新高考背景下數(shù)學(xué)高考試題評析

摘要：隨著中國高等教育招生考試改革的不斷深入，新高考制度逐漸在全國范圍內(nèi)推廣實(shí)施.文章以2024年新高考Ⅰ，Ⅱ卷為研究對象，旨在通過定性的研究方法，對新高考試題進(jìn)行系統(tǒng)評析，發(fā)現(xiàn)新高考試題在題型設(shè)計、知識點(diǎn)覆蓋、核心素養(yǎng)及能力考查等方面均呈現(xiàn)出新的特點(diǎn)和趨勢.具體而言，試題更加注重考查學(xué)生的綜合運(yùn)用能力和創(chuàng)新思維，減少了對死記硬背知識的依賴.同時，試題設(shè)計更加貼近實(shí)際，反映了當(dāng)前社會發(fā)展的新要求.此外，新高考試題對數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的考查更全面，強(qiáng)化素養(yǎng)導(dǎo)向，選拔適合不同層次的創(chuàng)新型人才.

關(guān)鍵詞：新高考；思維；素養(yǎng)；創(chuàng)新

中圖分類號：G632文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A文章編號：1008-0333（2025）07-0039-06

收稿日期：2024-12-05

作者簡介：孫景然，碩士研究生，從事中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)研究.

隨著中國教育改革的不斷深化，到2024年，新高考制度已在全國范圍內(nèi)廣泛推廣并實(shí)施.這一變革旨在更好地適應(yīng)社會發(fā)展的需求，培養(yǎng)具有創(chuàng)新精神和實(shí)踐能力的高素質(zhì)人才.本文以2024年新高考Ⅰ，Ⅱ卷為研究對象，通過對數(shù)學(xué)高考試題的系統(tǒng)評析，探討新高考背景下數(shù)學(xué)試題的新特點(diǎn)和趨勢，并為教學(xué)提供相應(yīng)的建議.

1問題提出

2019年《中國高考評價體系》正式發(fā)布，提出了一套包含“一核”、“四層”和“四翼”的綜合評價體系[1].該體系特別強(qiáng)調(diào)在“核心價值、學(xué)科素養(yǎng)、關(guān)鍵能力、必備知識”這四個層面的考查內(nèi)容中，自然地融入核心素養(yǎng)的培養(yǎng).從2020—2023年的新高考數(shù)學(xué)Ⅰ卷和Ⅱ卷的分析來看，新高考模式依舊強(qiáng)調(diào)對邏輯推理素養(yǎng)與數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)的考查[2].同時，試題結(jié)構(gòu)和題目設(shè)計趨向開放性，引入了多選題以及結(jié)合文化、科學(xué)等多種情境的題目，這些變化都有助于選拔具有創(chuàng)新潛質(zhì)的學(xué)生.隨著2024年高考數(shù)學(xué)考試內(nèi)容的持續(xù)深化改革，考試結(jié)構(gòu)將進(jìn)一步調(diào)整.基于此背景繼續(xù)對新高考Ⅰ卷和Ⅱ卷試題進(jìn)行分析，不僅為教育工作者提供了新高考命題趨勢的參考，也為未來的教學(xué)改革和課程設(shè)置提供了理論支持，助力建設(shè)教育強(qiáng)國.

2題目情境更多維，與數(shù)學(xué)知識更融合

2024年新高考全國Ⅰ，Ⅱ卷共考查了4道以生活與社會為情境的數(shù)學(xué)試題，不僅擴(kuò)充了題目的情境范圍，而且題目情境更加貼近現(xiàn)實(shí)，與知識點(diǎn)的融合度也更高.

