波利亞解題思想和圍棋手割理論在高考解答題中的分析探究

摘要：探討波利亞解題思想與圍棋手割理論在高考數(shù)學(xué)解答題中的應(yīng)用，并以2024年新課標(biāo)Ⅰ卷為例，分析這兩種理論如何共同指導(dǎo)學(xué)生在解答數(shù)學(xué)題目時提升思維效率和解題準(zhǔn)確性.通過理論分析與實(shí)例解讀，文章展示了這兩種理論在數(shù)學(xué)解題中的融合應(yīng)用及其對學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的積極影響.

關(guān)鍵詞：波利亞解題思想；圍棋手割理論；高考數(shù)學(xué)；新課標(biāo)Ⅰ卷

中圖分類號：G632文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A文章編號：1008-0333（2025）07-0061-04

收稿日期：2024-12-05

作者簡介：劉曄，碩士研究生，從事數(shù)學(xué)教學(xué)研究;

陳維，博士，從事概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)研究.

隨著教育改革的不斷深入，高考數(shù)學(xué)試題愈發(fā)注重考查學(xué)生的思維能力、邏輯推理能力和問題解決能力［1］.在這樣的背景下，波利亞解題思想與圍棋手割理論為高考數(shù)學(xué)教學(xué)及學(xué)生解題提供了有益的啟示.波利亞解題思想強(qiáng)調(diào)解題過程的系統(tǒng)性和邏輯性，而圍棋手割理論則提供了一種獨(dú)特的分析視角和策略優(yōu)化方法.本文將探討這兩種理論在高考數(shù)學(xué)解答題中的應(yīng)用，并以2024年新課標(biāo)Ⅰ卷為例進(jìn)行深入分析.

1波利亞解題思想簡介

波利亞認(rèn)為，解題活動并非僅僅是一個邏輯推理的過程，更是一個包含了理解、探索、轉(zhuǎn)化、反思等多個環(huán)節(jié)的綜合活動.他強(qiáng)調(diào)，解題的首要任務(wù)是理解題目，找出題目的條件和目標(biāo)，然后嘗試將問題轉(zhuǎn)化為運(yùn)用已知的知識或方法能夠解決的形式.在解題過程中，波利亞提倡使用“啟發(fā)法”來引導(dǎo)學(xué)生自主思考，鼓勵學(xué)生嘗試不同的方法和策略，從而培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維和解決問題的能力.

波利亞解題思想[2]的一般步驟：波利亞在《HowtoSolveit》中提出解題的一般過程分為：理解題目—制定計(jì)劃—執(zhí)行計(jì)劃—回顧.

理解題目：要求什么？已知什么？條件是什么？

制定計(jì)劃：以前見過類似的題目嗎？知道一道與它相關(guān)的題目嗎？找出已知數(shù)據(jù)與未知量之間的聯(lián)系，制定解題計(jì)劃.

執(zhí)行計(jì)劃：能清楚地看清每個步驟是正確的嗎？能否證明它是正確的？執(zhí)行解題方案，檢查每一個步驟.

回顧：能檢查這個結(jié)果嗎？能檢驗(yàn)這個論證嗎？用到所有已知數(shù)據(jù)了嗎？在其他題目中能利用這種結(jié)果或方法嗎？檢查已經(jīng)得到的解答.

2圍棋中的“手割理論”內(nèi)涵

圍棋中的手割理論，是圍棋中的一種重要理論，它強(qiáng)調(diào)在圍棋對弈中，要時刻關(guān)注局部的得失，通過精準(zhǔn)地計(jì)算和判斷，選擇最優(yōu)的方法來保持或擴(kuò)大自己的優(yōu)勢.這種理論在數(shù)學(xué)解題中同樣具有指導(dǎo)意義.

“手割分析法”是首先確定需要分析的局部棋形，然后拿掉一些黑子和白子以便更直觀分析局勢.在數(shù)學(xué)解答題中，也是要先理解分析問題，知道要求什么？已知什么？已知和未知怎樣能建立聯(lián)系？要抓住問題的主要部分，將數(shù)學(xué)問題簡化.“手割法”會改變行棋順序，改變行棋布局，以便分析棋子得失，尋找最優(yōu)布局.在數(shù)學(xué)解題中，當(dāng)一道題有多種解法，或者有多個公式可以求解未知量時，可以根據(jù)要求的未知量和題目中給的已知條件進(jìn)行分析，看看用哪個方法或哪個公式計(jì)算更高效，能迅速求出未知量.同時“手割分析法”還可以改變數(shù)學(xué)問題的推理順序，從未知量出發(fā)，抓住未知量，從后往前來逆推，尋找已知量和未知量之間的關(guān)系，從而尋找解題策略.

3基于波利亞解題思想與“手割分析法”的解題流程圖將波利亞解題思想和“手割分析法”結(jié)合，在破解高考解答題時，不僅可以提供完整的解題思路，還能夠迅速找到正確答案，從而為高考解答題提供了新的思路和方法.具體過程如圖1所示.

