圓錐曲線解題的新視角

摘要：通過詳細分析極點極線的幾何意義及其在高考和競賽題中的具體應(yīng)用，以及齊次化策略在簡化計算、提升解題效率方面的優(yōu)勢，為高中數(shù)學(xué)教師和學(xué)生提供一種全新的解題思路和方法.

關(guān)鍵詞：圓錐曲線；極點極線；齊次化

中圖分類號：G632文獻標識碼：A文章編號：1008-0333（2025）07-0049-04

收稿日期：2024-12-05

作者簡介：王振岳，本科在讀，從事中學(xué)數(shù)學(xué)圓錐曲線研究.

極點極線作為射影幾何中的內(nèi)容，屬于圓錐曲線的基本特征之一，也是近年來高考命題的知識方向.學(xué)生如果掌握了極點極線的相關(guān)知識，就可以從“高觀點下”看待圓錐曲線的相關(guān)內(nèi)容，進而有助于學(xué)生提高解題效率，更容易抓住問題本質(zhì)[1].同時，齊次化策略作為一種有效的數(shù)學(xué)工具，在圓錐曲線解題中也展現(xiàn)出了獨特的優(yōu)勢.齊次化處理可以使題目中的各項次數(shù)相等，從而簡化計算過程，提高解題速度，特別是在處理涉及斜率之積或斜率之和的圓錐曲線問題時，齊次化策略更是能夠發(fā)揮出巨大的作用[2].

1極點極線的解題應(yīng)用

1.1二次曲線的極點極線

（1）二次曲線Ax2+By2+Cxy+Dx+Ey+F=0極點P（x0，y0）對應(yīng)的極線為Ax0x+By0y+Cx0y+y0x2+Dx0+x2+Ey0+y2+F=0，

x2→x0x，y2→y0y，xy→x0y+y0x2，x→x0+x2，y→y0+y2（半代半不代）.

（2）圓錐曲線的三類極點極線（以橢圓為例）：橢圓方程x2a2+y2b2=1，

①如圖1，極點P（x0，y0）在橢圓外，PA，PB為橢圓的切線，切點為A，B，則極線為切點弦AB：x0xa2+y0yb2=1；

②如圖2，極點P（x0，y0）在橢圓上，過點P作橢圓的切線l，則極線為切線l：x0xa2+y0yb2=1；

③如圖3，極點P（x0，y0）在橢圓內(nèi)，過點P作橢圓的弦AB，分別過A，B作橢圓切線，則切線交點軌跡為極線x0xa2+y0yb2=1.

（3）圓錐曲線的焦點為極點，對應(yīng)準線為極線.

1.2斜率成等差模型

如圖4，已知橢圓E：x2a2+y2b2=1（agt;bgt;0），點P（m，0），直線l過點P（極點）且與橢圓交于不同的兩點A，B，與直線x=a2m（極線）交于點M，顯然A，P，B，M四點形成調(diào)和點列.

（1）若點N為直線x=m上任意一點，則kAN+kBN=2kMN；

（2）若點Q為直線x=a2m上任意一點，則kAQ+kBQ=2kPQ；

（3）如圖5，若點P（0，m），直線l過點P（極點）且與橢圓交于不同的兩點A，B，Q為直線y=a2m上一點，則1kAQ+1kBQ=2kPQ.

1.3調(diào)和線束，平行截中點

調(diào)和線束：如圖6，若A，C，B，D構(gòu)成調(diào)和點列，O為直線AB外任意一點，則直線OA，OC，OB，OD稱為調(diào)和線束.若另一直線截調(diào)和線束，則截得的四點A′，C′，B′，D′仍構(gòu)成調(diào)和點列.

調(diào)和線束，平行截中點性質(zhì)：與調(diào)和線束的一條直線平行的直線截另外三條直線，其中一個交點為另外兩個交點的中點.

如圖7，過點P的線束l1，l2，l3，l4，以下3個條件若其中2個成立則能得出第三個：

（1）l5與l4平行；

（2）AM＝BM；

（3）l1，l2，l3，l4為調(diào)和線束.

調(diào)和線束斜率關(guān)系補充：對于一組調(diào)和線束l1，l2，l3，l4，記斜率分別為k1，k2，k3，k4，則2（k1k3+k2k4）=（k1+k3）（k2+k4）.

（1）若其一為0，則余者倒數(shù)為等差數(shù)列（調(diào)和平均）；

（2）若其一不存在（＝∞），則余者為等差數(shù)列（算術(shù)平均）；

（3）若“一對兒”為0和不存在，則另一對兒互為相反數(shù)；

（4）若“兩條，非一對兒”為0和不存在，則余者為二倍關(guān)系.

1.4例題解析

例1如圖8，已知橢圓C：y2a2+x2b2=1（agt;bgt;0）的離心率是53，點A（-2，0）在C上.

（1）求C的方程；

（2）過點（-2，3）的直線交C于P，Q兩點，直線AP，AQ與y軸的交點分別為M，N，證明：線段MN的中點為定點.

解析（1）由題意，得ca=53，

b=2，

a2+b2=c2.

解得a=3，

b=2，

c=5.

所以橢圓C的方程為y29+x24=1.

（2）記B（-2，3），點B的極線y3-x2=1過點A，設(shè)極線與PQ交于點D，則B，P，D，Q為調(diào)和點列，AB，AP，AD，AQ為調(diào)和線束，而AB平行y軸，故MN的中點為y軸與極線的交點（0，3）.