2.1基于生活情境

（2024年新高考數(shù)學(xué)全國Ⅰ卷第14題）甲乙兩人各有四張卡片，每張卡片上標(biāo)有一個數(shù)字，甲的卡片上分別標(biāo)有數(shù)字1，3，5，7，乙的卡片上分別標(biāo)有數(shù)字2，4，6，8.兩人共進(jìn)行四輪比賽，在每輪比賽中，兩人各從自己持有的卡片中隨機(jī)抽選一張，并比較所選卡片上的數(shù)字大小，數(shù)字大的人得1分，數(shù)字小的人得0分，然后各自棄置此輪所選的卡片（棄置的卡片在此后的輪次中不能使用），則在四輪比賽后，甲的總得分不小于2的概率為多少？

分析設(shè)置情境題目往往助力考查學(xué)生知識的遷移能力[3].本試題以日常生活中的卡片游戲?yàn)楸尘?，旨在教育學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)思維去探索和理解世界，它鼓勵學(xué)生在生活中積極發(fā)現(xiàn)問題并主動尋求解決方案.首先，考慮到四輪比賽中，甲乙兩人出牌的可能性共有A44×A44=576種情況；接下來的目標(biāo)是計算甲的總得分小于2的概率.具體來說，甲得1分表示他在四輪比賽中贏了一輪而輸了三輪；甲得0分則意味著他在四輪比賽中全部失利.接下來，將分別計算這兩種情況的概率并將它們求和.最后，通過對立事件的概率公式，便可以得出甲得分大于或等于2的最終概率.

2.2基于社會情境

（2024年新高考數(shù)學(xué)全國Ⅰ卷第9題）為了解推動出口后的畝收入（單位：萬元）情況，從該種植區(qū)抽取樣本，得到推動出口后畝收入的樣本均值x-=2.1，樣本方差s2=0.01，已知該種植區(qū)以往的畝收入X服從正態(tài)分布N（1.8，0.12），假設(shè)推動出口后的畝收入Y服從正態(tài)分布N（x-，s2），則（）.（若隨機(jī)變量Z服從正態(tài)分布N（μ，σ2），則P（Zlt;μ+σ）≈0.8413）

A.P（Xgt;2）gt;0.2B.P（Xgt;2）lt;0.5

C.P（Ygt;2）gt;0.5D.P（Ygt;2）lt;0.8

分析當(dāng)今世界所需要的人才，并非那些對外界漠不關(guān)心的學(xué)者，而是那些不僅擁有專業(yè)知識，同時對社會有深刻理解和獨(dú)特見解的人.本題以農(nóng)田畝收入為背景，考查了正態(tài)分布與概率理論的應(yīng)用，體現(xiàn)了教育應(yīng)以人為本，培養(yǎng)學(xué)生的綜合素養(yǎng).在解決此題時，學(xué)生需要有效地利用概率公式P（Zlt;μ+σ）≈0.8413，這意味著掌握正態(tài)分布下的概率分布是解題的關(guān)鍵.題目旨在考查學(xué)生的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)和數(shù)據(jù)分析素養(yǎng).

3以素養(yǎng)為導(dǎo)向，選拔創(chuàng)新型人才

3.1兼顧基礎(chǔ)性與創(chuàng)新性

新高考試卷注重基礎(chǔ)知識的考查[4]，新高考Ⅰ卷第1，2，3，4，5，7，12題體現(xiàn)出此種基礎(chǔ)性，著重考查了集合的運(yùn)算、復(fù)數(shù)的性質(zhì)、向量垂直的性質(zhì)、三角函數(shù)性質(zhì)、圓柱圓錐表面積體積公式、三角函數(shù)圖象、雙曲線離心率的定義及運(yùn)算等高考評價體系中所強(qiáng)調(diào)的常用知識.以新高考Ⅰ卷第7，12題為例展開說明.

（2024年新高考數(shù)學(xué)全國Ⅰ卷第7題）當(dāng)x∈［0，2π］時，曲線y=sinx與y=2sin（3x-π6）的交點(diǎn)個數(shù)為（）.

A.3B.4C.6D.8

分析如果學(xué)生直接嘗試通過聯(lián)立方程來解決這個問題，他們可能會誤入歧途.事實(shí)上，這個問題對應(yīng)的圖象來源于人教版必修一教材的第237頁，如圖1所示.這也表明了高考對基礎(chǔ)知識的重視，即創(chuàng)新是建立在扎實(shí)基礎(chǔ)之上的.本題主要考查了直觀想象素養(yǎng)和邏輯推理素養(yǎng).

