無窮小和無窮大在放縮取點中的作用

摘要：在利用零點存在性定理取點時有時會采用放縮法，但是在眾多不等式放縮中如何選取恰當?shù)暮瘮?shù)是值得深思的，文章結合高等數(shù)學中無窮大量和無窮小量對其進行解釋.

關鍵詞：零點存在性定理；放縮法；無窮大量；無窮小量

中圖分類號：G632文獻標識碼：A文章編號：1008-0333（2025）07-0045-04

收稿日期：2024-12-05

作者簡介：韓淑敏，本科，二級教師，從事高中數(shù)學教學研究.

在解決導數(shù)零點這類問題時，若需結合零點存在性定理來說明，此時可采用放縮法將指對函數(shù)變?yōu)橐淮巍⒍蔚缺阌谇罅泓c的簡單初等函數(shù).但在放縮時如何選取函數(shù)才能不至于放縮得過小或者過大呢？仔細探究會發(fā)現(xiàn)其本質內涵與高等數(shù)學中無窮大量和無窮小量有著千絲萬縷的聯(lián)系.1無窮小量和無窮大量的理解

1.1定義

無窮小量和無窮大量是一類特殊的函數(shù)，在高等數(shù)學中對其進行了如下嚴格的定義：

定義1如果函數(shù)f（x）滿足limx→x0f（x）=0（或limx→∞f（x）=0），則稱函數(shù)f（x）為當x→x0（或x→∞）時的無窮小.

定義2如果函數(shù)f（x）滿足limx→x0f（x）=∞（或limx→∞f（x）=∞），則稱函數(shù)f（x）為當x→x0（或x→∞）時的無窮大.

1.2比較及意義的理解

將兩個無窮?。ù螅┝孔魃虡嬙煨潞瘮?shù)，根據(jù)其極限的不同，可分為高階無窮?。ù螅⒌碗A無窮?。ù螅┖屯A無窮?。ù螅?，這些量也反映了無窮?。ù螅┝康淖兓炻潭?

定義3[1]已知函數(shù)f（x）與g（x）是同一過程中的無窮小，且g（x）≠0.若limx→Δf（x）g（x）=α，其中Δ指代x0或∞.

（1）如果α=0，則稱f（x）是g（x）的高階無窮小.

（2）如果α=∞，則稱f（x）是g（x）的低階無窮小.

（3）如果α≠0且α≠∞，則稱f（x）是g（x）的同階無窮小.

定義4已知函數(shù)f（x）與g（x）是同一過程中的無窮大，且g（x）≠0.若limx→Δf（x）g（x）=α，其中Δ指代x0或∞.

（1）如果α=0，則稱f（x）是g（x）的低階無窮大.

（2）如果α=∞，則稱f（x）是g（x）的高階無窮大.

（3）如果α≠0且α≠∞，則稱f（x）是g（x）的同階無窮大.

f（x）是g（x）的高階無窮?。ù螅┢湟饬x是在當x到x0（或∞）的變化過程中從某個時刻以后f（x）比g（x）更接近于0（或∞）；

f（x）是g（x）的同階無窮?。ù螅┢湟饬x是在當x到x0（或∞）的變化過程中從某個時刻以后f（x）與g（x）接近于0（或∞）的程度相仿[2]，由洛必達法則可知，其之比的極限等于兩個函數(shù)的導函數(shù)的極限.

比如：limx→+∞lnxx=limx→+∞2x=0，故y=lnx是y=x的低階無窮大；limx→+∞exx2=limx→+∞ex2x=limx→+∞ex2=+∞，故y=ex是y=x2的高階無窮大.

2提出問題

當函數(shù)在區(qū)間（a，b）上有零點時可以利用零點存在性定理來說明其存在性，但問題在于滿足條件的a和b有時較難探尋，其關鍵問題在于f（x）gt;0（或lt;0）此超越不等式較難求解［3］.

例1已知函數(shù)f（x）=lnx-ax（0lt;alt;1e），求證f（x）存在兩個零點.

分析通過求導分析得f（x）在（0，1a）上單調遞增，在（1a，+∞）上單調遞減.

因f（x）max=f（1a）=ln1a-1gt;0，

且當x→0+或x→+∞時，f（x）→-∞，

故由零點存在性定理可知f（x）在（0，1a）和（1a，+∞）上分別存在一個零點.

