基于波動(dòng)方程的地震波數(shù)值模擬研究綜述

摘要：

地震波場(chǎng)數(shù)值模擬在地震勘探、地震資料處理和地球構(gòu)造研究等方面發(fā)揮著重要的作用。波動(dòng)方程數(shù)值模擬方法充分考慮了地震波傳播的動(dòng)力學(xué)特征和幾何學(xué)特征，可以為地震波傳播機(jī)理的研究和復(fù)雜地層的解釋提供強(qiáng)有力的理論支持，是目前應(yīng)用較為廣泛的地震波場(chǎng)數(shù)值模擬方法之一。本文調(diào)研了五種基于波動(dòng)方程的數(shù)值模擬方法：有限差分法易于理解，但數(shù)值頻散問(wèn)題明顯；偽譜法精度高，但計(jì)算效率低；有限元法適用于復(fù)雜模型，但計(jì)算資源消耗大；譜元法適合高精度問(wèn)題，但對(duì)計(jì)算內(nèi)存需求較高；基于物理信息神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的深度學(xué)習(xí)法具有較強(qiáng)的適應(yīng)性，但訓(xùn)練成本較高。并分別敘述了這五種數(shù)值模擬方法的理論基礎(chǔ)、適用條件和最新進(jìn)展。未來(lái)，地震波場(chǎng)數(shù)值模擬方法應(yīng)結(jié)合深度學(xué)習(xí)等最新技術(shù)，優(yōu)化邊界條件模擬真實(shí)的邊界反射情況，提高模擬的精度和效率。

關(guān)鍵詞：

波場(chǎng)模擬；有限差分法；偽譜法；有限元法；譜元法；物理信息神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)

doi：10.13278/j.cnki.jjuese.20230308

中圖分類(lèi)號(hào)：P631.4

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

A Comprehensive Review of Numerical Simulation of Seismic Waves Based on "Wave Equation

Li Hang¹， Sun Yuhang^{1， 2}， Li Jiahui^{1， 2}， Li Xuegui^{1， 2}， Dong Hongli^{1， 2}

1. Key Laboratory of Networked Control and Intelligent Systems， Northeast Petroleum University， Daqing 072751， "Heilongjiang， China

2. "NEPU Sanya Offshore Oil and Gas Research Institute， "Sanya 572024， Hainan， China

Abstract：

Numerical simulation of seismic wave fields is crucial for seismic exploration， seismic data processing， and the study of Earth’s structures. The wave equation numerical simulation method takes into account the dynamic and geometric characteristics of seismic wave propagation， providing a solid theoretical basis for studying the mechanism of seismic wave propagation and interpreting complex geological structures. It is currently one of the most widely used methods for simulating seismic wave fields. This article surveys five wave equation-based numerical simulation methods： The finite difference method is easy to understand， but suffers from numerical dispersion issues; The pseudo spectral method offers high accuracy but low efficiency; The finite element method is suitable for complex models but requires substantial computational resources; The spectral element method is appropriate for high-precision problems but demands significant computational memory; And the deep learning method based on physics-informed neural networks demonstrates strong adaptability， though it comes with high training costs. The theoretical foundations， applicable conditions， and latest advancements of these five numerical simulation methods are described respectively. In the future， seismic wave field numerical simulation methods should integrate cutting-edge technologies such as deep learning， optimize boundary conditions to simulate actual boundary reflections， and enhance the precision and efficiency of simulations.

Key words：

wavefield simulation; finite difference method; pseudo spectral method; finite element method; spectral element method; physics-informed neural network

0"引言

隨著地震勘探的不斷深入，目標(biāo)儲(chǔ)藏的情況越來(lái)越復(fù)雜，勘探難度和勘探需求的精度越來(lái)越高。地震波包含了地下地質(zhì)結(jié)構(gòu)特征的大部分信息，地震波場(chǎng)正演模擬能夠驗(yàn)證地震資料解釋結(jié)果的合理性，在地震勘探中的地震反演等環(huán)節(jié)發(fā)揮著重要的作用^[1]。地震波場(chǎng)正演模擬可以分為物理模擬和數(shù)值模擬兩種方法。相對(duì)而言，后者的計(jì)算成本更低、計(jì)算效率更高、可重復(fù)性更強(qiáng)，受到了學(xué)者們的廣泛關(guān)注。地震波場(chǎng)數(shù)值模擬方法主要包括三類(lèi)：幾何射線(xiàn)法、積分方程法和波動(dòng)方程法^[2]。

幾何射線(xiàn)法主要利用地震波運(yùn)動(dòng)學(xué)信息，以射線(xiàn)理論為核心，以計(jì)算機(jī)為載體實(shí)現(xiàn)數(shù)值模擬，得到介質(zhì)中描述地震波運(yùn)動(dòng)特征的關(guān)鍵物理參數(shù)^[3]。幾何射線(xiàn)法適用范圍較廣，但由于很少利用必要的動(dòng)力學(xué)信息，這類(lèi)方法在處理一些復(fù)雜場(chǎng)景（如非均勻介質(zhì)）時(shí)精度不高。積分方程法是以惠更斯原理為理論基礎(chǔ)的一種求解非線(xiàn)性問(wèn)題的方法^[4]，通常用來(lái)模擬具有特定邊界的地質(zhì)體產(chǎn)生的地震波。利用這類(lèi)方法進(jìn)行模擬時(shí)常常需要求解大型矩陣，因此對(duì)計(jì)算時(shí)間和計(jì)算內(nèi)存的需求較高。波動(dòng)方程法的本質(zhì)是通過(guò)求解地震波動(dòng)方程來(lái)進(jìn)行數(shù)值模擬，該方法可以提供豐富的波場(chǎng)動(dòng)力學(xué)和運(yùn)動(dòng)學(xué)信息。在同等條件下，波動(dòng)方程法數(shù)值模擬結(jié)果的精度要高于上述其他兩種方法^[5]。隨著計(jì)算機(jī)算力的提高和算法的優(yōu)化，這類(lèi)方法的效率有所提高，被廣泛使用。

波動(dòng)方程的數(shù)值模擬涉及多個(gè)關(guān)鍵步驟：1）構(gòu)建適用的波動(dòng)方程，需要針對(duì)不同的介質(zhì)模型進(jìn)行調(diào)整，確保方程能夠準(zhǔn)確地描述介質(zhì)中波的傳播特性；2）將求解域離散為規(guī)則或非規(guī)則的網(wǎng)格系統(tǒng)，為后續(xù)的數(shù)值計(jì)算打下基礎(chǔ)；3）設(shè)定恰當(dāng)?shù)倪吔鐥l件，以模擬實(shí)際情況并防止邊界反射引起誤差，常用的方法為添加人工吸收邊界條件或完全匹配層（perfectly matched layer， PML）邊界；4）確定準(zhǔn)確的初始條件，以確保數(shù)值模型能夠反映真實(shí)的物理現(xiàn)象；5）采用合適的數(shù)值方法求解離散化的波動(dòng)方程。

目前，基于波動(dòng)方程的傳統(tǒng)地震波正演數(shù)值模擬方法主要包括有限差分法（finite difference method， FDM）、偽譜法（pseudo spetral method， PSM）、有限元法（finite element method， FEM）和譜元法（spectral element method， SEM）。有限差分法是地震波場(chǎng)數(shù)值模擬的主要方法之一，普遍存在頻散問(wèn)題且需要對(duì)邊界條件進(jìn)行合適的處理^[6]。Cheng等^[7]基于旋轉(zhuǎn)交錯(cuò)網(wǎng)格，引入合適的高精度單邊仿真型有限差分算子，解決起伏地表的自由邊界條件問(wèn)題，顯著提高了有限差分法的計(jì)算效率。偽譜法利用傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)式表征波場(chǎng)函數(shù)，正演結(jié)果在頻率域具有較高的精度和分辨率。劉炯等^[8]在復(fù)雜起伏地表下地震波傳播過(guò)程的研究中，引入貼體網(wǎng)格技術(shù)，首先對(duì)地表不規(guī)則的模型進(jìn)行網(wǎng)格劃分，然后使用偽譜法進(jìn)行數(shù)值模擬，模擬結(jié)果具有較高的精度。有限元法的網(wǎng)格劃分形式相對(duì)靈活，能夠適用于異常地質(zhì)體界面和不規(guī)則的起伏地表。黃旭東等^[9]使用擴(kuò)展有限元法模擬了地下巖體的水力壓裂過(guò)程，獲得了良好的數(shù)值模擬結(jié)果。譜元法將有限元法與偽譜法相結(jié)合，同時(shí)具有兩者的優(yōu)點(diǎn)，速度快、精度高、適應(yīng)性強(qiáng)，被廣泛應(yīng)用在地震波數(shù)值模擬中^[10]。