理解題目，學(xué)生通過讀題，要找出要求什么？已知量是什么？條件是什么？通過“手割分析法”抓住問題的主要部分，抓住關(guān)鍵點(diǎn)，從主要問題出發(fā).

制定計(jì)劃，尋找有用的思路.從考慮題目的主要部分開始.要從不同的方面來考慮題目，并且尋找與頭腦之中的知識的聯(lián)系.尋找與所學(xué)知識之間的聯(lián)系，想想過去類似情況是怎么處理的？過去類似的題目是怎么解出來的？要求的量可以直接由已知量求出來嗎？如果不能，已知量和未知量之間有什么關(guān)系呢？如何建立他們之間的關(guān)系呢？以前遇到過類似的題目嗎[3]？之前是怎么解出來的？

解題的思路和方法有很多，要選擇哪一個方法能迅速解出未知量呢？用“手割分析法”進(jìn)行分析，看看用哪個方法或者哪個公式能更快更簡便地求出未知量.

執(zhí)行計(jì)劃.從獲得解答的思路開始，已經(jīng)掌握了主要聯(lián)系，并能補(bǔ)充出一些次要細(xì)節(jié)時，就可以開始執(zhí)行計(jì)劃了.

回顧.從解答開始，看每一個細(xì)節(jié)是否是完整而正確的.從不同的方面來考慮解答，并尋找與過去所獲得知識之間的聯(lián)系.

4以新課標(biāo)Ⅰ卷為例的解題過程剖析

4.1解三角函數(shù)類問題

例1記△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知sinC=2cosB，且a2+b2-c2=2ab.

（1）求B;

（2）若△ABC的面積為3+3，求c.

理解題目：解決這個問題的第一步是先集中到目標(biāo)上，觀察未知量，盯住目標(biāo).

“要求的是什么？”

“求角B.”

“已知數(shù)據(jù)是什么？”

“sinC=2cosB，a2+b2-c2=2ab.”

“條件是什么？”

“三個內(nèi)角A，B，C，對應(yīng)邊分別為a，b，c.”

制定計(jì)劃：用已知量可以直接解出未知量嗎？已知量和未知量之間有什么聯(lián)系？

已知量不能直接解出未知量；二者之間的聯(lián)系有正弦定理、余弦定理；那么，到底是用正弦定理還是余弦定理呢？這兩個已知條件先用哪一個呢？這個時候就要用到局部“手割分析法”了.如果用正弦定理，看看滿不滿足正弦定理的條件，顯然是不滿足的，無法用正弦定理解出未知量.再看看用余弦定理呢？根據(jù)a2+b2-c2=2ab這個條件，就可以求出cosC，進(jìn)而求出sinC，然后再根據(jù)sinC=2cosB，就能求出角B了.

執(zhí)行計(jì)劃：具體解題過程如下：

解析根據(jù)余弦定理有：c2=a2+b2-2abcosC.

已知c2=a2+b2-2ab，

所以2abcosC=2ab.

解得cosC=22，sinC=22.

根據(jù)sinC=2cosB，解得B=π3.

回顧：檢驗(yàn)這個計(jì)算結(jié)果.

在這道題中，解題思路是按照波利亞的解題思想，在制定計(jì)劃的時候，解題思路和可用到的計(jì)算公式會有多種，到底用哪一種能快速求出未知量呢？這就要用到“手割分析法”了，分析題目中的已知量和要求的未知量，然后考慮用哪個公式能快速求出未知量，“手割分析法”能幫助判斷用哪種方法最行之有效.

再來看第二問，已知三角形的面積，求邊長c.一般常規(guī)的解題思路是從已知量出發(fā)，思考已知量是什么？這些東西對求未知量有什么作用？怎樣才能用上這些已知量？從這些已知量你能推出什么？根據(jù)已知量，可以求出哪些未知量，然后再看看能不能求出題目中要求的未知量.

先來看看常規(guī)做法：

解析由（1）知B=π3，C=π4.

故A=5π12，sinA=2+64.

根據(jù)正弦定理，得b3/2=c2/2=a（2+6）/4，

解得b=62c，a=1+32c.

代入a2+b2-c2=2ab，解得c=22.

根據(jù)正弦定理求出三邊的關(guān)系，再根據(jù)余弦定理求出邊長.缺點(diǎn)是計(jì)算量太大，容易出錯，而且題目中給了一個已知條件面積沒用上.可以反思：把全部條件都考慮進(jìn)去了嗎？把所有的已知量都用上了嗎？把全部假設(shè)都考慮進(jìn)去了嗎？

可以發(fā)現(xiàn)常規(guī)做法是從前往后推，可以從已知量中導(dǎo)出很多量，但是這些量可能沒有任何用處，也許不能由它得出我們要求的未知量.再來看看用波利亞解題思想來解題：

理解題目：要求什么？已知什么？盯住未知量，未知量是什么？

制定計(jì)劃：怎樣才能求出這個未知量？怎樣才能求出這種類型的未知量？根據(jù)哪些已知量才能確定這個未知量？解過這種類型的未知量的一個題目嗎？回到這個題目，根據(jù)三角形的面積能直接求出三角形的邊長嗎？三角形面積和邊長之間能建立什么聯(lián)系呢？

S=12底×高=12absinC=12bcsinA=12acsinB.