（2024年新高考數(shù)學(xué)全國Ⅰ卷第12題）如圖2，設(shè)雙曲線C：x2a2-y2b2=1（agt;0，bgt;0）的左右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，過點(diǎn)F2作平行于y軸的直線交C于A，B兩點(diǎn)，若|F1A|=13，|AB|=10，則C的離心率為.

分析由題知|F2A|=5，

2a=13-5=8，

2c=|F1F2|=12，

因此e=ca=32.

采用雙曲線的定義和性質(zhì)來解答這個問題，可以有效避免煩瑣的坐標(biāo)計算和聯(lián)立方程求解，從而顯著減少計算量，節(jié)省考試時間.這種方法主要考查了直觀想象素養(yǎng)、數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)以及邏輯推理素養(yǎng).

新高考卷注重基礎(chǔ)性的同時也注重創(chuàng)新性的考查.以新高考Ⅰ卷第8，19題，新高考Ⅱ卷第8，14題為例.

（2024年新高考數(shù)學(xué)全國Ⅰ卷第8題）已知函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽，f（x）gt;f（x-1）+f（x-2），且當(dāng)xlt;3時，f（x）=x，則下列結(jié)論一定正確的是（）.

A.f（10）gt;100B.f（20）gt;1 000

C.f（10）lt;1 000D.f（20）lt;10 000

分析根據(jù)題意f（3）gt;f（1）+f（2）.

所以f（3）gt;3.

若將x=10代入f（x）gt;f（x-1）+f（x-2），

則f（10）gt;f（9）+f（8）.

同理f（9）gt;f（8）+f（7），

f（8）gt;f（7）+f（6）

……

使用這種計算方法可能會給學(xué)生帶來較大的心理壓力.然而，如果秉承“多思考，少計算”的原則，就會發(fā)現(xiàn)這個問題實(shí)際上是對斐波那契數(shù)列的一種變形考查，這樣一來，解答起來就會變得簡單許多.

根據(jù)題意f（4）gt;f（3）+f（2）gt;5，

所以f（4）gt;5.

因?yàn)閒（5）gt;f（4）+f（3），

所以f（5）gt;8.

因?yàn)閒（6）gt;f（5）+f（4），

所以f（6）gt;13.

容易發(fā)現(xiàn)3，5，8，13構(gòu)成了一組斐波那契數(shù)列.

那么f（15）gt;f（14）+f（13），所以f（15）gt;987.

由f（16）gt;f（15）+f（14），所以f（16）gt;1 000，自然f（20）gt;1 000.

此題著重考查學(xué)生的邏輯推理素養(yǎng)、數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)、數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).

（2024年新高考數(shù)學(xué)全國Ⅰ卷第19題）設(shè)m為正整數(shù)，且數(shù)列a1，a2，…，a4m+2是公差不為0的等差數(shù)列，若從中刪去兩項ai和aj（ilt;j）后剩余的4m項可被平均分為m組，且每組的4個數(shù)都能構(gòu)成等差數(shù)列，則稱數(shù)列a1，a2，…，a4m+2是（i，j）—可分?jǐn)?shù)列.

（1）寫出所有的（i，j），1≤ilt;j≤6，使數(shù)列a1，a2，…，a6是（i，j）—可分?jǐn)?shù)列.

（2）當(dāng)m≥3時，證明：數(shù)列a1，a2，…，a4m+2是（2，13）—可分?jǐn)?shù)列.

（3）從1，2，…，4m+2中任取兩個數(shù)i，j（ilt;j），記數(shù)列a1，a2，…，a4m+2是（i，j）—可分?jǐn)?shù)列的概率為Pm，證明Pmgt;18.

分析此題作為壓軸題，以等差數(shù)列為知識背景引入新定義“可分?jǐn)?shù)列”，此題在情境、設(shè)問、解法上也別出心裁[5].這既促進(jìn)了學(xué)生的思維活躍度，又使他們在思考的過程中深入理解數(shù)學(xué)方法，進(jìn)而能夠自主地挑選出解題的思路.