隨著研究的深入，學(xué)者們嘗試結(jié)合物理信息神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)（physics-informed neural network， PINN）解決地震波場(chǎng)波動(dòng)方程數(shù)值模擬問(wèn)題并取得了一些有益的成果。波動(dòng)方程的求解可以看作為偏微分方程的求解，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)因其強(qiáng)大的特征提取能力和逼近能力在解決這類(lèi)問(wèn)題時(shí)表現(xiàn)優(yōu)異。以PINN為主的深度學(xué)習(xí)算法及其衍生算法在不同類(lèi)型的偏微分方程求解及地震波數(shù)值模擬中均發(fā)揮了較好的作用，并取得了較好的結(jié)果^[11]。

總體來(lái)看，國(guó)內(nèi)外對(duì)地震波數(shù)值模擬的研究成果越來(lái)越多，也逐漸出現(xiàn)一些綜述性文章對(duì)該類(lèi)方法進(jìn)行總結(jié)^{[1， 12-13]}。隨著研究的不斷深入，如何提高地震波數(shù)值模擬的效率和模擬數(shù)值結(jié)果的精度，減少數(shù)值模擬的計(jì)算耗時(shí)等已逐步成為研究熱點(diǎn)。本文對(duì)近年來(lái)該領(lǐng)域的相關(guān)研究?jī)?nèi)容做了系統(tǒng)性的總結(jié)和歸納，方便讀者對(duì)該領(lǐng)域進(jìn)行較為深入的了解。

1"有限差分法

有限差分法表達(dá)形式簡(jiǎn)單，概念易于理解，通?？捎糜诮鉀Q復(fù)雜問(wèn)題，是目前應(yīng)用范圍較為廣泛、研究較為深入的地震波數(shù)值模擬方法之一^[14]。

二維常規(guī)波動(dòng)方程表達(dá)式為

²ut²=c²（²ux²+²uy²）。（1）

式中：u（x，y，t）為在二維空間中傳播的波動(dòng)函數(shù)；x和y為空間坐標(biāo)；c為波速；t為時(shí)間。有限差分法主要利用運(yùn)用泰勒公式的展開(kāi)形式進(jìn)行運(yùn)算，表達(dá)式為

u（x+h）=u（x）+hux+h²2！²ux²+h³3！³ux³+…（2）

式中，h為步長(zhǎng)。以中心差分為例，將時(shí)間和空間的展開(kāi)式代入其導(dǎo)數(shù)的差分近似中，就可以得到一個(gè)更為精確的差分表達(dá)式來(lái)近似表達(dá)波動(dòng)方程中的時(shí)間和空間偏微分算子：

²ut²=

u（x，y，t+Δt）-2u（x，y，t）+u（x，y，t-Δt）Δt²;

²ux²=

u（x+Δx，y，t）-2u（x，y，t）+u（x-Δt，y，t）Δx²;

²uy²=

u（x，y+Δy，t）-2u（x，y，t）+u（x，y-Δy，t）Δy²。

（3）

將式（3）代入式（1）中轉(zhuǎn)換為差分離散波動(dòng)方程并進(jìn)行求解，即可實(shí)現(xiàn)波動(dòng)方程數(shù)值模擬。

Alterman等^[15]首次將有限差分法應(yīng)用于求解均勻介質(zhì)的二階彈性波位移方程。在此基礎(chǔ)上，Boore^[16]將有限差分法應(yīng)用于非均勻介質(zhì)中的地震波波場(chǎng)模擬，提出了非均勻介質(zhì)二階彈性波有限差分法。Madariaga^[17]采用交錯(cuò)網(wǎng)格技術(shù)求解一階速度應(yīng)力方程組。Dablain^[18]將高階有限差分算子應(yīng)用于標(biāo)量波場(chǎng)的數(shù)值模擬。這些研究進(jìn)一步推動(dòng)了有限差分法在地震波數(shù)值模擬領(lǐng)域的發(fā)展。

有限差分法雖然計(jì)算效率較高，但因利用離散形式代替連續(xù)形式進(jìn)行運(yùn)算，通常會(huì)產(chǎn)生數(shù)值頻散問(wèn)題。低階有限差分在數(shù)值模擬中普遍存在較為嚴(yán)重的數(shù)值頻散情況，影響了數(shù)值模擬結(jié)果的精度。此外，有限差分法的網(wǎng)格剖分情況也會(huì)直接影響數(shù)值模擬結(jié)果的精度。常見(jiàn)的網(wǎng)格類(lèi)型主要包括三種：規(guī)則網(wǎng)格、交錯(cuò)網(wǎng)格和旋轉(zhuǎn)交錯(cuò)網(wǎng)格。它們的不同之處在于網(wǎng)格排列方式和內(nèi)部結(jié)構(gòu)不同。規(guī)則網(wǎng)格主要用于處理常規(guī)介質(zhì)；交錯(cuò)網(wǎng)格主要用于高階差分地震波場(chǎng)的數(shù)值模擬中，具有更高的精度^[19]。為了有效控制頻散誤差，學(xué)者們研究了高階交錯(cuò)網(wǎng)格有限差分的優(yōu)化技術(shù)。唐超等^[20]提出利用交替方向乘子法進(jìn)行一階應(yīng)力-速度聲波方程交錯(cuò)網(wǎng)格有限差分?jǐn)?shù)值模擬，對(duì)交錯(cuò)網(wǎng)格有限差分系數(shù)進(jìn)行了較為精確的計(jì)算，并通過(guò)長(zhǎng)時(shí)程數(shù)值實(shí)驗(yàn)，驗(yàn)證了基于L₁范數(shù)的優(yōu)化方法在減小誤差積累方面具有一定的優(yōu)越性。Zhou等^[21]提出了一種低成本的混合交錯(cuò)網(wǎng)格有限差分形式，相比于傳統(tǒng)的交錯(cuò)網(wǎng)格有限差分，利用該差分形式進(jìn)行數(shù)值模擬時(shí)具有更好的精度和穩(wěn)定性。相比于交錯(cuò)網(wǎng)格，更為復(fù)雜的旋轉(zhuǎn)交錯(cuò)網(wǎng)格能夠進(jìn)一步提高數(shù)值模擬結(jié)果的精度^[22]。

除了常見(jiàn)的幾種網(wǎng)格類(lèi)型外，混合網(wǎng)格、變網(wǎng)格及自適應(yīng)網(wǎng)格等也是研究的重點(diǎn)。其中，自適應(yīng)網(wǎng)格憑借其靈活的結(jié)構(gòu)可以在低速區(qū)的不規(guī)則區(qū)間使用密網(wǎng)格，在其他區(qū)間使用疏網(wǎng)格，具有更高的計(jì)算效率。張志佳等^[23]提出一種起伏多重變加密網(wǎng)格有限差分波動(dòng)方程數(shù)值模擬方法，能兼顧計(jì)算精度和效率，且能很好地適應(yīng)實(shí)際復(fù)雜近地表介質(zhì)。Zhang等^[24]為了高效模擬強(qiáng)異質(zhì)介質(zhì)中的聲波傳播，采用了自適應(yīng)網(wǎng)格細(xì)化技術(shù)，通過(guò)模擬區(qū)域中的介質(zhì)變化和波場(chǎng)傳播情況動(dòng)態(tài)調(diào)整網(wǎng)格分辨率，在關(guān)鍵區(qū)域增加網(wǎng)格密度，更加準(zhǔn)確地描述和模擬聲波在復(fù)雜介質(zhì)中的傳播行為，顯著提高了計(jì)算速度。于明浩等^[25]采用不等距有限差分法網(wǎng)格技術(shù)，對(duì)起伏地表?xiàng)l件下的地震波場(chǎng)進(jìn)行了數(shù)值模擬研究。

