中考函數(shù)“新定義”問題破解策略

隨著教育改革的不斷推進(jìn)，函數(shù)“新定義”問題在近幾年中考數(shù)學(xué)中頻頻出現(xiàn). 下面舉例介紹此類問題的破解策略.

類型1：由圖像條件定義新函數(shù)

此類型題在我們已學(xué)函數(shù)知識的基礎(chǔ)上，根據(jù)函數(shù)圖像和性質(zhì)，從函數(shù)圖像角度定義新函數(shù). 一般先給出定義，再辨析定義，最后關(guān)聯(lián)已有知識，嘗試應(yīng)用“新定義”解決較復(fù)雜的綜合類問題. 破解此類題目時，首先應(yīng)讀懂“新定義”的條件和結(jié)論；其次要通過辨析“新定義”，深入理解其含義，為解決綜合問題做好鋪墊；最后要結(jié)合函數(shù)自身屬性的知識解決復(fù)雜問題.

例1 如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，等腰直角三角形OAB的直角邊長為n（n為正整數(shù)，且n ≥ 2），點A在x軸正半軸上，點B在y軸正半軸上. 若點M（x，y）在等腰直角三角形OAB邊上，且x，y均為整數(shù)，則定義點M為等腰直角三角形OAB的“整點”.

若某函數(shù)的圖像與等腰直角三角形OAB只有兩個交點且交點均是等腰直角三角形OAB的“整點”，則定義該函數(shù)為等腰直角三角形OAB的“整點函數(shù)”.

（1）如圖2，當(dāng)n = 3時，函數(shù)[y=mx]的圖像經(jīng)過C（1，2），判斷該函數(shù)是否為“整點函數(shù)”，并說明理由；

（2）當(dāng)n = 4時，二次函數(shù)y = ax2 + bx + 2經(jīng)過AB的中點，若該函數(shù)是“整點函數(shù)”，求a的取值范圍.

解析：（1）把C（1，2）代入反比例函數(shù)[y=mx]中，得m = 2，

所以反比例函數(shù)解析式為y [=2x].

由A，B兩點坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求得直線AB的解析式為y = -x + 3.

聯(lián)立反比例函數(shù)和一次函數(shù)解析式，解方程組，

可得反比例函數(shù)與等腰直角三角形的交點坐標(biāo)為（1，2）和（2，1），

所以該函數(shù)是“整點函數(shù)”.

（2）當(dāng)n = 4時，由A（4，0），B（0，4），得AB的中點坐標(biāo)為（2，2）.

根據(jù)題意，可知y = ax2 + bx + 2經(jīng)過點（2，2），

將點（2，2）帶入二次函數(shù)解析式，得2 = 4a + 2b + 2，

化簡，得b = -2a.

所以二次函數(shù)解析式為y = ax2 - 2ax + 2.

至此，將含有兩個參數(shù)的二次函數(shù)化簡為含有一個參數(shù)的二次函數(shù).

觀察二次函數(shù)解析式，發(fā)現(xiàn)此函數(shù)圖像的對稱軸是確定的，為直線x = 1，進(jìn)一步可求得拋物線的頂點坐標(biāo)為（1，2 - a），頂點的縱坐標(biāo)隨a的變化而變化. 由于“整點函數(shù)”是由圖像給出的新定義，所以欲研究二次函數(shù)圖像和等腰直角三角形OAB有兩個交點的情況，需要畫草圖判斷有兩個交點時的等價條件. 因為二次函數(shù)開口方向不確定，所以要討論a gt; 0和a lt; 0兩種情況.

如圖4，當(dāng)a gt; 0時，因為要滿足拋物線與等腰直角三角形只有兩個公共點的條件，通過嘗試畫圖，可發(fā)現(xiàn)其等價條件是拋物線頂點的縱坐標(biāo)2 - a gt; 0，解得a lt; 2，故0 lt; a lt; 2；

如圖5，當(dāng)a lt; 0時，通過嘗試畫圖，可發(fā)現(xiàn)拋物線與x軸正半軸的交點在點A的右側(cè)，即當(dāng)x = 4時，y gt; 0. 將x = 4代入解析式，得16a - 8a + 2 gt; 0，解得a [gt;-14]，故[-14lt;] a lt; 0.

綜上所述，a的取值范圍為0 lt; a lt; 2或[-14 lt; ]a lt; 0.