（2024年新高考數(shù)學(xué)全國Ⅱ卷第8題）設(shè)函數(shù)f（x）=（x+a）ln（x+b），若f（x）≥0，則a2+b2的最小值為（）.

A.18B.14C.12D.1

分析這個問題可以通過直接求導(dǎo)或分類討論定義域的方法來解決，但這些方法過程煩瑣.實(shí)際上，也可以通過分析函數(shù)的單調(diào)性和零點(diǎn)來直接得出答案.學(xué)生需要通過思考知道：如果兩個單調(diào)函數(shù)的乘積在其定義域內(nèi)始終不小于0，那么這兩個函數(shù)必須有共同零點(diǎn)，即滿足a+b=1;之后可以利用函數(shù)的最值或不等式的性質(zhì)來完成求解.這種創(chuàng)新的題目設(shè)計旨在考查學(xué)生真實(shí)的數(shù)學(xué)能力，而非僅僅依賴于刷題和技巧訓(xùn)練.

（2024年新高考數(shù)學(xué)全國Ⅱ卷第14題）在下面圖3的4×4方格中選4個方格，要求每行和每列均恰有一個方格被選中，則共有多少種選法？在符合上述要求的選法中，選中方格的四個數(shù)之和的最大值是多少？

分析耐心讀懂題目后，學(xué)生會發(fā)現(xiàn)該題考查的是排列組合原理.不過此題突出考查學(xué)生的理性思維和探究能力，有一定靈活性.若要想每行每列均有一個方格被選中，從第一行開始考慮共有C14種可能，那么第二行只有3種可能，同理第三行、第四行的可能性為2和1種.因此，此題共有4×3×2×1=24種可能；第二問可通過窮舉法，最大值為15+21+33+43=112.該題有一定創(chuàng)新性，這導(dǎo)致一些固定的解題模式和模板變得不再適用，死記硬背的教學(xué)方法也無法滿足當(dāng)前高考的新標(biāo)準(zhǔn)，提醒廣大教師在教學(xué)過程中要注重培養(yǎng)學(xué)生的思維能力.

3.2強(qiáng)化綜合性考查

本次試卷著重考查知識點(diǎn)的綜合性，考查學(xué)生可以用多個知識點(diǎn)或方法去解決一個綜合問題.以新高考Ⅰ卷第11題、新高考Ⅱ卷第6題為例進(jìn)行說明.

（2024年新高考數(shù)學(xué)全國Ⅰ卷第11題）如圖4造型可以看作圖中曲線C的一部分，已知C過坐標(biāo)原點(diǎn)O，且C上的點(diǎn)滿足橫坐標(biāo)大于-2，到點(diǎn)F（2，0）的距離與到定直線x=a（alt;0）的距離之積為4，則（）.

A.a=-2

B.點(diǎn)（22，0）在C上

C.C在第一象限的點(diǎn)的縱坐標(biāo)最大值為1

D.當(dāng)點(diǎn)（x0，y0）在C上時，y0≤4x0+2

分析此題為一種新型的幾何題目，其中引入了新定義.這類題目主要考查學(xué)生在短時間內(nèi)對新定義的理解能力，以及他們能否迅速把握其本質(zhì)特征.如果理解不到位，可能會導(dǎo)致解題方向錯誤，甚至完全偏離正確路徑.

在解答此題時，首要步驟是利用題目給出的等量關(guān)系，通過定義法求出軌跡方程

（x-2）2+y2×|x-a|=4.

因?yàn)榻?jīng)過（0，0），因此易求得a=-2.

B選項可將點(diǎn)（22，0）直接代入軌跡方程.

C選項通過化簡移項可得y2=（4x+2）2-（x-2）2.因此這個問題還涉及了函數(shù)最值的求解.為了找到最值，需要對函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，這一過程也考查了復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的技巧.通過分析，最終可以確定，無論何種情況，縱坐標(biāo)的最大值必然大于1.

