重基礎(chǔ) 巧導(dǎo)角 提能力

2024年遼寧省中考數(shù)學(xué)卷21題是圓的綜合問題，集幾何證明和幾何計算于一體，依托教材，考查了切線的判定與性質(zhì)、圓周角定理及推論、弧長公式等，熟練掌握這些知識點是解題的關(guān)鍵.

原題再現(xiàn)

例1 ⊙O是△ABC的外接圓，AB是⊙O的直徑，點D在[BC]上，[AC]" =" [BD]，點E在BA的延長線上，∠CEA = ∠CAD．

（1）如圖1，求證：CE是⊙O的切線；

（2）如圖2，若∠CEA = 2∠DAB，OA = 8，求[BD]的長．

破解策略

圓的綜合問題中，通常設(shè)有兩個子問題，第（1）問為證明，第（2）問為線段或弧長的計算.常見的輔助線有連半徑、作弦心距、連接弦（使直徑所對的圓周角為90°）等.

第（1）問：連接OC，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)證得∠DAB = ∠ACE，根據(jù)同弧所對的圓周角相等得出∠ABC = ∠DAB，根據(jù)直徑所對的圓周角是直角得出∠ACB = 90°，即可得出∠ABC + ∠OAC = 90°，再證∠OAC = ∠OCA，即可得出∠ACE + ∠OCA = 90°，于是問題得證.

解：如圖3，連接OC.

∵∠CAO = ∠CEA + ∠ACE，

∴∠CAD + ∠DAB = ∠CEA + ∠ACE.

∵∠CEA = ∠CAD，

∴∠DAB = ∠ACE.

∵[AC]" =" [BD]，

∴∠ABC = ∠DAB，∴∠ABC = ∠ACE.

∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB = 90°，

∴∠ABC + ∠OAC = 90°.

∵OA = OC，∴∠OAC = ∠OCA，

∴∠ABC + ∠OCA = 90°，

∴∠ACE + ∠OCA = 90°，即∠OCE = 90°，

又∵OC是⊙O的半徑，

∴CE是⊙O的切線.

第（2）問：連接OD，設(shè)∠DAB = x，則∠CEA = ∠CAD = 2x，根據(jù)同弧所對的圓周角相等得出∠ABC = ∠DAB = x，根據(jù)直徑所對的圓周角是直角得出∠ACB = 90°，即可得出x + 2x + x = 90°，從而求出x的值，最后根據(jù)弧長公式即可得解．

解：如圖4，連接OD.

設(shè)∠DAB = x.

∵∠CEA = 2∠DAB，

∴∠CEA = 2x.

∵∠CEA = ∠CAD，

∴∠CAD = 2x.

∵[AC]" =" [BD]，

∴∠ABC = ∠DAB = x.

∵AB是⊙O的直徑，

∴∠ACB = 90°，∴∠ABC + ∠BAC = 90°，

∴x + 2x + x = 90°，∴x = 22.5°，即∠DAB = 22.5°，

∴∠BOD = 2∠DAB = 45°.

∵OA = 8，

∴[BD]的長為[45π×8180] = 2π．

變式訓(xùn)練

例2 如圖5，⊙O是△ABC的外接圓，∠ACB = 90°，點D是⊙O上一點，[AD] = 2[BC]，連接AD，過點C作CE [?] AD交AB的延長線于點E．

（1）求證：CE為⊙O的切線；

（2）若⊙O的半徑為2，BD = 2，求[AC]的長．

解：（1）如圖6，連接OC.

∵[AD] = 2[BC]，

∴∠ABD = 2∠CAB.

∵∠BOC = 2∠CAB，

∴∠COB = ∠ABC.

∵AD [?] CE，

∴∠E = ∠BAD.

∵∠ACB = 90°，

∴AB是⊙O的直徑，∴∠D = 90°，

∴∠DAB + ∠ABD = 90°，

∴∠COE + ∠E = 90°，

∴∠OCE = 90°.

又∵OC是⊙O的半徑，

∴CE為⊙O的切線.

（2）∵AB是⊙O的直徑，

∴∠D = 90°.

∵⊙O的半徑為2，BD = 2，

∴AB = 4，

∴BD = [12]AB，∴∠DAB = 30°，

∴∠ABD = ∠COE = 60°，

∴∠AOC = 120°，

∴[AC]的長 = [120·π×2180] = [4π3]．

圓的綜合問題解決策略總結(jié)如下：（1）掌握圓的所有基本性質(zhì)和定理；（2）當需要添加輔助線時，考慮連接圓心和切點，或者連接圓心和圓外的一點，或者連接兩切點；（3）理解三角形與圓的關(guān)系；（4）利用角度和弧度的關(guān)系.審題時要根據(jù)題目所給信息，畫出相應(yīng)的圓、直線和角度圖形，以便更好地理解題意和解決問題.

拓展延伸

1. 如圖7，⊙O是△ABC的外接圓，BD是⊙O的直徑，[AB] = [AC]，AE [?] BC，E為BD的延長線與AE的交點．

（1）求證：AE是⊙O的切線；

（2）若∠ABC = 75°，BC = 2，求[CD]的長．

2. 如圖8，⊙O是△ABC的外接圓，連接OA，過點C作一條射線CD．

（1）請從以下條件中選擇一組能證明CD是⊙O的切線的條件，并寫出證明過程：①CD [?] AO，∠ABC = 45°；②∠BCD = ∠BAC；③CB平分∠ACD.

（2）若OA = 2，∠OAB = 22.5°，AB = CB，求[BC]的長度．（結(jié)果保留π）

3. 如圖9，AB是半圓O的直徑，點D是弦AC延長線上一點，連接BD，BC，∠D = ∠ABC = 60°．

（1）求證：BD是半圓O的切線；

（2）當BC = 3時，求[AC]的長．

4. 如圖10，已知BC是⊙O的直徑，點D是BC延長線上一點，AB = AD，AE是⊙O的弦，∠AEC = 30°．

（1）求證：直線AD是⊙O的切線；

（2）若AE ⊥ BC，垂足為M，⊙O的半徑為10，求AE的長．

5. 如圖11，在△ABC中，AB = BC，AB為⊙O的直徑，AC與⊙O相交于點D，過點D作DE ⊥ BC于點E，CB延長線交⊙O于點F．

（1）求證：DE為⊙O的切線；

（2）若BE = 1，BF = 2，求AD的長．

6. 如圖12，已知AB為⊙O的直徑，CD是弦，且AB ⊥ CD于點E．連接AC，OC，BC．

（1）求證：∠CAO = ∠BCD；

（2）若BE = 3，CD = 8，求⊙O的直徑．

答案：1. （1）略；（2）[4π3]. 2. （1）略；（2）[3π2]. 3. （1）略；（2） 2π. 4. （1）略；（2）10[3].

5. （1）略；（2）2[3]. 6. （1）略；（2）[253]．