根據(jù)實(shí)現(xiàn)域的不同，有限差分法可以分為時(shí)間域有限差分^[26]和頻率域有限差分^[27]兩種。其中，頻率域有限差分法常應(yīng)用于與頻率相關(guān)的介質(zhì)模型中。相對(duì)而言，時(shí)間域有限差分法更為直觀、效率更高且應(yīng)用更為廣泛。此外，根據(jù)求取差分系數(shù)所采用的頻散關(guān)系類(lèi)型，有限差分法可被分為空間域有限差分和時(shí)空域有限差分兩種^[28-29]。在地震波動(dòng)方程數(shù)值模擬中，時(shí)空域有限差分法因同時(shí)考慮時(shí)間和空間精度方面的優(yōu)勢(shì)而備受青睞。為提高地震波動(dòng)方程數(shù)值模擬精度，彭更新等^[30]采用了時(shí)間二階、空間2M階的交錯(cuò)網(wǎng)格有限差分法，通過(guò)引入時(shí)空域的頻散關(guān)系和泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)方法，提出了一種改進(jìn)的時(shí)空域交錯(cuò)網(wǎng)格有限差分法，在保持差分格式不變性的同時(shí)，提高了數(shù)值模擬精度。此外，他們對(duì)空間域與時(shí)空域交錯(cuò)網(wǎng)格有限差分法數(shù)值模擬結(jié)果進(jìn)行了比較，在3.0 s時(shí)壓力場(chǎng)波場(chǎng)快照與炮集記錄的模擬結(jié)果中：空間域交錯(cuò)網(wǎng)格有限差分法數(shù)值模擬均呈現(xiàn)出明顯的數(shù)值頻散現(xiàn)象，表現(xiàn)出較低的模擬精度；相比之下，時(shí)空域交錯(cuò)網(wǎng)格有限差分法的數(shù)值模擬結(jié)果在相同時(shí)間點(diǎn)沒(méi)有顯示明顯的數(shù)值頻散，精度較高（圖1）。根據(jù)時(shí)間和空間離散化的方式，有限差分法可以分為顯式和隱式兩種格式。顯式有限差分法使用當(dāng)前時(shí)間步的信息來(lái)更新下一個(gè)時(shí)間步，計(jì)算速度較快，但可能會(huì)存在數(shù)值穩(wěn)定性較差的問(wèn)題；而隱式有限差分法利用當(dāng)前和未來(lái)時(shí)間步的信息進(jìn)行迭代，計(jì)算速度較慢但更加穩(wěn)定。在實(shí)際應(yīng)用中，通常會(huì)根據(jù)問(wèn)題的特點(diǎn)和數(shù)值穩(wěn)定性的要求選擇合適的方法。徐世剛等^[31]提出一種改進(jìn)的時(shí)間高精度-空間隱式交錯(cuò)網(wǎng)格差分法，并將其與幾種現(xiàn)有的差分方法進(jìn)行了對(duì)比，彈性波數(shù)值模擬結(jié)果表明該方法能有效壓制數(shù)值頻散干擾，產(chǎn)生高精度的模擬結(jié)果。

廣義有限差分法是在傳統(tǒng)有限差分法基礎(chǔ)上的擴(kuò)展和改進(jìn)。傳統(tǒng)有限差分法將計(jì)算區(qū)域離散為規(guī)則的網(wǎng)格，并利用差分格式對(duì)空間和時(shí)間進(jìn)行離散化，從而將偏微分方程轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程組。然而，在復(fù)雜介質(zhì)或非均勻網(wǎng)格的情況下，傳統(tǒng)有限差分法的精度和穩(wěn)定性可能受到限制。而廣義有限差分法通過(guò)引入非均勻網(wǎng)格、高階差分格式和高維插值等技術(shù)，克服了傳統(tǒng)有限差分法的局限性。在全波形反演中，Li等^[32]采用了不規(guī)則節(jié)點(diǎn)分布的無(wú)網(wǎng)格廣義有限差分法建立聲彈耦合介質(zhì)中的波動(dòng)方程，在空間離散化過(guò)程中引入了更高階的差分算子，提高了數(shù)值模擬結(jié)果的精度和穩(wěn)定性，更精確地模擬了波場(chǎng)的傳播過(guò)程。

緊湊型有限差分法相比于傳統(tǒng)有限差分法可在較少的離散點(diǎn)下實(shí)現(xiàn)相同或更高的精度，且可以減少數(shù)值耗散或數(shù)值擴(kuò)散現(xiàn)象。Kosloff等^[33]提出了一種通用的緊湊型有限差分方案，該方案可以使用任意個(gè)點(diǎn)的函數(shù)值計(jì)算當(dāng)前點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值，并用于二維聲波方程的數(shù)值解以及各向同性介質(zhì)中二維動(dòng)態(tài)彈性方程的求解。Li等^[34]提出了一種新的緊湊型有限差分方案求解三維聲波方程。Chen等^[35]提出優(yōu)化的緊湊型有限差分方案和二階中心有限差分方案，分別對(duì)二維聲波方程的空間和時(shí)間導(dǎo)數(shù)進(jìn)行近似，數(shù)值模擬結(jié)果表明，優(yōu)化的緊湊型有限差分方案優(yōu)于同階的中心有限差分方案。整體而言，緊湊型有限差分方案因其較高的空間效率、較好的邊界條件處理能力以及較高的精度，在求解勘探地震學(xué)中的

地震波動(dòng)方程方面顯示出巨大的潛力。

目前，關(guān)于有限差分法在地震波場(chǎng)數(shù)值模擬中的研究主要集中于網(wǎng)格類(lèi)型的選擇和差分系數(shù)的求取等方面。隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的進(jìn)步，為增強(qiáng)數(shù)值模擬的穩(wěn)定性并提高數(shù)值模擬結(jié)果的精度，學(xué)者們?cè)谙惹暗难芯炕A(chǔ)上提出一系列優(yōu)化策略。Guo等^[36]為了有效地獲得最優(yōu)交錯(cuò)網(wǎng)格差分階數(shù)和差分系數(shù)，結(jié)合人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行參數(shù)估計(jì)。韓復(fù)興等^[37]將二階CE（Clayton-Enquist）吸收邊界條件和PML衰減邊界條件進(jìn)行組合，有效提高了數(shù)值模擬效率。趙明哲等^[38]利用GPU（graphics processing unit）并行算法提高了高階旋轉(zhuǎn)交錯(cuò)網(wǎng)格有限差分法的計(jì)算效率，模型數(shù)據(jù)實(shí)驗(yàn)結(jié)果證明了其有效性。

綜上所述，有限差分法具有表達(dá)形式簡(jiǎn)單、概念易于理解的優(yōu)點(diǎn)，在地震波動(dòng)方程數(shù)值模擬中得到了廣泛應(yīng)用。未來(lái)，研究者們可開(kāi)發(fā)更多高精度的

有限差分算法，以減少數(shù)值頻散、數(shù)值耗散等常見(jiàn)問(wèn)題。同時(shí)，自適應(yīng)網(wǎng)格技術(shù)和多尺度模擬方法有望進(jìn)一步發(fā)展，從而更準(zhǔn)確地捕捉復(fù)雜的地質(zhì)結(jié)構(gòu)，模擬地震波傳播過(guò)程。此外，計(jì)算機(jī)技術(shù)的持續(xù)進(jìn)步，尤其是在并行處理和算力等方面技術(shù)的突破，利用GPU加速等資源，將大幅提升計(jì)算效率，增強(qiáng)處理復(fù)雜科學(xué)問(wèn)題的能力。

2"偽譜法

偽譜法首次提出于上世紀(jì)70年代^[39]，最初應(yīng)用于大氣預(yù)測(cè)以及非線(xiàn)性波動(dòng)模擬等領(lǐng)域，20世紀(jì)80年代被引入到地震波數(shù)值模擬的相關(guān)研究中。Kosloff等^[40]利用傅里葉偽譜法求解二維聲波方程，并證明該方法解決此問(wèn)題時(shí)比有限差分法更有效。