到底應(yīng)該用哪個公式呢？這就要用到“手割分析法”進(jìn)行局部分析了，第一個面積公式要先求出三角形的一條高，第二個面積公式根據(jù)三角形的三邊關(guān)系和正弦值可以列算式直接解出c.根據(jù)“手割分析法”得知用第二個面積公式更高效便捷，能更快地求出未知量.

這也符合波利亞提出的擇優(yōu)原則：如果一個問題有兩種途徑去解它，他們在其他方面都差不多，但其中有一個看上去比另一個要容易些，那么自然要先去試那條容易的.

執(zhí)行計(jì)劃：具體過程如下：

解析S=12absinC=12acsinB=12bcsinA，

所以bsinC=csinB.

所以2b2=3c2.解得b=62c.

已知S=12bcsinA，A=5π12，解得sinA=2+64.

所以c=22.

回顧：檢驗(yàn)結(jié)果.

4.2圓錐曲線類問題

例2已知點(diǎn)A（0，3）和點(diǎn)P（3，32）分別為橢圓C：x2a2+y2b2=1（agt;bgt;0）上的兩點(diǎn)，

（1）求C的離心率；

（2）若過點(diǎn)P的直線l交C于另一點(diǎn)B，且ΔABP的面積為9，求l的方程.

解析設(shè)橢圓方程為x2a2+y2b2=1，過點(diǎn)（0，3）和（3，32），代入解得橢圓方程為x212+y29=1.

故離心率為e=ca=12.

第一問比較簡單，代入數(shù)值即可.主要看第二問，求直線的方程.

理解題目：要求什么？已知什么？

要求直線的方程，已知橢圓的方程，兩點(diǎn)坐標(biāo)，圍成三角形的面積.

制定計(jì)劃：未知量可以直接求出來嗎？已知量和未知量之間有什么關(guān)系？怎樣才能求出這個未知量？根據(jù)哪些已知量就能求出這個未知量？

若未知直線的方程不能直接求出來，可以通過畫圖，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想來分析它們的關(guān)系.

觀察圖2可以看出，B是一個動點(diǎn)，故PB可以垂直于x軸，也可以平行于x軸，可以先討論這兩種情況，看圍成的三角形面積是否等于9.

當(dāng)PB⊥x軸時，斜率不存在，此時面積為

S=12|PB|·|xP-xA|=12×3×3=92，

不符合題意，故斜率存在.

同理可得當(dāng)PB∥x軸時，S=12×6×32=92，也不符合題意，故斜率不等于零.

當(dāng)斜率存在且不等于零時，設(shè)l方程為y-32=k（x-3），根據(jù)y-32=k（x-3）和x212+y29=1，得

（4k2+3）x2+12（k-2k2）x+36（k2-k）-27=0.

由韋達(dá)定理，得xp·xB=36（k2-k）-274k2+3.

又因?yàn)閤p=3，所以xB=12（k2-k）-94k2+3.

又因?yàn)锽P與y軸交點(diǎn)（0，-3k+32），所以

S△ABP=12·|32+3k|·|xp-xB|

=12·|32+3k||3-12（k2-k）-94k2+3|=9，

解得k=12或32.

所以l的方程為y=12x或3x-2y-6=0.

執(zhí)行計(jì)劃：按照上述分析過程進(jìn)行計(jì)算.

回顧：檢查結(jié)果，把求出來的未知量代入方程，看看求解是否正確.

5結(jié)束語

波利亞解題思想與圍棋手割理論在高考數(shù)學(xué)解答題中的應(yīng)用，為學(xué)生提供了更加系統(tǒng)和高效的解題策略.通過理解題目、制定計(jì)劃、執(zhí)行計(jì)劃和回顧這四個步驟，可以更加清晰地把握解題方向，提高解題效率.同時，圍棋手割理論的引入，有助于在解題過程中剔除冗余條件，聚焦關(guān)鍵信息，從而更準(zhǔn)確地找到解題突破口.未來，可以進(jìn)一步探索這兩種理論在其他數(shù)學(xué)題型中的應(yīng)用，以推動數(shù)學(xué)教育的創(chuàng)新與發(fā)展.

參考文獻(xiàn)：

［1］ 教育部教育考試院.2024年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試大綱（數(shù)學(xué)）［M］.北京：高等教育出版社，2024.

［2］ G·波利亞.怎樣解題［M］.涂泓，馮承大，譯.上海：上?？萍冀逃霭嫔?，2011.

［3］ 張奠宙，過伯祥.數(shù)學(xué)方法論稿[M].上海：上海教育出版社，2012.

［責(zé)任編輯：李慧嬌］