D選項將（x0，y0）代入即可判斷是正確的，考查了不等式的性質(zhì).

此題是一個多選題.它涵蓋了軌跡方程、函數(shù)最值、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)以及不等式等多個知識點(diǎn)，通過這種方式強(qiáng)化了對思維過程和思維能力的考查.在2024年新高考的試卷中，多選題的數(shù)量比之前減少了一個，但每個題目的分值提升到了6分，這種調(diào)整優(yōu)化了多選題的考查方式，使考試更為精準(zhǔn)地評估學(xué)生的能力.

此曲線并不是中學(xué)通常遇到的橢圓、雙曲線或拋物線之一，這可能導(dǎo)致一些學(xué)生在閱讀和分析題目時感到畏懼，覺得自己無法理解題目.然而，這種設(shè)計打破了依靠題海戰(zhàn)術(shù)和猜測題目的策略，同時測試了學(xué)生應(yīng)對新問題和解決各種難度問題的能力，提高了試卷的鑒別力，有助于選拔具有創(chuàng)新能力的人才.

（2024年新高考數(shù)學(xué)全國Ⅱ卷第6題）設(shè)函數(shù)f（x）=a（x+1）2-1，g（x）=cosx+2ax（a為常數(shù)），當(dāng)x∈（-1，1）時，曲線y=f（x）和y=g（x）恰有一個交點(diǎn)，則a=？

分析該題若直接解方程會很困難，不妨求出a與x的關(guān)系，求得a=1+cosx1+x2，經(jīng)觀察等式的右側(cè)為偶函數(shù)，因此若只有1個解，該解只能是x=0，如圖5.代入即可得到a=2.

該題通過整合冪函數(shù)與余弦函數(shù)的性質(zhì)，突出了對知識點(diǎn)和核心素養(yǎng)的全面考查.這種題目設(shè)計旨在引導(dǎo)學(xué)生深入理解并綜合應(yīng)用知識點(diǎn)，重視對知識體系的整體性認(rèn)知.

3.3強(qiáng)調(diào)“多想少算”，注重數(shù)學(xué)素養(yǎng)的考查

近年來，新高考題目的變遷體現(xiàn)了高考數(shù)學(xué)考核的轉(zhuǎn)變.國家越來越傾向于鼓勵學(xué)生進(jìn)行深層次的思考，而非單純機(jī)械計算.這種趨勢標(biāo)志著從知識素養(yǎng)的考查向數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的考查過渡.以新高考Ⅱ卷第19題為例，該題就明顯體現(xiàn)了這一變化.

（2024年新高考數(shù)學(xué)全國Ⅱ卷第19題）已知雙曲線C：x2-y2=m（mgt;0），點(diǎn)P1（5，4）在C上，k為常數(shù)，0lt;klt;1，按照如下方式依次構(gòu)造點(diǎn)Pn（n=2，3…）：過點(diǎn)Pn-1作斜率為k的直線與C的左支交于點(diǎn)Qn-1，令Pn為Qn-1關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)，記Pn的坐標(biāo)為（xn，yn）.

（1）若k=12，求x2，y2；

（2）證明：數(shù)列xn-yn是公比為1+k1-k的等比數(shù)列；

（3）設(shè)Sn為△PnPn+1Pn+2的面積，證明：對任意正整數(shù)n，Sn=Sn+1.

本題設(shè)計的三個問題環(huán)環(huán)相扣，技巧性極高，旨在深入考查學(xué)生的思維能力.在考試中，如果學(xué)生不先行深入思考而直接解題，可能會陷入復(fù)雜的運(yùn)算求解中.然而，通過深思熟慮，例如在第二個問題上，可以采用參數(shù)方程的方法來快速求解；在第三個問題中，證明面積相等的過程實(shí)則可以轉(zhuǎn)化為證明兩條直線的平行性，這里運(yùn)用了代換的數(shù)學(xué)思維.本試題體現(xiàn)了“多思考，少計算”的核心設(shè)計理念，旨在鼓勵中學(xué)教學(xué)更加注重培養(yǎng)學(xué)生的思維能力、探究能力以及問題解決能力等數(shù)學(xué)素養(yǎng)，而非單純機(jī)械刷題[6].

