng)學(xué)了分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識，認(rèn)識了幾分之一，也會簡單的加減法。第二階段是五年級，學(xué)生系統(tǒng)地學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)的意義，理解了單位“1”，知道什么叫分?jǐn)?shù)、分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系、分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)，其中分?jǐn)?shù)的意義是最重要的。通過系統(tǒng)學(xué)習(xí)，學(xué)生在已有基礎(chǔ)上，由感性認(rèn)識向理性認(rèn)識發(fā)展，也為后續(xù)的分?jǐn)?shù)學(xué)習(xí)打下了基礎(chǔ)。第三個階段在六年級，主要學(xué)習(xí)內(nèi)容包括倒數(shù)的認(rèn)識、分?jǐn)?shù)的乘除法計算和相關(guān)解決問題、分?jǐn)?shù)與比的關(guān)系等。

從學(xué)生的角度來看，學(xué)生開始學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)是在三年級，學(xué)習(xí)單位“1”表示為一個物體（如一個蘋果、一個圓形、一米線段）時，與學(xué)生已有經(jīng)驗中所確定不變的自然數(shù)“1”相一致，多數(shù)學(xué)生覺得簡單易學(xué)。但在五年級進(jìn)一步學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)的意義，當(dāng)單位“1”表示為物體有多個（如幾個梨子、20個三角形、23條1米長的線段）時，自然數(shù)“1”就與單位“1”有了沖突，學(xué)生對兩者的理解產(chǎn)生模糊。因此，本單元教學(xué)的主要任務(wù)是幫助學(xué)生重構(gòu)與拓展單位“1”的含義，進(jìn)而揭示分?jǐn)?shù)的本質(zhì)。但是學(xué)生在初步利用分?jǐn)?shù)解決問題時，就暴露出很多問題，如對分?jǐn)?shù)的意義運用混淆不清，解決問題張冠李戴。在“分?jǐn)?shù)與除法”這部分內(nèi)容中，“把3個月餅平均分給4人，每人分得多少個月餅？”，這時出現(xiàn)了用分?jǐn)?shù)表示具體數(shù)量，從率到量，學(xué)生容易混淆，學(xué)習(xí)起來困難。

二、錯例及原因分析

（一）概念模糊

分率與數(shù)量是兩個不同的概念，數(shù)量是帶單位的，而分率沒有帶單位。從內(nèi)涵上可以看出具體數(shù)量是一個讓人一看就明白數(shù)量的多少，而分率則涉及單位“1”的量，表示部分與整體的關(guān)系，還表示兩個獨立量之間的關(guān)系。

【錯例1】一根繩子長2米，把它平均分成3段，每段是全長的（），每段長（）米。

錯誤分析：在教學(xué)完“分?jǐn)?shù)的意義”后，學(xué)生練習(xí)時出現(xiàn)上述錯誤。兩個問題放在一起時，學(xué)生錯誤相當(dāng)多。我們分析錯誤的原因是兩個問題放在一起，類型相似，（特別是求具體數(shù)量題目后面不加單位）好多學(xué)生弄不清哪個是求分率，哪個是求分?jǐn)?shù)表示的具體數(shù)量。究其原因，從根本上來講，學(xué)生對分?jǐn)?shù)的意義還是理解不夠，分率是表示把單位“1”平均分成若干份，而具體數(shù)量是用總量進(jìn)行平均分。正是學(xué)生對分?jǐn)?shù)意義的理解不透徹，才導(dǎo)致學(xué)生混淆了數(shù)量和分率。

（二）整數(shù)思維定式

【錯例2】 3千克的花生，平均裝在5個袋子里，每袋占這些花生的（），每袋花生重（）千克，是1千克的（ ? ?）。

錯誤分析：進(jìn)行求證后，我們發(fā)現(xiàn)錯誤的原因是學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)出現(xiàn)了問題，他們的頭腦里總覺得要求每份數(shù)，總數(shù)一定要大于份數(shù)，而且商一定是一個整數(shù)。這是在低年級求每份數(shù)時因思維定式造成的，學(xué)生頭腦中儲存著大量的“反面”例證。到了高年級求具體數(shù)量且結(jié)果不是整數(shù)時，學(xué)生還是停留在原來的知識水平上。一旦碰到份數(shù)比總數(shù)大且它的結(jié)果不是整數(shù)時，學(xué)生就感覺自己無從下手，就只能靠猜。整數(shù)的知識對學(xué)生產(chǎn)生了負(fù)遷移。

（三）缺乏生活經(jīng)驗

【錯例3】

一堆糧食噸，吃了噸，還剩下多少噸？與一堆糧食噸，吃了，還剩下多少噸？

這題全錯的學(xué)生非常多，認(rèn)為剩下的都是用-。

錯因分析：學(xué)生沒有理解噸與的意義，特別是用分?jǐn)?shù)表示的具體數(shù)量。這是因為他們沒有區(qū)分量與率，再加上平時學(xué)生不管看到的、交流的大多是整數(shù)、小數(shù)，而對分?jǐn)?shù)、運用的非常少。學(xué)生學(xué)完分?jǐn)?shù)的意義后，教師是往率上教學(xué)，學(xué)生腦袋里沒有用分?jǐn)?shù)表示具體數(shù)量的概念，對分?jǐn)?shù)表示具體數(shù)量相當(dāng)不習(xí)慣，所以對數(shù)的理解就有困難了。

