拼圖中的乘法公式

在數(shù)學的廣闊天地里，整式乘法仿佛是一把神奇的鑰匙，輕輕一轉，便能開啟代數(shù)世界那扇充滿奧秘的大門。它不僅是解決復雜數(shù)學難題的基本工具，更是一座橋梁，巧妙地將代數(shù)與幾何、抽象思維與直觀感受緊密相連。試想，如果我們能把這原本單調的數(shù)學運算，轉變?yōu)橐粓錾拾邤?、形狀多樣的拼圖游戲，那將會是一幅多么引人入勝的畫面??！

“拼圖中的乘法公式”正是這樣一場數(shù)學與藝術的浪漫邂逅。在這里，每一個整式都不再是冷冰冰的符號堆砌，而是幻化成一塊塊充滿活力與創(chuàng)意的拼圖碎片。它們有的長，有的短，各具特色，正等待著我們去挖掘它們之間隱藏的奧秘，用智慧與想象將它們拼接起來，共同構建出整式乘法那既奇妙又迷人的世界。現(xiàn)在，就讓我們攜手踏上這段探索之旅，從多個維度去領略整式乘法的獨特魅力吧！

平方差公式再辨析

教材上給出了一種求平方差公式的拼圖方法，我們不妨想一想還有沒有其他的方法。

如圖1，從邊長為a的正方形中挖去一個邊長為b的小正方形后，將其沿虛線裁剪成兩個相同的直角梯形，然后拼成一個長方形。

如圖2，從邊長為a的正方形中挖去一個邊長為b的小正方形后，將其沿虛線裁剪成四個相同的等腰梯形，然后拼成一個平行四邊形。

通過計算拼接前后兩個圖形的面積（陰影部分的面積），可以驗證的乘法公式是_____________。

拓展：你能通過拼圖得到公式（a+2b）（a-2b）=a2-4b2嗎？

完全平方公式再探究

現(xiàn)有A型紙片（邊長為a的正方形），B型紙片（邊長為b的正方形），C型紙片（長為a、寬為b的長方形）若干。

教材上利用這些紙片給出了一種求完全平方公式的拼圖方法，那用這些紙片還能不能驗證其他的公式呢？

（1）觀察圖3、圖4，你能得到什么公式？

（2）你能自己提出一個乘法公式，并運用上面的三種紙片設計相應的拼圖圖案嗎？

（3）觀察圖5，你能得到什么樣的等式呢？試用乘法公式說明這個等式成立。（提示：可以算一算大正方形、中間小正方形、長方形三者面積之間的關系。）

拓展：若不局限于目前已有的紙片種類和數(shù)量，你能通過拼圖得到（a+b+c）2的結果嗎？若不局限于平面圖形（可以是長方體、正方體等立體圖形），你能通過拼圖得到（a+b）3的結果嗎？

乘法公式再生長

在乘法公式的學習中，借助拼圖，我們運用數(shù)形結合的思想在多項式乘法和長方形面積之間建立了聯(lián)系。如圖6，若將邊長為a、b、c的四個直角三角形和一個邊長為c的正方形拼成下圖。試用不同的方法計算這個圖形的面積，你有什么發(fā)現(xiàn)呢？

如果把圖6看成一個大正方形，S大正方形=（a+b）2；

如果把圖6看成一個小正方形和四個小三角形組成，S大正方形=c2+4×[1/2ab]=c2+2ab。

由此得到（a+b）2=c2+2ab。

化簡，得a2+b2=c2。

觀察等式，你能說說直角三角形三邊有什么關系嗎？圖7能不能得到這個等式？

（作者單位：南京師范大學附屬中學樹人學校）