4教學(xué)啟示

4.1日常教學(xué)中重視思維訓(xùn)練

鼓勵學(xué)生通過探索、分析和理解數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)來解決問題，而不是僅僅依賴于機(jī)械的計算或公式的應(yīng)用.在實(shí)施這種教學(xué)方法時，教師可以采取以下策略.

在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，教師應(yīng)通過生動有趣的教學(xué)方式吸引學(xué)生的注意力，如引入數(shù)學(xué)趣味問題或數(shù)學(xué)游戲.在教學(xué)中應(yīng)強(qiáng)調(diào)問題解決的過程，提供多樣化的問題，并根據(jù)學(xué)生的不同思維水平和能力設(shè)置不同難度的問題，鼓勵學(xué)生深入思考和探索;適時引入數(shù)學(xué)建模，數(shù)學(xué)建模是數(shù)學(xué)應(yīng)用于實(shí)際問題的重要環(huán)節(jié)，通過建模訓(xùn)練，可以提升學(xué)生將抽象規(guī)律用數(shù)學(xué)語言表達(dá)出來的能力，并加以應(yīng)用.

4.2深化基礎(chǔ)知識的教學(xué)，使學(xué)生形成完整知識體系

綜合新高考試卷可知，試題題目既有較為基礎(chǔ)的基礎(chǔ)性知識，比如新高考Ⅰ卷第7題，答案可以在書本上找到原圖.試卷題目也體現(xiàn)了很強(qiáng)的綜合性，如新高考Ⅱ卷壓軸題考查了圓錐曲線與數(shù)列的結(jié)合等.因此需通過以下方法促進(jìn)學(xué)生形成完整知識體系.

教師可通過圖表、思維導(dǎo)圖等工具展示不同知識點(diǎn)之間的關(guān)系，幫助學(xué)生理解各部分之間的內(nèi)在聯(lián)系;提供多樣化的教材和參考書目，使學(xué)生能從不同角度理解數(shù)學(xué)概念;按照從易到難的順序安排教學(xué)內(nèi)容，確保學(xué)生能夠在掌握基礎(chǔ)后再逐步學(xué)習(xí)更復(fù)雜的內(nèi)容，每個階段結(jié)束時進(jìn)行總結(jié)，幫助學(xué)生回顧和鞏固已學(xué)的知識，形成知識網(wǎng)絡(luò).

4.3以培養(yǎng)學(xué)生核心素養(yǎng)為教學(xué)目標(biāo)培養(yǎng)創(chuàng)新型人才

在教學(xué)過程中鼓勵學(xué)生提出問題，并引導(dǎo)他們通過探索和研究來尋找答案;將數(shù)學(xué)知識與現(xiàn)實(shí)世界的實(shí)際應(yīng)用相聯(lián)系，如經(jīng)濟(jì)、科學(xué)、工程等領(lǐng)域的應(yīng)用.讓學(xué)生在不同學(xué)科之間運(yùn)用數(shù)學(xué)工具，增強(qiáng)綜合運(yùn)用知識的能力;為學(xué)生提供個性化的學(xué)習(xí)路徑，讓他們根據(jù)自己的興趣和能力發(fā)展.

5結(jié)束語

在新高考背景下，對數(shù)學(xué)高考試題的評析意義重大.通過對2024年新高考Ⅰ卷和Ⅱ卷的深入研究，我們明晰了試題的新特點(diǎn)與趨勢.這不僅是對過去的總結(jié)，更是為未來教學(xué)指明方向，我們要緊跟新特點(diǎn)和趨勢，不斷優(yōu)化教學(xué)方法，讓學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，不僅掌握知識，更能提升數(shù)學(xué)思維能力和應(yīng)用能力.

參考文獻(xiàn)：

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［責(zé)任編輯：李慧嬌］