因1agt;1且f（1）=-alt;0，可知f（x）在（1，1a）上存在一個零點，但xgt;1時lnx和ax均為正數(shù)，無法直接找出符合題意的x使f（x）=lnx-axlt;0.

3問題探究

問題1如何找出符合題意的x使f（x）=lnx-axlt;0？

此問題的關鍵在于lnx-axlt;0這個超越不等式的求解較難，那么什么樣的不等式容易求解呢？比如，一次不等式、二次不等式、簡單的指數(shù)不等式和對數(shù)不等式，那么是否可以通過放縮將超越不等式lnxlt;ax轉化為一次或二次不等式呢？由于limx→+∞lnx=+∞，limx→+∞ax=+∞，且當x達到一定程度后會實現(xiàn)lnxlt;ax，可考慮借助插入簡單初等函數(shù)φ（x）使得當x→+∞時lnxlt;φ（x）lt;ax，從而通過解決φ（x）lt;ax即可實現(xiàn)目標.

問題2什么樣的函數(shù)φ（x）是符合題意且φ（x）lt;ax不等式容易求解？

把握好放縮的尺度尤為關鍵.若放得過大或縮得過小則可能無法實現(xiàn)我們的目的;若x→+∞時φ（x）gt;ax則為放縮過度，則不可實現(xiàn)目標.如何才能放縮得恰到好處呢，為此我們進行了兩個嘗試.

嘗試1取切線放縮φ（x）=x-1，滿足了lnx≤x-1，則

f（x）=lnx-ax≤x-1-axlt;0.

得xlt;11-a.

但因（0，11-a）∩（1a，+∞）=，則f（x）=lnx-axlt;x-1-axgt;0在（1a，+∞）上恒成立.

即當x→+∞時axgt;x-1，這屬于放縮過度.

嘗試2利用切線放縮lnx≤x-1lt;x，將x代替x得lnxlt;2x.

取φ（x）=2x，則

f（x）=lnx-axlt;2x-ax=x（2-ax）lt;0.

得xgt;4a2.

因（4a2，+∞）（1a，+∞），故取x=4a2即可，滿足了當x→+∞時lnxlt;2xlt;ax.

那么在選擇φ（x）時是否有好的方法可以進行簡單提前預判呢？現(xiàn)來分析φ（x）=x-1和φ（x）=2x正確與否的本質內涵.

因為x→+∞時lnx，x-1，2x均為無窮大量，可探究其階之間的關系.

因limx→+∞axx-1=alt;1，limx→+∞ax2x=+∞，故ax是x-1的同階無窮大，是2x的高階無窮大，而這也符合欲使φ（x）lt;ax，那么ax需比φ（x）先到達+∞，由此可知要想實現(xiàn)x→+∞時φ（x）lt;ax，只需找尋ax的低階無窮大量即可.

例2已知函數(shù)f（x）=（a+1）（x+1）-aex（agt;1），求證f（x）存在兩個零點.

分析通過求導分析得f（x）在（-∞，lna+1a）上單調遞增，在（lna+1a，+∞）上單調遞減.

因f（0）=1gt;0，

limx→+∞f（x）=-∞，

limx→-∞f（x）=-∞，

則由零點存在性定理可知，f（x）存在兩個零點.

因為exgt;0，采用舍項放縮可得

f（x）=（a+1）（x+1）-aexlt;（a+1）（x+1）.

故取x=-1，可得f（-1）lt;0.

因為xgt;-1時，（a+1）（x+1），aex均為正數(shù)，且不等式f（x）lt;0不易求解，故找出x0使得f（x0）lt;0存在困難.

欲使f（x）lt;0只需（a+1）（x+1）lt;aex，

插入函數(shù)φ（x）使得（a+1）（x+1）lt;aφ（x）lt;aex即可.

嘗試1取切線放縮φ（x）=x+1，則

（a+1）（x+1）-aexlt;（a+1）（x+1）-a（x+1）

=x+1lt;0.

得xlt;-1.

但因-1（0，+∞），則放縮過度.

探其原因limx→+∞（a+1）（x+1）aφ（x）=a+1agt;1，

即（a+1）（x+1）與a（x+1）是同階無窮大.

嘗試2因為exgt;2x，取φ（x）=2x，則

（a+1）（x+1）-aexlt;（a+1）（x+1）-2ax

=（1-a）x+a+1lt;0.

得xgt;a+1a-1.

因為a+1a-1∈（0，+∞），則取x=a+1a-1即可.