我們發(fā)現(xiàn)，利用極點極線的知識可以迅速判斷出答案，然而，這是超綱知識的應(yīng)用，也無法書寫過程，所以無法在考場上使用.齊次化與極點極線各有利弊：齊次化有過程、有邏輯，但適用范圍窄且不易挖掘.極點極線可快速挖掘出對應(yīng)關(guān)系并解出答案但沒有書寫根據(jù)[3].但是，我們注意到極點極線所能挖掘出來的恰好是齊次化所需要的斜率關(guān)系，那么我們能否根據(jù)極點極線與斜率的關(guān)系進行快速挖掘，再使用齊次化來書寫過程以實現(xiàn)題目的解答呢？

依舊以這道題為例我們來分析：

過點B引出直線交橢圓于P，Q兩點，再寫出點B所對應(yīng)的極線y3-x2=1，極線過點A，設(shè)極線與PQ交于點D，則B，P，D，Q為調(diào)和點列，AB，AP，AD，AQ為調(diào)和線束，剩下三條直線斜率成等差數(shù)列，即kAP+kAQ=2kAD.

之后再用齊次化進行證明，最后嘗試用所得斜率關(guān)系去解答題目.

2齊次化方法的應(yīng)用

2.1定義

通過對直線變形，采取“1”的巧用，一般二次方程不變，一次方項直接乘以“1”，常數(shù)項乘以“1”的平方，從而構(gòu)建關(guān)于x，y的二元二次的齊次方程，再兩邊同時除以x2，得到一個一元二次方程，其根是以原點與曲線上的點連線的斜率k，再借助韋達定理使得問題運算得到簡化，我們把這種操作手法稱之為“齊次化”.齊次化作為圓錐曲線中一種極為巧妙的運算方法，通過巧設(shè)直線，妙聯(lián)立實現(xiàn)運算的化簡，邏輯清晰簡潔，其應(yīng)用原理有韋達定理，直線方程的設(shè)法等［4］.

2.2例題解析

例2已知橢圓C：x2a2+y2b2=1（agt;bgt;0），四點P1（1，1），P2（0，1），P3（-1，32），P4（1，32）中恰有三點在橢圓C上.

（1）求C的方程；

（2）設(shè)直線l不經(jīng)過點P2且與C相交于A，B兩點，若直線P2A與直線P2B的斜率的和為-1，證明l過定點.

解析（1）根據(jù)橢圓的對稱性，P3（-1，32），P4（1，32）兩點必在橢圓C上.

又P4的橫坐標為1，所以橢圓必不過P1（1，1）.

所以P2（0，1），P3（-1，32），P4（1，32）三點在橢圓C上.

把P2（0，1），P3（-1，32），代入橢圓C，

得1b2=1，

1a2+34b2=1，

解得a2=4，b2=1.

所以橢圓C的方程為x24+y2=1.

（2）設(shè)AB：mx+n（y-1）=1（直線不經(jīng)過點P2），C：x24+［（y-1）+1］2=1，（根據(jù)直線方程改寫橢圓方程）

即x2+4（y-1）2+4+8（y-1）=4.

即x2+4（y-1）2+8（y-1）[mx+n（y-1）]=0.

即x2+（4+8n）（y-1）2+8mx（y-1）=0.

同時除以x，構(gòu)造出以斜率為自變量的一元二次方程，

（4+8n）（y-1x）2+8m（y-1）x+1=0（x≠0）.

由題知

k1+k2=8m8n+4=-1.

所以8m=8n+4.

所以2m-2n=1.

所以mx+n（y-1）=1恒過（2，-1）.

綜合以上題目，我們發(fā)現(xiàn)齊次化不管是解決直線方程的求解或者是定點問題還是證明類問題，其共同點為題目當中給出斜率條件.那么如果題目沒有給出斜率條件，還能否運用此方法呢？

3結(jié)束語

在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，圓錐曲線問題常常讓學(xué)生們感到棘手.文章獨辟蹊徑，深入剖析了圓錐曲線解題的新視角——應(yīng)用極點極線和齊次化策略，為解決這類問題提供新思想.通過全面且細致的理論闡述與實例分析，展示了這兩種策略在簡化圓錐曲線問題求解過程、提升解題效率方面的顯著優(yōu)勢，將復(fù)雜的圓錐曲線問題轉(zhuǎn)化為更易于處理的形式，極大地減輕了學(xué)生的計算負擔，幫助學(xué)生更輕松地攻克圓錐曲線難題.

參考文獻：

［1］ 向波，陳邕.極點極線視角下一類圓錐曲線試題的命制與分析[J].教學(xué)考試，2024（38）：49-52.

[2] 吳文忠.齊次化方法在圓錐曲線中的應(yīng)用舉例[J].中學(xué)數(shù)學(xué)，2024（15）：103-105.

[3] 曾曉麗.極點極線視域下圓錐曲線試題的應(yīng)用探索[J].中學(xué)數(shù)學(xué)研究（華南師范大學(xué)版），2023（23）：42-44.

［4］ 李清華.齊次化方法在圓錐曲線問題中的應(yīng)用探究［J］.數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究，2023（34）：113-115.

［責任編輯：李慧嬌］