例談“三線合一”的應(yīng)用

“三線合一”是等腰三角形所特有的性質(zhì)，在幾何中有著廣泛的運(yùn)用.下面結(jié)合例題具體介紹.

一、求角度

例1 如圖1，在△ABC中，AB = AC，∠BAC與∠ACB的平分線相交于D，∠ADC = 130°，那么∠CAB的大小是（ ）.

A. 80° B. 50°

C. 40° D. 20°

思路分析：因?yàn)锳B = AC，AD是∠BAC的平分線，根據(jù)等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)，得AD也是BC上的高.延長AD交BC于點(diǎn)E，因?yàn)椤螦DC = 130°，所以∠EDC = 50°，則∠DCE = 40°，又因?yàn)镃D是∠ACB的平分線，所以∠ACE = 80°，∠EAC = 10°，從而可得∠CAB = 20°，故選D.

方法小結(jié)：當(dāng)題目中明確給出等腰三角形以及底邊上的中線、高、角平分線中的一條時(shí)，直接運(yùn)用“三線合一”的性質(zhì)得出另外兩條線的身份，再結(jié)合等腰三角形的其他性質(zhì)（如兩底角相等）以及三角形的基本性質(zhì)（如內(nèi)角和為180°）求解.

二、求線段關(guān)系

例2 在△ABC中，AB = AC，D，E在BC上，AD = AE，求證：BD = CE.

思路分析：如圖2，在△ABC中，AB = AC；在△ADE中，AD = AE. 由此聯(lián)想到等腰三角形的“三線合一”，過點(diǎn)A作出這兩個(gè)等腰三角形的高（或頂角的平分線、底邊上的中線），則問題迎刃而解.

如圖2，過點(diǎn)A作AF ⊥ BC于F.

在△ABC中，∵AB = AC，∴BF = CF.

在△ADE中，∵AD = AE，∴DF = EF.

∴BF - DF = CF - EF，即BD = CE.

方法小結(jié)：如果題目中直接給出等腰三角形，可構(gòu)造等腰三角形底邊上的中線（或底邊上的高、頂角的平分線），利用“三線合一”的性質(zhì)及等腰三角形的性質(zhì)解決問題.

例3 如圖3，在△ABC中，AD ⊥ BC于D，且∠ABC = 2∠C.試說明：CD = AB + BD.

思路分析：證明線段和差的常用思路是“截長補(bǔ)短”，因而本題有兩種方法.

方法一：以A為圓心、AB長為半徑畫弧，交CD于點(diǎn)E，連接AE，只要證明DE = DB，CE = AE即可.

方法二：以A為圓心、AC長為半徑畫弧，交DB的延長線于點(diǎn)E，連接AE，只要證明DE = DC，BE = AB即可.

以方法一為例：如圖3，以A為圓心、AB長為半徑畫弧，交CD于點(diǎn)E，連接AE，則∠AEB = ∠ABC.

∵AE = AB，AD ⊥ BC，∴AD是BE的中線，即DE = BD.

∵∠ABC = 2∠C，∴∠AEB = 2∠C.

∵∠AEB = ∠CAE + ∠C，∴∠CAE = ∠C，

∴CE = AE = AB，∴CD = AB + BD.

方法小結(jié)：當(dāng)題目中給出的條件看似與等腰三角形“三線合一”性質(zhì)不直接相關(guān)時(shí)，可以對(duì)條件進(jìn)行變形，從而使用“三線合一”的性質(zhì).一般方法是根據(jù)已知條件（如角平分線），在合適的線段上截取一段等于已知線段，構(gòu)造全等三角形得到等腰三角形，然后運(yùn)用等腰三角形的性質(zhì)進(jìn)行進(jìn)一步的推理和計(jì)算.

拓展延伸

例4 只借助一把尺子，可以將一個(gè)直角三等分.操作過程如下：第一步，先把矩形紙對(duì)折，設(shè)折痕為MN（如圖4）；第二步，再把B點(diǎn)疊在折痕MN上，折痕為AE，點(diǎn)B在MN上對(duì)應(yīng)點(diǎn)為H，得Rt△AHE；第三步，延長EH交AD于點(diǎn)F，且EH = HF（如圖5）.此時(shí)AE，AH就是直角∠BAD的三等分線.請(qǐng)你說明理由.

思路分析：由折疊過程知，Rt△AHE和Rt△ABE是軸對(duì)稱圖形，所以∠BAE = ∠EAH.而AH ⊥ EF，且EH = HF，所以AH是線段EF的垂直平分線，所以AE = AF，所以△AEF是等腰三角形，而等腰三角形底邊上的中線、高線和頂角平分線“三線合一”，所以AH平分∠EAF，故可得到∠BAE = ∠EAH = ∠HAF.

方法小結(jié)：在實(shí)際應(yīng)用中，要仔細(xì)審題，判斷題目是否涉及等腰三角形或者是否可以通過某種方式構(gòu)造出等腰三角形.若題中直接給出等腰三角形，則要關(guān)注給出的是底邊上的中線、高還是頂角平分線，確定可以直接運(yùn)用“三線合一”的哪些結(jié)論；若沒有直接給出等腰三角形，則要考慮利用已知條件（如2倍角等）構(gòu)造等腰三角形，再運(yùn)用“三線合一”的性質(zhì).

分層作業(yè)

難度系數(shù)：★★★ 解題時(shí)間：6分鐘

1 如圖6，在△ABC中，AB = AC = 10，BC = 12，點(diǎn)M為BC中點(diǎn)，MN ⊥ AC于點(diǎn)N，則MN = .

2. 在△ABC中，AB = AC，O是△ABC內(nèi)的一點(diǎn)，且OB = OC．試說明：AO ⊥ BC．

難度系數(shù)：★★★★ 解題時(shí)間：4分鐘

3. 在△ABC中，已知∠B = 2∠A，AB = 2CB.試說明：△ABC是直角三角形．

（答案見本頁）

（作者單位：江蘇省泰州市孔橋初級(jí)中學(xué)）

第33頁：1. [--x]

2. 2025

3. x + 6

4. 3.提示：[30-x+9-x] × [30-x-9-x] = [30-x2] - [9-x2] = 21.

5. 原式 = [x+yxy=4].

第39頁：1. 4.8

2. 提示：證明△ABO ≌ △ACO（SSS），得到 ∠BAD = ∠CAD，進(jìn)而得到AO [⊥] BC.

3. 提示：作 ∠B的平分線BD，取AB的中點(diǎn)E，連接DE，證明△DEB ≌" " " " "△DCB，結(jié)合三角形內(nèi)角和定理即可證明.

第41頁：1.（1）焚燒1噸垃圾，A焚燒爐發(fā)電300千瓦時(shí)，B焚燒爐發(fā)電250千瓦時(shí)；

（2）a的最小值為11．

2.（1）線下銷售y與x之間的函數(shù)解析式為y = 4x，線上銷售y與x之間的函數(shù)解析式為y = [4.5x（0≤x≤6） ，3x+9（xgt;6）.]

（2）當(dāng)購買9千克產(chǎn)品時(shí)，線上線下都花費(fèi)36元；

（3）線上購買更省錢．