三、區(qū)分量與率的對策

“分率”和“用分?jǐn)?shù)表示的具體數(shù)量”這一知識是分?jǐn)?shù)解決問題教學(xué)中的一大難點，也是學(xué)生出錯最多的地方。怎樣降低錯誤率呢？這是亟須解決的問題，筆者認(rèn)為可以從以下幾個方面來解決。

【解決對策1】理解含義，區(qū)別異同

在教學(xué)中，可以這樣引領(lǐng)學(xué)生理解分率和具體數(shù)量的含義。出示：1米長的繩子平均分成5段，每段占全長的幾分之幾？每段長幾米？前一個問題“每段占全長的幾分之幾”表示的是每份與全長的一種關(guān)系（分率）。求分率可以引導(dǎo)學(xué)生用分?jǐn)?shù)的意義來理解：只要把全長看作“單位1”，平均分成5份，每份就是全長的。分率是沒有單位的。后一個問題“每段長幾米”所求的是具體數(shù)量，可以通過舉例幫助學(xué)生理解：把40米平均分成5份，每份是幾米？學(xué)生很容易就知道是平均分，用除法計算：40÷5=8（米），然后再處理成：把1米平均分成5分，每份是幾米？列式就是1÷5= 米。這樣學(xué)生就容易理解了，數(shù)量是有單位的。

因此，只有清楚地理解分?jǐn)?shù)的概念，深刻地理解分?jǐn)?shù)概念的不同意義，才能舉一反三、觸類旁通地學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識，才能夠用學(xué)到的知識去解決學(xué)習(xí)和生活中的問題，發(fā)展數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的能力，提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

【解決對策2】畫線段圖，幫助理解

五年級的學(xué)生正處于形象直觀思維向抽象邏輯思維過渡的階段，并且形象直觀思維在一定程度上還占據(jù)主體地位。如果離開了具體的圖形或物體，學(xué)生的理解就有困難，就不能根據(jù)分?jǐn)?shù)的意義正確解答。學(xué)生對分?jǐn)?shù)的意義的理解與掌握還將對其今后學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)應(yīng)用題有著重要的影響。

而線段圖能夠幫助學(xué)生從直觀向抽象過渡，是分析問題和理清數(shù)量關(guān)系的好幫手。學(xué)生借助線段圖可分解難點，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，認(rèn)識問題的本質(zhì)。教學(xué)中，教師要充分發(fā)揮線段圖的作用，以這種直觀的形式體現(xiàn)數(shù)量之間的關(guān)系。

例如：3米長的繩子平均分成5段，每段占全長的（ ? ），每段長（ ? ）米。

可以用線段圖表示

從線段圖可以看出每段占全長的（ ?），就是把3米長的繩子看成單位“1”，平均分成5份，每份就是占全長的。每段長（ ?）米，求的是把3米平均分成5份，每份長是3÷5=（）米。所以第一個問題求的是分率，第二個問題求的是具體數(shù)量。

【解決對策3】分清方法，辨析解答

把“1米長的繩子平均分成5段，每段占全長的幾分之幾？每段長幾米？”再變成5米、10米、A米呢？通過觀察、對比、分析，理解分率解答方法：把這條繩子看成單位“1”，把單位“1”平均分成幾份，就用1÷平均分的份數(shù)。具體數(shù)量的計算方法： 具體數(shù)量是用單位“1”的總數(shù)量÷平均分成的份數(shù)。每份的具體數(shù)量與總長度有關(guān)。而分率不管繩子的總長是多少，都是把繩子的長度看成單位“1”，是用1÷平均分的份數(shù)。

【解決對策4】加強對比，注意區(qū)分

為了進(jìn)一步認(rèn)識“分率”和“具體數(shù)量”的區(qū)別，避免混淆，正確應(yīng)用，教師設(shè)計這樣的練習(xí)題：“有兩根同樣長的繩子，第一根用去它的，第二根用去米，哪一根繩子用去的多？”開始有些學(xué)生認(rèn)為這兩根繩子用去的長度相等。顯然學(xué)生對題中的和米的分辨不清，不知哪個是分率哪個是具體數(shù)量，后來經(jīng)過老師引導(dǎo)，學(xué)生之后作出了正確的判斷：因為不知道這兩根繩子的具體長度，第一根繩子的究竟有多長是無法知道的，第二根繩子的米是具體的長度，是可以測量的，所以就不能判斷出哪根更長。接著教師提出有挑戰(zhàn)的問題：那么在什么情況下就能比較這兩根繩子剩下部分的長短呢？什么情況下第一根長？什么情況下兩根一樣長？

通過巧妙地設(shè)問，為學(xué)生拓寬了思維空間，既加深了學(xué)生對“分率”和“用分?jǐn)?shù)表示的具體數(shù)量”之間區(qū)別的認(rèn)識，又滲透了分?jǐn)?shù)解決問題的解題思路，

【解決對策5】充分發(fā)揮練習(xí)題的功能，降低錯誤率

通過對比練習(xí)，可以使學(xué)生更好地分辨此類問題，避免混淆，正確應(yīng)用，并在練習(xí)糾錯中不斷積累數(shù)學(xué)經(jīng)驗，降低錯誤率。

四、結(jié)語

分?jǐn)?shù)概念的多重意義性意味著學(xué)生必須要跟隨教學(xué)進(jìn)度，不斷激發(fā)已有的分?jǐn)?shù)學(xué)習(xí)經(jīng)驗，由淺入深，分步擴展，主動建構(gòu)新的分?jǐn)?shù)經(jīng)驗，不斷擴充，完善對分?jǐn)?shù)內(nèi)涵和分?jǐn)?shù)概念的認(rèn)知。

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