對(duì)于二維波動(dòng)方程來(lái)說(shuō)，偽譜法首先將二維空間離散化為n_x×n_y個(gè)網(wǎng)格點(diǎn)，然后對(duì)每個(gè)網(wǎng)格點(diǎn)（x_i，y_i）使用插值多項(xiàng)式來(lái)逼近待求解函數(shù)u（x，y，t），最后利用數(shù)學(xué)領(lǐng)域中的傅里葉變換將導(dǎo)數(shù)求解過(guò)程從空間域轉(zhuǎn)換到波數(shù)域，表達(dá)式為

F（k_x，k_y，t）=1L_xL_y∫－∫－u（x，y，t）e^－ik_x^xe^－ik_y^ydxdy。（4）

式中：F（k_x，k_y，t）為u（x，y，t）的傅里葉變換；L_x和L_y分別為x方向和y方向的空間域尺寸；k_x和k_y分別為x方向和y方向的波數(shù)。傅里葉變換將導(dǎo)數(shù)的求解過(guò)程從空間域轉(zhuǎn)換到波數(shù)域，波數(shù)域中的導(dǎo)數(shù)運(yùn)算可以轉(zhuǎn)換為相乘運(yùn)算，可以相對(duì)簡(jiǎn)單地求解方程。之后，將其結(jié)果通過(guò)傅里葉逆變換轉(zhuǎn)換到時(shí)間域即可完成二維波動(dòng)方程的求解。這個(gè)傅里葉正變換再逆變換的過(guò)程能夠消除直接求導(dǎo)產(chǎn)生的頻散現(xiàn)象，提高數(shù)值模擬的效率和精度。

偽譜法可以看作為一種無(wú)窮階極限情況下的空間域有限差分法。在同等模擬精度下，偽譜法比有限差分法采用更大的網(wǎng)格間距和更少的采樣點(diǎn)數(shù)，需要更小的存儲(chǔ)空間^[41]。在網(wǎng)格間距和時(shí)間步長(zhǎng)相同的情況下，孫獻(xiàn)果等^[42]對(duì)比了有限差分法和偽譜法不同時(shí)刻的波場(chǎng)快照，發(fā)現(xiàn)有限差分法會(huì)出現(xiàn)頻散現(xiàn)象，主要表現(xiàn)為主圓環(huán)內(nèi)部存在較多不明顯的小圓環(huán)（圖2）。表1展示了有限差分法和偽譜法的綜合性能對(duì)比情況，當(dāng)兩者正演結(jié)果的精度相似時(shí)，有限差分法雖然計(jì)算耗時(shí)小，但所需要的計(jì)算內(nèi)存明顯高于偽譜法。

近年來(lái)，利用偽譜法進(jìn)行地震波動(dòng)方程數(shù)值模擬的研究日漸增多^[43-44]。通過(guò)網(wǎng)格劃分的方式可以

提高偽譜法數(shù)值模擬結(jié)果的精度。相比于常規(guī)網(wǎng)格偽譜法和高階有限差分法，譚文卓等^[45]采用梯形網(wǎng)格偽譜法進(jìn)行地震波動(dòng)方程數(shù)值模擬，有效地減少了計(jì)算時(shí)間，降低了數(shù)值頻散。李元燮等^[46]利用時(shí)間分裂法和旋轉(zhuǎn)交錯(cuò)網(wǎng)格偽譜法相結(jié)合的數(shù)值模擬方法實(shí)現(xiàn)了波場(chǎng)的數(shù)值模擬，能夠得到穩(wěn)定的、高精度的模擬結(jié)果。

在地震波場(chǎng)數(shù)值模擬中，由于計(jì)算資源的限制，無(wú)法模擬無(wú)限大的區(qū)域，因此必須在某個(gè)有限的計(jì)算區(qū)域上設(shè)置邊界。這個(gè)邊界是人為引入的，稱(chēng)為人工截?cái)噙吔?。但人工截?cái)噙吔鐣?huì)在計(jì)算區(qū)域邊界產(chǎn)生強(qiáng)邊界反射，很大程度上降低了地震波場(chǎng)模擬的精度。李青陽(yáng)等^[47]基于PML邊界，采用高階偽譜法進(jìn)行數(shù)值模擬，有效壓制了時(shí)間頻散，提高了計(jì)算效率。為了降低數(shù)值噪聲，提高模擬結(jié)果的精度，馬銳等^[48]首先利用分裂格式構(gòu)建PML吸收邊界和海綿邊界，然后組合形成復(fù)合吸收邊界，最后基于此使用偽譜法進(jìn)行數(shù)值模擬，獲得了較好的數(shù)值模擬結(jié)果。陳漢明等^[49]在對(duì)分?jǐn)?shù)階黏滯聲波方程進(jìn)行數(shù)值模擬時(shí)，采用近似卷積型PML作為吸收邊界條件的交錯(cuò)網(wǎng)格偽譜法，得到了具有較高精度的模擬結(jié)果。隨著計(jì)算機(jī)算力的提高，基于GPU加速的偽譜法的計(jì)算耗時(shí)得到了大幅度減少^[50]。

綜上所述，在地震波動(dòng)方程數(shù)值模擬中，偽譜法具有高精度和低內(nèi)存需求的優(yōu)勢(shì)。然而，該方法數(shù)值模擬

計(jì)算效率較低，且在空間分辨率和

邊界條件的處理上存在一定的限制。因此，在應(yīng)用偽譜法進(jìn)行數(shù)值模擬時(shí)，需要綜合考慮其優(yōu)缺點(diǎn)，以獲得準(zhǔn)確可靠的模擬結(jié)果。未來(lái)，偽譜法可以引入高階離散化方法進(jìn)一步提高精度，并借鑒動(dòng)態(tài)網(wǎng)格技術(shù)，智能地調(diào)整網(wǎng)格分辨率，通過(guò)改進(jìn)邊界條件處理方法，增強(qiáng)其適用性；也可以開(kāi)發(fā)對(duì)應(yīng)的優(yōu)化算法，提升數(shù)值模擬效率，并與深度學(xué)習(xí)相結(jié)合，優(yōu)化模擬參數(shù)、提高地震波數(shù)值模擬結(jié)果的準(zhǔn)確性和可靠性。

3"有限元法

有限元法在求解地震波動(dòng)方程時(shí)，首先根據(jù)數(shù)值模擬要求選擇單元網(wǎng)格類(lèi)型，將連續(xù)的求解域Ω離散化成有限數(shù)量的網(wǎng)格小單元，在每個(gè)網(wǎng)格小單元Ω_i內(nèi)部定義節(jié)點(diǎn)，這些節(jié)點(diǎn)通常位于單元的頂點(diǎn)或適當(dāng)?shù)奈恢茫詽M(mǎn)足數(shù)值精度和計(jì)算效率的要求。然后根據(jù)求解精度要求和單元類(lèi)型選擇單元內(nèi)的插值函數(shù)，如線(xiàn)性插值、二次插值等，用于在單元的節(jié)點(diǎn)之間插值，以得到單元內(nèi)任意點(diǎn)上的場(chǎng)變量值。以二維波動(dòng)方程為例，位移近似解u_h（x，y，t）可以表示為

u（x，y，t）=∑ni=1φ_i（x，y）ψ_i（t）。（5）

式中：φ_i（x，y）為插值函數(shù)；ψ_i（t）為在每個(gè)時(shí)間步長(zhǎng)上位移的近似值；n的具體值取決于所選擇的插值函數(shù)和單元類(lèi)型。接著將每個(gè)單元的局部位移解u_h組裝成全局位移解U，再將每個(gè)小單元上計(jì)算的剛度矩陣和質(zhì)量矩陣組裝為全局剛度矩陣K和全局質(zhì)量矩陣M。加載邊界條件向量F_b和震源項(xiàng)F_s（t），將整個(gè)系統(tǒng)的方程組裝成全局的代數(shù)方程組：

M+KU=Fb+Fs（t）。（6）

式中，為空間變量上位移的二階時(shí)間導(dǎo)數(shù)向量。最后，將這個(gè)方程組（式（6））在每個(gè)時(shí)間步長(zhǎng)上求解，以得到求解域內(nèi)各個(gè)時(shí)刻的位移場(chǎng)。

