中考壓軸題
2025-04-21 00:00:00王君
初中生學習指導·中考版 2025年3期
名師原創(chuàng)
已知，如圖1，⊙O是直角三角形ABC的外接圓，直徑AB = 13，弦BC = 12，∠CAB = ∠CBD，點D在圓周上且與點C在直徑AB的兩側(cè).
（1）填空：△BCD是 三角形.
（2）連接DA，M是DA延長線上一動點，連接CM，當CM是⊙O的切線時，回答下列問題：
①求證：AC平分∠MAB；
②判斷CM與BD的關系，并說明理由；
③求線段AM的長.
思路點撥
解：（1）∵[BC=BC]，
∴∠CAB = ∠CDB.
∵∠CAB = ∠CBD，∴∠CBD = ∠CDB，
∴CD = BC，
∴△BCD是等腰三角形.
（2）①證明：∵四邊形ADBC為圓內(nèi)接四邊形，
∴∠CAD + ∠CBD = 180°.
∵∠MAC + ∠CAD = 180°，
∴∠MAC = ∠CBD.
∵∠CAB = ∠CBD，
∴∠MAC = ∠CAB，
∴AC平分∠MAB.
②CM [?] BD，BD = 2CM.
理由如下：
如圖2，連接OC，OD.
∵OC = OA，
∴∠OCA = ∠OAC.
∵由①可知，∠MAC = ∠CAB，
∴∠MAC = ∠OCA.
∵在△ACO中，∠OCA + ∠OAC + ∠COA = 180°，
∴∠MAC + ∠OAC + ∠COA = 180°，
∴∠MAO + ∠AOC = 180°，
∴AM [?] OC.
∵CM是⊙O的切線，
∴∠OCM = 90°.
∵AM [?] OC，
∴∠OCM + ∠M = 180°，
∴∠M = 90°.
∵AB為直徑，
∴∠ADB = 90°，
∴∠M + ∠ADB = 180°，
∴MC [?] BD.
延長CO交BD于點E.
∵∠OCM = 90°，∠M = 90°，∠ADB = 90°，
∴四邊形MCED為矩形，
∴CM = DE.
由①得CD = CB，
又∵OD = OB，∴CO垂直平分BD，
∴DE = EB，
∴BD = 2DE，
∴BD = 2CM.
③解：在Rt△ABC中，BC = 12，AB = 13，
∴AC = [AB2-BC2=132-122=5].
∵∠MAC = ∠BAC，∠MAC + ∠MCA = 90°，∠BAC + ∠ABC = 90°，
∴∠MCA = ∠ABC，
∴sin ∠MCA = sin ∠ABC，
∴[AMAC=ACAB] ，
∴[AM5=513] ，
∴AM = [2513] .