點評：第（2）問的解答建立在第（1）問理解新定義的基礎(chǔ)之上. 根據(jù)條件求得二次函數(shù)解析式為y = ax2 - 2ax + 2，雖然圖像是變化的，但可發(fā)現(xiàn)二次函數(shù)的頂點橫坐標(biāo)是確定的，得二次函數(shù)圖像的對稱軸為直線x = 1，由此再對圖像開口方向進(jìn)行討論. 由于二次函數(shù)圖像與三角形有且只有兩個交點，通過畫圖（圖4和圖5），發(fā)現(xiàn)虛線圖像不滿足“整點函數(shù)”定義，進(jìn)而探索出滿足“整點函數(shù)”的等價條件，得到關(guān)于a的不等式，再解不等式即可得到結(jié)論. 本題是在新定義的背景下，充分考查了二次函數(shù)的本質(zhì)屬性，要求考生能靈活利用轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想充分發(fā)掘題目的條件和結(jié)論.

類型2：由解析式條件定義新函數(shù)

此類型題是根據(jù)已知函數(shù)的圖像及性質(zhì)，從代數(shù)角度直接定義新函數(shù)解析式，要求考生根據(jù)新函數(shù)圖像及性質(zhì)解決“新問題”. 其解題思路是先理解定義，再結(jié)合二次函數(shù)自身屬性及區(qū)間最值等知識進(jìn)行分類討論，從而解決問題.

例2 若關(guān)于x的函數(shù)y，當(dāng)t [- 12] ≤ x ≤ t [+ 12]時，函數(shù)y的最大值為M，最小值為N，令函數(shù)h [=M-N2]，則把函數(shù)h稱為函數(shù)y的“共同體函數(shù)”.

（1）若函數(shù)y = 4044x，當(dāng)t = 1時，求函數(shù)y的“共同體函數(shù)”h的值.

（2）若函數(shù)y = -x2 + 4x + k，是否存在實數(shù)k，使得函數(shù)y的最大值等于函數(shù)的“共同體函數(shù)”h的最小值？若存在，求出k的值；若不存在，請說明理由.

解析：（1）將t = 1代入t [- 12] ≤ x ≤ t [+ 12]，得[12≤] x [≤32].

由一次函數(shù)解析式y(tǒng) = 4044x在此區(qū)間內(nèi)y隨x的增大而增大，

得函數(shù)的最大值M = 6066，函數(shù)的最小值N = 2022，

根據(jù)“共同體函數(shù)”的定義得h = 2022.

（2）存在實數(shù)k，使得函數(shù)y的最大值等于函數(shù)y的“共同體函數(shù)”h的最小值.

理由如下：

將二次函數(shù)y = -x2 + 4x + k化成頂點式，得y = -（x - 2）2 + 4 + k，

可得函數(shù)的對稱軸為直線x = 2，圖像開口向下，y的最大值為4 + k.

①當(dāng)2 ≤ t [- 12]，即t ≥ [52]時，

M = -[t-12-22] + 4 + k，N = -[t+12-22] + 4 + k.

所以h = t - 2，

此時h的最小值為[12].

由題意可得[12=] 4 + k，

解得k [=-72].

②當(dāng)t [+ 12≤] 2，即t [≤32時]，

N = -[t-12-22] + 4 + k，M = -[t+12-22] + 4 + k.

所以h = 2 - t，

此時h的最小值為[12].

由題意可得[12=] 4 + k，解得k [=-72].

③當(dāng)t - [12≤ ]2 ≤ t，即2 ≤ t ≤ [52]時，

N = -[t+12-22] + 4 + k，M = 4 + k.

故h[=12][t-322]，所以h的最小值為[18].

由題意可得4 + k [=18]，解得k[=-318].

④當(dāng)t lt; 2 ≤ t [+ 12]，即[32≤] t lt; 2時，

N = -[t-12-22] + 4 + k，M = 4 + k，

故h [=12][t-522]，

所以h的最小值為[18].

由題意可得[18=] 4 + k，解得k [=-318].

綜上所述，k的值為[-72或-318].

點評：本題還可以用極限思想進(jìn)行分類，討論x = t [+ 12]時對應(yīng)二次函數(shù)圖像上的點到對稱軸水平距離大于或小于[12]的兩種情況. 不論哪種方法，都要結(jié)合函數(shù)圖像進(jìn)行分類.

函數(shù)“新定義”問題作為新中考數(shù)學(xué)命題的重要組成部分，是在新情境中，考查同學(xué)們對函數(shù)知識的理解和應(yīng)用的能力. 此類題目更具有“探究性”和“綜合性”，這就要求同學(xué)們在未來的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中：一是要重視教材，讓教材發(fā)揮“母題”的作用；二是要以函數(shù)的性質(zhì)為核心，不斷挖掘函數(shù)的自身屬性；三是要在情境中，體會函數(shù)在描述變化現(xiàn)象中的作用，重視數(shù)學(xué)語言的理解和表達(dá).