20世紀(jì)70年代，Lysmer等^[51]和Drake^[52]將有限元法應(yīng)用于地震波場(chǎng)模擬的研究。在二維波動(dòng)方程數(shù)值模擬中，Mullen等^[53]對(duì)采用不同時(shí)間離散方法的低階有限元方法進(jìn)行了評(píng)估，研究其精度、穩(wěn)定性和數(shù)值頻散性能。Chen^[54]則在各向異性介質(zhì)下應(yīng)用有限元法求解波動(dòng)方程。此外，Serón等^[55]分析了有限元法在計(jì)算彈性波動(dòng)方程方面的性能?？傮w而言，相較于有限差分法，在邊界處和奇點(diǎn)附近，有限元法能夠更好地處理精度損失和振蕩現(xiàn)象，這得益于有限元法采用逐單元的離散化方法^[56]。

有限元法在剖分非結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格、處理自然邊界條件方面表現(xiàn)出色，更適合模擬復(fù)雜地下介質(zhì)中波的傳播；然而該方法計(jì)算量較大，且低階有限元法地震波動(dòng)方程數(shù)值模擬結(jié)果精度不高。傳統(tǒng)有限元法在地震波場(chǎng)數(shù)值模擬中通常需要大量的計(jì)算內(nèi)存，且效率不高^[57]。為提升有限元法的計(jì)算效率，蘇波等^[58]采用一種改進(jìn)的核矩陣存儲(chǔ)策略，在網(wǎng)格剖分時(shí)采取了任意非規(guī)則單元的形式，能夠在保證數(shù)值模擬結(jié)果精度的同時(shí)，降低計(jì)算所需的內(nèi)存，提高計(jì)算效率。他們?cè)诖嘶A(chǔ)上發(fā)展了修正有限元法，該新方法在復(fù)雜模型的高精度波場(chǎng)數(shù)值模擬中表現(xiàn)出色，且在大尺度及復(fù)雜模型的地震波傳播數(shù)值模擬中具有一定優(yōu)勢(shì)。在使用有限元法進(jìn)行數(shù)值模擬時(shí)，選擇合適的邊界條件對(duì)于確保模擬結(jié)果的準(zhǔn)確性和可靠性至關(guān)重要。Zhao等^[59]使用有限元方法進(jìn)行數(shù)值模擬時(shí)，提出了一種非分裂式的完全匹配層（non-split perfectly matched layer， NPML）邊界條件，以吸收由人工邊界產(chǎn)生的反射，該研究主要針對(duì)擴(kuò)散黏性波進(jìn)行數(shù)值模擬，結(jié)果表明NPML邊界條件可以有效吸收人工邊界反射（圖3）。

間斷有限元法（discontinuous galerkin method， DGM）是以有限元法為基礎(chǔ)的一種數(shù)值模擬方法，該方法由Reed等^[60]在求解中子輸運(yùn)方程時(shí)提出的。間斷有限元法在進(jìn)行數(shù)值模擬時(shí)能夠有效壓制數(shù)值頻散，且網(wǎng)格剖分形式更加靈活，能夠減少計(jì)算量并提高計(jì)算精度。賀茜君等^[61]在間斷有限元法的基礎(chǔ)上提出一種新的加權(quán)Runge-Kutta間斷有限元法（Runge-Kutta DGM， RKDG），數(shù)值模擬結(jié)果顯示，該方法可有效模擬包含球體在內(nèi)的非規(guī)則模型以及非均勻Marmousi模型中衰減的聲波波場(chǎng)。He等^[62]將加權(quán)的RKDG擴(kuò)展到求解二維橫向各向同性介質(zhì)中的彈性波動(dòng)方程，并使用非結(jié)構(gòu)化三角網(wǎng)格行模擬，證明該方法具有較好的靈活性。

現(xiàn)有的間斷有限元法通常對(duì)二維彈性波進(jìn)行數(shù)值模擬，Hong等^[63]提出了一種用于三維彈性波模擬的間斷有限元法，新方法中采用的自適應(yīng)四面體分裂法可以有效地模擬任意復(fù)雜起伏地表中彈性波的傳播過(guò)程，具有較高的模擬精度和計(jì)算效率。韓德超等^[64]通過(guò)構(gòu)建不同的三角形單元來(lái)組成周期性網(wǎng)格進(jìn)行數(shù)值模擬，并提供了基于三角形網(wǎng)格的間斷有限元法彈性波模擬的參數(shù)選擇指南，研究表明數(shù)值各向異性最小的是等邊三角形網(wǎng)格，而直角三角形和鈍角三角形網(wǎng)格則表現(xiàn)出較強(qiáng)的數(shù)值各向異性。間斷有限元法相比傳統(tǒng)的有限元法和有限差分法具有許多優(yōu)點(diǎn)：RKDG能夠更準(zhǔn)確地捕捉解的局部特征和不連續(xù)性，適用于處理具有強(qiáng)烈變化或不光滑解的問(wèn)題；其次，允許使用更高階的多項(xiàng)式來(lái)逼近解，從而獲得更高的精度。學(xué)者們一直關(guān)注間斷有限元的優(yōu)化問(wèn)題，以期在求解波動(dòng)方程時(shí)達(dá)到較小的誤差和較好的收斂性^[65]。除此之外，Yang等^[66]提出一種有限元-有限差分法，能夠較好地處理復(fù)雜地下結(jié)構(gòu)的數(shù)值模擬問(wèn)題，其中：有限元法可以更好地表示復(fù)雜地下結(jié)構(gòu)的幾何特征，適應(yīng)不規(guī)則邊界；有限差分法保持了計(jì)算的效率。

綜上所述，有限元法是一種常用的地震波動(dòng)方程數(shù)值模擬方法，在理論和實(shí)踐上都得到了驗(yàn)證，被廣泛接受并應(yīng)用。首先，有限元法可以對(duì)復(fù)雜的地震波動(dòng)問(wèn)題進(jìn)行較為精確的模擬。其次，有限元法靈活性強(qiáng)，可以適應(yīng)各種實(shí)際情況，包括不規(guī)則地質(zhì)結(jié)構(gòu)。再次，間斷有限元法通過(guò)引入間斷近似空間和數(shù)值通量來(lái)處理解的間斷問(wèn)題，能夠處理復(fù)雜地質(zhì)結(jié)構(gòu)、適應(yīng)解的間斷特性、具有高精度和數(shù)值穩(wěn)定性等優(yōu)勢(shì)。但這類(lèi)方法的計(jì)算成本通常會(huì)高于傳統(tǒng)的連續(xù)有限元法，特別是在高階逼近和復(fù)雜幾何形狀的情況。

然而，由于要將區(qū)域和結(jié)構(gòu)劃分成許多小單元進(jìn)行計(jì)算，有限元法計(jì)算量較大，尤其是在模擬大型結(jié)構(gòu)或復(fù)雜地震場(chǎng)地時(shí)。此外，有限元法建立在一定的假設(shè)和簡(jiǎn)化條件下，其模擬結(jié)果受建模誤差的影響，可能與實(shí)際情況存在一定差異。有限元法在地震波數(shù)值模擬方面可以朝著更加精細(xì)化的模型發(fā)展，以在考慮地下結(jié)構(gòu)的復(fù)雜性時(shí)，包括地下的不規(guī)則邊界、地層的變化等，更好地模擬實(shí)際情況。

4"譜元法

譜元法是一種融合有限元法和譜方法的數(shù)值模擬技術(shù)。該方法兼具了有限元法處理復(fù)雜幾何邊界問(wèn)題上的靈活性以及譜方法在高精度解決問(wèn)題時(shí)的優(yōu)點(diǎn)^[67]。利用譜元法進(jìn)行求解時(shí)首先需要選擇合適的基函數(shù)（例如Chebyshev多項(xiàng)式、Legendre多項(xiàng)式等）以構(gòu)建高階插值多項(xiàng)式，這些基函數(shù)在整個(gè)求解域內(nèi)滿(mǎn)足正交性和完備性；然后在每個(gè)小單元內(nèi)逼近待求解的函數(shù)。這與偽譜法中利用插值方法在離散點(diǎn)處逼近待求解函數(shù)的步驟類(lèi)似。