探其原因limx→+∞（a+1）（x+1）aφ（x）=a+12alt;1，

即（a+1）（x+1）與2ax是同階無窮大，

但滿足x→+∞時（a+1）（x+1）lt;2axlt;aex.

嘗試3因為exgt;x2-1（xgt;0），取φ（x）=x2-1，則

（a+1）（x+1）-aexlt;（a+1）（x+1）-a（x2-1）

=（x+1）（2a+1-x）lt;0.

得xgt;2a+1.

因為2a+1∈（0，+∞），則取x=2a+1即可.

探其原因limx→+∞（a+1）（x+1）aφ（x）=0，

即（a+1）（x+1）是a（x2-1）的低階無窮大.

總結由例1和例2可知，同階無窮大有時可以實現(xiàn)目標，有時又不可以，但是高階或低階無窮大卻一定可以實現(xiàn)目標.以下將指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)等準備放縮掉的函數(shù)稱為放縮函數(shù).

（1）若f（x）與g（x）均為正無窮大量，欲找尋x0使得f（x0）-g（x0）lt;0，放縮后得f（x）lt;φ（x）lt;g（x），若g（x）為放縮函數(shù)，則需φ（x）比f（x）先到達+∞，即φ（x）是f（x）的高階無窮大即可；若f（x）為放縮函數(shù)，則需φ（x）是g（x）的低階無窮大即可.

（2）若f（x）與g（x）均為負無窮大量，欲找尋x0使得f（x0）-g（x0）lt;0，放縮后得f（x）lt;φ（x）lt;g（x），若g（x）為放縮函數(shù)，則需f（x）比φ（x）先到達-∞，即φ（x）是f（x）的低階無窮大即可；若f（x）為放縮函數(shù)，則需φ（x）是g（x）的高階無窮大即可.

若遇到無窮小量，則可類比無窮大量來解釋.

例3（2022年全國乙卷文科20改編）求證：函數(shù)f（x）=ax-1x-（a+1）lnx（0lt;alt;1）恰有1個零點.

證明定義域（0，+∞），求導得

f ′（x）=a+1x2-a+1x

=（x-1）（ax-1）x2.

因為0lt;alt;1，則f ′（x）gt;0，得xlt;1或xgt;1a；f ′（x）lt;0，得1lt;xlt;1a.

故f（x）在（0，1）和（1a，+∞）上單調遞增，在（1，1a）上單調遞減.

因為lnxlt;x，則

f（x）=ax-1x-（a+1）lnx

gt;ax-1x-（a+1）x.

當xgt;1時，1xlt;x，f（x）gt;ax-（a+2）x，當x0=（a+1a）2gt;1時，f（x0）gt;0.

因為f（1）=a-1lt;0，故由零點存在性定理可知f（x）在（0，+∞）上存在唯一一個零點.

4結束語

利用高階或低階實現(xiàn)放縮取點的方法能夠解決大多數(shù)含參零點問題，但在實際應用中我們會碰見非常多的放縮不等式，學生又怎么能清楚地記得這些不等式呢？所以，一些比較常用的放縮是需要學生進行記憶的.

如指數(shù)放縮：ex≥x+1gt;x；

ex≤11-x，xlt;1；

exlt;-1x，xlt;0；

ex≥12x2+x+1，x≥0；

exgt;x2，xgt;0；

對數(shù)放縮：lnx≤x+1lt;x；

lnxlt;x；

lnx≥1-1x；

lnx≥2（1-1x）；

lnxgt;-1x；

常數(shù)放縮：exgt;1，xgt;0；

exlt;1，xlt;0；

exgt;0.

而其余那些需學生理解其真正含義，從而有意義地選取或構造新的不等式，比如x→+∞時，總會有l(wèi)nxlt;αxβ（αgt;0，βgt;0），exgt;αxβ（αgt;0，0lt;βlt;3），學會靈活使用一次、二次、冪函數(shù)放縮，做到心中有把握.

參考文獻：

［1］ 嵇婷.高等數(shù)學中無窮小量的相關概念解析及應用[J].安順學院學報，2024，26（02）：118-123，134.

[2] 周正岳，黃麗芹.無窮小比較的意義及其應用[J].高等數(shù)學研究，2022，25（04）：19-21.

［3］ 趙海涌.放縮取點法在討論函數(shù)零點問題中的應用［J］.高中數(shù)理化，2020（22）：13-14.

［責任編輯：李慧嬌］