與偽譜法不同的是，譜元法得到逼近解之后，不需要進(jìn)行傅里葉變換，相反，它更類(lèi)似于有限元法，將插值得到的近似解代入偏微分方程中，并將局部剛度矩陣疊加形成全局剛度矩陣。需要注意的是，譜元法與普通有限元法在處理全局質(zhì)量矩陣時(shí)方法不同，譜元法首先通過(guò)數(shù)學(xué)處理，使全局質(zhì)量矩陣成為對(duì)角矩陣，極大地提高了計(jì)算效率。然后按照需求添加震源項(xiàng)。與有限元法處理方式類(lèi)似，整理得到

M+KU=Fs。（7）

最后選擇合適的數(shù)值求解方法求解全局方程組，得到各個(gè)時(shí)間步長(zhǎng)上的位移場(chǎng)。由于結(jié)合了有限元法處理復(fù)雜結(jié)構(gòu)的幾何靈活性和偽譜法高精度、快速收斂的特性，目前譜元法已成為地震波動(dòng)方程數(shù)值模擬的重要工具。

Patera^[68]最初提出了譜元法，并將該方法應(yīng)用于解決流體力學(xué)問(wèn)題。在此基礎(chǔ)上，Seriani等^[69]應(yīng)用譜元法研究聲波在復(fù)雜地質(zhì)結(jié)構(gòu)中的傳播問(wèn)題。相比于一些傳統(tǒng)方法，譜元法的數(shù)值模擬結(jié)果更準(zhǔn)確，可以較好地描述不同介質(zhì)之間的不規(guī)則界面。Komatitsch等^[70]基于二維、三維模型，考慮復(fù)雜的幾何形狀、自由表面和材料界面，運(yùn)用譜元法對(duì)真實(shí)地質(zhì)結(jié)構(gòu)中的彈性波傳播規(guī)律進(jìn)行了模擬研究。

早期的譜元法在進(jìn)行地震波動(dòng)方程數(shù)值模擬時(shí)往往采用Chebyshev正交多項(xiàng)式對(duì)波動(dòng)方程中的空間變量進(jìn)行離散化處理。Lagrange譜元法是一種常用的譜元法，使用高次多項(xiàng)式作為插值函數(shù)，能夠適應(yīng)各種復(fù)雜的幾何形狀，并且可以提供較高的數(shù)值模擬精度。但常規(guī)Lagendre譜元法在求解地震波運(yùn)動(dòng)方程時(shí)存在精度損失的情況。針對(duì)這一問(wèn)題，劉少林等^[71]提出了一種提升譜元法模擬精度的優(yōu)化算法，數(shù)值模擬結(jié)果驗(yàn)證了其可行性和有效性。Liu等^[72]對(duì)有限元法和譜元法在地震波場(chǎng)建模中的應(yīng)用效果進(jìn)行了對(duì)比和分析，分別列舉了二階基于四邊形單元的有限元法和譜元法，以及三階基于三角形單元的有限元法和譜元法四種方法在求解特定接收器位置的計(jì)算誤差（包括水平方向和垂直方向分量的最大范數(shù)），還比較了這四種方法在半空間模型下CPU時(shí)間消耗、總時(shí)間步數(shù)、平均每步耗時(shí)、計(jì)算機(jī)內(nèi)存占用（表2）。由2表可知：基于有限元法得到的計(jì)算結(jié)果在垂直方向上的誤差多大于水平方向上的誤差，然而總體上基于有限元法得到的結(jié)果與基于譜元法相當(dāng)。在使用半空間模型進(jìn)行數(shù)值模擬計(jì)算時(shí)，采用三角形單元三階多項(xiàng)式的方法需要更多的計(jì)算時(shí)間，并且計(jì)算機(jī)內(nèi)存占用量與節(jié)點(diǎn)數(shù)量和多項(xiàng)式階數(shù)成正比。

近年來(lái)，針對(duì)譜元法優(yōu)化方法的研究逐漸增多。Lyu等^[73]采用更高階的譜元方法，準(zhǔn)確地模擬了彈性波傳播的物理過(guò)程，比低階譜元法更顯著地節(jié)省計(jì)算內(nèi)存。Zhang等^[74]提出一種結(jié)合譜元法與有限

元法的SEM-FEM數(shù)值模擬方法，先使用譜元法在粗網(wǎng)格上模擬整個(gè)區(qū)域的地震波傳播過(guò)程，在此結(jié)果上利用有限元法在細(xì)網(wǎng)格上對(duì)局部地質(zhì)和地形條件下的地震波場(chǎng)進(jìn)行分析。劉立民等^[75]提出了適用于起伏地表復(fù)雜構(gòu)造成像的Chebyshev譜元逆時(shí)偏移成像算法，取得了較好的應(yīng)用效果。邢浩潔等^[76]將一種多人工波速優(yōu)化透射邊界應(yīng)用于高精度譜元法的地震波動(dòng)模擬中，將該邊界條件與其他常見(jiàn)的邊界條件進(jìn)行了比較，結(jié)果表明這是一種便捷、高效的人工邊界條件。孟雪莉等^[77]提出了一種基于優(yōu)化數(shù)值積分的譜元法（optimal SEM， OSEM），該方法不僅能夠適應(yīng)各類(lèi)邊界條件，而且在壓制數(shù)值頻散、提高計(jì)算精度等方面具備一定的優(yōu)勢(shì)。隨著研究不斷深入，譜元法在地震波動(dòng)方程數(shù)值模擬應(yīng)用中表現(xiàn)越來(lái)越出色，其模擬精度更高，計(jì)算速度更快。

綜上所述，譜元法在地震波動(dòng)方程數(shù)值模擬中具有顯著的優(yōu)勢(shì)。通過(guò)使用高次多項(xiàng)式作為插值函數(shù)，譜元法不僅能夠提供高精度的地震波傳播模擬結(jié)果，而且能夠準(zhǔn)確地捕捉地震波傳播過(guò)程。譜元法能夠適應(yīng)各種復(fù)雜的地形和非均勻性介質(zhì)，在地震波模擬中具有廣泛的適用性。此外，譜元法基于頻域分析，能夠直接獲得地震波的頻譜信息，有助于進(jìn)一步研究地震波的頻率特性。然而，譜元法也面臨一些挑戰(zhàn)。首先，由于需要進(jìn)行頻域計(jì)算和求解大規(guī)模矩陣特征值，譜元法的計(jì)算復(fù)雜度較高，可能需要更多的計(jì)算資源和時(shí)間。其次，譜元法在數(shù)值模擬中高頻區(qū)域可能會(huì)存在的耗散誤差，會(huì)影響地震波傳播的高頻部分。最后，對(duì)于邊界條件的處理更為復(fù)雜，特別是對(duì)于非完全吸收邊界條件，可能需要采用額外的技術(shù)來(lái)減小邊界反射和影響。未來(lái)，譜元法將繼續(xù)發(fā)展并在地震波數(shù)值模擬中發(fā)揮重要作用。通過(guò)

開(kāi)發(fā)更高階的插值函數(shù)減少數(shù)值耗散和頻散，開(kāi)發(fā)更高效的算法減少計(jì)算復(fù)雜度，提高計(jì)算效率。

5"基于物理信息神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的深度學(xué)習(xí)法

PINN是一種基于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，并引入物理信息約束以求取偏微分方程近似解的方法。Lagaris等^[78]在1998年使用人工智能求解常微分方程和偏微分方程，但受限于當(dāng)時(shí)的計(jì)算水平，并未發(fā)展起來(lái)。直到Raissi等^[79]使用深度神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)來(lái)逼近函數(shù)，并根據(jù)物理方程和定解條件對(duì)網(wǎng)絡(luò)的預(yù)測(cè)結(jié)果進(jìn)行約束，該方法才得到了顯著的進(jìn)步和應(yīng)用。傳統(tǒng)的數(shù)值求解方法只能在給定初始條件和邊界條件時(shí)才能進(jìn)行求解，如果初始條件和邊界條件發(fā)生變化，就要重新進(jìn)行求解^[80]。PINN最基礎(chǔ)的設(shè)計(jì)思想是將物理方程中的微分形式約束條件融入神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的損失函數(shù)設(shè)計(jì)中。以二維波動(dòng)方程為例，將空間坐標(biāo)（x，y）和時(shí)間t作為輸入，將波函數(shù)u（x，y，t）的近似值作為輸出，損失函數(shù)的總體L=L_data+L_physics。為確保神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型能夠逼近已知的數(shù)據(jù)點(diǎn)，包括初始條件和邊界條件，損失函數(shù)通常采用歐氏距離的平方來(lái)衡量預(yù)測(cè)值與實(shí)際值之間的誤差。數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)部分的損失函數(shù)可以表示為

L_data=∑[u_predicted（x，y，t）－u_actual（x，y，t）]。（8）

式中：u_precticed為神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測(cè)的波函數(shù)；u_actual為真實(shí)的波函數(shù)。物理模型驅(qū)動(dòng)部分的損失函數(shù)為

L_physics=∑2u_predictedt²－c²²u_predicted²。 （9）

式中，²表示拉普拉斯算子，目的是使預(yù)測(cè)的波函數(shù)二階時(shí)間導(dǎo)數(shù)和空間拉普拉斯算子與物理方程對(duì)應(yīng)部分之間的差異最小化，確保神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)在訓(xùn)練過(guò)程中逐漸調(diào)整自身參數(shù)，預(yù)測(cè)出符合物理方程的解，從而得到符合物理規(guī)律的結(jié)果。

PINN遵守訓(xùn)練數(shù)據(jù)的分布規(guī)律以及偏微分方程所描述的物理定律。結(jié)合深度學(xué)習(xí)和物理模型的優(yōu)勢(shì)，只需少量的訓(xùn)練樣本就能訓(xùn)練出滿(mǎn)足物理約束條件的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型，模擬結(jié)果更逼近真實(shí)的地震波場(chǎng)^[81]。PINN作為一種求解波動(dòng)方程的無(wú)網(wǎng)格方法，具有較高的精度，但計(jì)算效率較低、穩(wěn)定性不高、適用性較低。隨著研究的不斷深入，越來(lái)越多學(xué)者使用PINN進(jìn)行地震波場(chǎng)數(shù)值模擬，并針對(duì)存在的不同問(wèn)題進(jìn)行優(yōu)化^[82]。

Guo等^[83]改進(jìn)傳統(tǒng)的PINN算法，使神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型的性能進(jìn)行進(jìn)一步提升，成功提升了一維聲波方程的求解結(jié)果精度。Ovadia等^[84]考慮了聲波問(wèn)題不滿(mǎn)足數(shù)值穩(wěn)定性條件的情況，提出了一種利用PINN的方法以提高聲波方程求解的穩(wěn)定性，并通過(guò)實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了這一方法的有效性。Song等^[85]提出了一種利用PINN求解垂直各向異性介質(zhì)聲波方程散射波場(chǎng)的方法，采用全連接深度神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)來(lái)構(gòu)建模型，并通過(guò)訓(xùn)練來(lái)優(yōu)化網(wǎng)絡(luò)參數(shù)，對(duì)空間中每個(gè)位置散射波場(chǎng)的實(shí)部和虛部進(jìn)行預(yù)測(cè)，結(jié)果表明，在大部分區(qū)域，數(shù)值解和PINN預(yù)測(cè)解的散射波場(chǎng)的總體形狀非常接近（圖4）。其中，較小的散射波場(chǎng)差異主要來(lái)自缺失的散射分類(lèi)。數(shù)值模擬結(jié)果表明，在節(jié)省計(jì)算資源的情況下，該方法能夠得到?jīng)]有數(shù)值頻散偽影的聲波波場(chǎng)。Rasht-Behesht等^[86]提出了一種利用PINN求解二維聲波方程的算法，

并使用模擬數(shù)據(jù)進(jìn)行測(cè)試;結(jié)果表明，PINN能夠處理不同的復(fù)雜構(gòu)造。針對(duì)PINN在近似高頻分量時(shí)存在頻譜偏置的問(wèn)題，Song等^[87]采用具有嵌入式傅里葉特征的PINN模擬地震多頻波場(chǎng)，數(shù)值模擬結(jié)果表明該方法與簡(jiǎn)單PINN相比，在生成多頻波場(chǎng)的準(zhǔn)確性方面有顯著改進(jìn);此外，該方法能有效模擬具有不同頻率和源位置的波場(chǎng)。Zhang等^[88]運(yùn)用PINN進(jìn)行地震反演，將一階聲波方程嵌入到損失函數(shù)中，將此作為訓(xùn)練神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的正則化項(xiàng)，以估計(jì)地下速度和密度場(chǎng)，結(jié)果表明，該方法能有效預(yù)測(cè)地震波在地下傳播的過(guò)程及對(duì)應(yīng)的速度和密度，并在未添加吸收邊界條件下成功避免了地震波在遇到邊界時(shí)產(chǎn)生的反射現(xiàn)象，從而提高了模擬的真實(shí)性和可靠性。

在地震波動(dòng)方程數(shù)值模擬中，模擬地震波的彈性行為非常重要。與求解聲波方程相比，求解彈性波動(dòng)方程往往需要更大的計(jì)算成本。傳統(tǒng)數(shù)值模擬方法需要在有限點(diǎn)的網(wǎng)格上進(jìn)行建模，這些方法的適用性隨著維度數(shù)量的增加而降低。相對(duì)而言，采用PINN進(jìn)行數(shù)值模擬能有效解決這一問(wèn)題。Rao等^[89]提出了一種具有混合變量輸出且不依賴(lài)于訓(xùn)練樣本的PINN方法求解彈性動(dòng)力學(xué)問(wèn)題，該方法將位移和應(yīng)力分量同時(shí)作為網(wǎng)絡(luò)輸出，極大地提高了網(wǎng)絡(luò)模型的可訓(xùn)練性和預(yù)測(cè)結(jié)果的準(zhǔn)確性。

PINN能以較高的效率提供微分方程的無(wú)網(wǎng)格解，但難以有效精準(zhǔn)地解決大規(guī)模、多尺度的問(wèn)題。對(duì)此，Moseley等^[90]以經(jīng)典有限元法為基礎(chǔ)，提出了一種基于有限元和物理神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的深度學(xué)習(xí)方法（finite basis PINN， FBPINN），在每個(gè)子域上將輸入進(jìn)行單獨(dú)的歸一化來(lái)解決神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的譜偏差問(wèn)題，通過(guò)并行分治的方法來(lái)降低基礎(chǔ)優(yōu)化問(wèn)題的復(fù)雜性；數(shù)值模擬結(jié)果表明，該方法的目標(biāo)函數(shù)在訓(xùn)練過(guò)程中能夠較快收斂，且其預(yù)測(cè)結(jié)果的精度較高。陳蘇等^[91]使用物理驅(qū)動(dòng)的深度學(xué)習(xí)方法結(jié)合譜元法形成的稀疏初始波場(chǎng)數(shù)據(jù)對(duì)二維波動(dòng)問(wèn)題進(jìn)行數(shù)值模擬，成功處理了具有自由邊界和復(fù)雜地形的波場(chǎng)計(jì)算。他們改變不同初始條件進(jìn)行數(shù)值模擬檢驗(yàn)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的泛化精度，并提出了一種遷移學(xué)習(xí)策略，該策略可以高精度地預(yù)測(cè)在無(wú)限介質(zhì)中不同源位置的波場(chǎng)。與譜元法數(shù)值模擬結(jié)果對(duì)比，驗(yàn)證了該方法在模擬均質(zhì)介質(zhì)、空間非均勻性以及復(fù)雜地形下的波傳播過(guò)程中具有可靠性。

總體來(lái)說(shuō)，基于PINN的深度學(xué)習(xí)法為地震波場(chǎng)數(shù)值模擬提供了一種新的思路和技術(shù)手段。神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)具備強(qiáng)大的學(xué)習(xí)能力，可以通過(guò)訓(xùn)練來(lái)自動(dòng)調(diào)整模型參數(shù)，適應(yīng)不同的地震事件和地質(zhì)條件。但該方法也存在一些限制。首先，獲取大量的地震數(shù)據(jù)用于訓(xùn)練比較困難，這包括收集地震波場(chǎng)觀測(cè)數(shù)據(jù)和相關(guān)的地質(zhì)參數(shù)。此外，深度學(xué)習(xí)方法對(duì)計(jì)算資源的需求很龐大，需要充足的計(jì)算設(shè)備和存儲(chǔ)空間。還需要對(duì)其參數(shù)進(jìn)行細(xì)致的調(diào)整和優(yōu)化，這通常需要專(zhuān)家具有豐富的專(zhuān)業(yè)知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)。

6"討論

上述五種方法的適用范圍、計(jì)算精度、計(jì)算效率、計(jì)算內(nèi)存、數(shù)值穩(wěn)定性和邊界條件處理能力如表3所示。有限差分法適用于均勻介質(zhì)和常見(jiàn)邊界條件，在求解波動(dòng)方程時(shí)具有較高的穩(wěn)定性，但其計(jì)算效率和精度受網(wǎng)格分辨率和時(shí)間步長(zhǎng)的影響；偽譜法

具有高精度和低內(nèi)存需求的特點(diǎn)

，但計(jì)算效率較低，數(shù)值模擬結(jié)果受空間分辨率影響，在高頻區(qū)域可能不穩(wěn)定

且依賴(lài)于合適的邊界條件；有限元法適合處理復(fù)雜地質(zhì)結(jié)構(gòu)，計(jì)算精度較高，但其計(jì)算效率較低和且內(nèi)存需求較大；譜元法適用于解決高精度地震波傳播模擬問(wèn)題，靈活性較好，但其數(shù)值模擬過(guò)程較為復(fù)雜；基于PINN的深度學(xué)習(xí)法擅長(zhǎng)處理復(fù)雜非線(xiàn)性問(wèn)題，具有自適應(yīng)性，但其訓(xùn)練過(guò)程耗時(shí)高且依賴(lài)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)與參數(shù)調(diào)優(yōu)。

五種方法的優(yōu)點(diǎn)、挑戰(zhàn)和未來(lái)的發(fā)展方向如表4所示。未來(lái)：有限差分法需要發(fā)展新的高精度算法以解決數(shù)值頻散和數(shù)值耗散問(wèn)題，提高模擬精度；偽譜法可以改進(jìn)邊界條件處理方法以增強(qiáng)適用性，并智能調(diào)整網(wǎng)格分辨率來(lái)提高模擬結(jié)果的精度；有限元法著重提高計(jì)算效率，并優(yōu)化計(jì)算資源利用，以適應(yīng)更復(fù)雜的地震波動(dòng)問(wèn)題；譜元法在保證精度的前提下，開(kāi)發(fā)更高效的算法以減少計(jì)算復(fù)雜度，提高計(jì)算效率；基于PINN的深度學(xué)習(xí)法需獲取大量地震數(shù)據(jù)進(jìn)行訓(xùn)練、提升計(jì)算資源，進(jìn)行參數(shù)調(diào)整和優(yōu)化，并結(jié)合最新網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)及訓(xùn)練算法，提高計(jì)算效率以及模擬結(jié)果的準(zhǔn)確性和可靠性。

通過(guò)對(duì)Web of Science核心期刊中地球物理學(xué)領(lǐng)域五種數(shù)值求解方法的年發(fā)表量進(jìn)行深入的統(tǒng)計(jì)分析（圖5），可以得出一些有益結(jié)論：1）有限差分法是五種方法中研究頻率最高的數(shù)值模擬方法，在學(xué)術(shù)界和工業(yè)界得到了廣泛的認(rèn)可和應(yīng)用。這可能是由于有限差分法易于理解且計(jì)算效率較高，在處理復(fù)雜地質(zhì)問(wèn)題時(shí)靈活性和有效性較高。2）有限元法與譜元法的研究頻率緊隨其后。這可能是由于在實(shí)際生產(chǎn)中，數(shù)值求解方法面臨復(fù)雜性和計(jì)算成本的挑戰(zhàn)。有限元法能夠靈活地適應(yīng)復(fù)雜的地形和地質(zhì)邊界條件，譜元法可以實(shí)現(xiàn)對(duì)波動(dòng)方程的高效求解。這些優(yōu)勢(shì)導(dǎo)致它們受到學(xué)者和專(zhuān)家們的持續(xù)關(guān)注，其應(yīng)用和研究頻率逐年增加。3）偽譜法的研究頻率較低，這可能是由于其在解決某些問(wèn)題時(shí)的收斂性和精度存在局限性。盡管如此，偽譜法理論上仍具有較高的模擬精度，其發(fā)展?jié)摿蛻?yīng)用價(jià)值仍值得期待。4）近年來(lái)，隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的飛速發(fā)展，基于PINN的深度學(xué)習(xí)法開(kāi)始嶄露頭角。盡管目前相關(guān)文章的發(fā)行量較少，但其增長(zhǎng)趨勢(shì)表明了該方法在地球物理學(xué)領(lǐng)域的潛力?；赑INN的深度學(xué)習(xí)法有望為地震波動(dòng)方程數(shù)值模擬提供新的視角和解決方法?？傮w來(lái)說(shuō)，這些數(shù)值求解方法在地球物理學(xué)領(lǐng)域都有獨(dú)特的地位和價(jià)值。隨著科技的進(jìn)步和研究需求的不斷變化，它們將會(huì)在這個(gè)領(lǐng)域發(fā)揮越來(lái)越重要的作用。

7"結(jié)論和展望

波動(dòng)方程包含豐富的動(dòng)力學(xué)和運(yùn)動(dòng)學(xué)信息，基于波動(dòng)方程的地震波數(shù)值模擬對(duì)地震資料處理、解釋和地震勘探至關(guān)重要。隨著研究的深入和計(jì)算機(jī)算力的提高，地震波數(shù)值模擬方法在理論上不斷創(chuàng)新，在應(yīng)用上也取得了較多成果，但這些方法也存在著不足之處。如有限差分法雖然易于理解且計(jì)算效率較高，但通常會(huì)產(chǎn)生數(shù)值頻散問(wèn)題，影響模擬精度；偽譜法雖然計(jì)算精度高且內(nèi)存需求低，但在空間分辨率和邊界條件處理上存在一定的限制，且在高頻情況下可能出現(xiàn)振蕩現(xiàn)象，影響結(jié)果的可靠性；有限元法在復(fù)雜地下介質(zhì)中能獲得較高精度的波場(chǎng)模擬結(jié)果，但其計(jì)算量較大，且低階數(shù)值模擬精度較低；譜元法雖然結(jié)合了有限元法和偽譜法的優(yōu)點(diǎn)，能夠較好地處理復(fù)雜介質(zhì)數(shù)值模擬問(wèn)題，但在求解大規(guī)模矩陣特征值時(shí)計(jì)算復(fù)雜度較高，計(jì)算效率較低；基于物理信息神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的深度學(xué)習(xí)法在數(shù)值模擬中具有高效、靈活等優(yōu)點(diǎn)，能夠處理復(fù)雜介質(zhì)的數(shù)值模擬問(wèn)題，但需獲取大量地震數(shù)據(jù)進(jìn)行訓(xùn)練，并需要較高的計(jì)算資源，此外，該方法難以有效地處理振幅較小的數(shù)據(jù)，且其損失函數(shù)的適用性有限，限制了其在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用。

基于上述分析，本文對(duì)地震波動(dòng)方程數(shù)值模擬方法的發(fā)展趨勢(shì)作如下展望：

1）在數(shù)值模擬中使用更為真實(shí)的地層模型和介質(zhì)參數(shù)，以提高模擬精度；2）優(yōu)化邊界條件，更為精確地模擬邊界反射情況；3）結(jié)合多物理場(chǎng)耦合理論，更為真實(shí)地模擬復(fù)雜介質(zhì)中地震波的傳播情況；4）利用并行算法等高效計(jì)算機(jī)技術(shù)，提高數(shù)值模擬的效率；5）更為深入地結(jié)合PINN等神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型，提升數(shù)值模擬的性能。

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