例析圓錐曲線中定點(diǎn)定值問題

摘要：曲線問題一直是高考的重點(diǎn)內(nèi)容之一，近些年圓錐曲線中的定點(diǎn)定值問題逐漸成為熱點(diǎn)考點(diǎn)，對于學(xué)生來說也是一個(gè)難點(diǎn).文章結(jié)合一道具體例題，從不同視角分析圓錐曲線定點(diǎn)定值問題的解題策略，總結(jié)歸納這類題型適用的解題技巧，提升學(xué)生的解題水平.

關(guān)鍵詞：圓錐曲線；定點(diǎn)定值問題；解題技巧

中圖分類號：G632文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A文章編號：1008-0333（2025）07-0065-03

收稿日期：2024-12-05

作者簡介：劉麗莎，本科，二級教師，從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)研究.

圓錐曲線作為高中數(shù)學(xué)的重要組成部分，涵蓋了橢圓、雙曲線和拋物線等基本圖形，它們不僅在數(shù)學(xué)理論中占據(jù)核心地位，在實(shí)際應(yīng)用中也極為廣泛.一類圓錐曲線過定點(diǎn)問題，即探討在特定條件下圓錐曲線恒過某些固定點(diǎn)的問題，對于深化學(xué)生對圓錐曲線性質(zhì)的理解及提升解題技能具有顯著作用.

1直接求點(diǎn)法

直接求點(diǎn)法在解決圓錐曲線定點(diǎn)問題時(shí)，是一種基于方程的求解策略.這種方法直接從直線與圓錐曲線方程出發(fā)，通過精確的代數(shù)操作來確定定點(diǎn)的坐標(biāo)[1].直接求點(diǎn)法的優(yōu)點(diǎn)是直接性和系統(tǒng)性，通過純粹的代數(shù)運(yùn)算，可以直接找到問題的解.

例1已知點(diǎn)F1（-3，0），F(xiàn)2（3，0）分別為橢圓C的兩個(gè)焦點(diǎn)，橢圓的離心率為32．

（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）M為橢圓C的左頂點(diǎn)，直線l與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，若MA⊥MB，求證：直線l過定點(diǎn)．

解析（1）由題意得：c=3，離心率e=ca=32.又因?yàn)閍2=b2+c2，故可知a=2，b=1.

所以橢圓方程為x24+y2=1.

（2）如圖1，因?yàn)辄c(diǎn)M為橢圓C的左頂點(diǎn)，所以M（-2，0）.設(shè)直線l的方程為x=ty+m，A（x1，y1），B（x2，y2），聯(lián)立方程x=ty+m，

x2+4y2=4，得（t2+4）y2+2mty+m2-4=0.則Δ=（2mt）2-4（t2+4）·m2-4gt;0.即t2+4gt;m2.由韋達(dá)定理可得：y1+y2=-2mtt2+4，y1y2=m2-4t2+4.因?yàn)镸A⊥MB，所以MA·MB=0.所以x1+2x2+2+y1y2=0.所以x1x2+2（x1+x2）+4+y1y2=0.又因?yàn)閤1=ty1+m，

x2=ty2+m，所以（t2+1）y1y2+（mt+2t）（y1+y2）+（m+2）2=0.所以（t2+1）（m2-4）+（mt+2t）（-2mt）+（m2+4m+4）（t2+4）=0.展開后整理得5m2+16m+12=0，解得m=-65或m=-2.當(dāng)m=-2時(shí)，直線l的方程為x=ty-2，經(jīng)過點(diǎn)M，不滿足題意，舍去;當(dāng)m=-65時(shí)，直線l的方程為x=ty-65，恒過定點(diǎn)（-65，0）.所以直線l過定點(diǎn).

2設(shè)而不求法

設(shè)而不求法的核心在于巧妙地引入未知數(shù)，但并不求解這些未知數(shù)的具體值，而是通過它們來建立已知條件和所求目標(biāo)之間的聯(lián)系，從而簡化解題過程[2].

例2已知橢圓E：x2a2+y2b2=1（agt;bgt;0）經(jīng)過點(diǎn)M（1，32），且焦距F1F2=23，線段AB，CD分別是它的長軸和短軸.

（1）求橢圓E的方程;

（2）若Ns，t是平面上的動(dòng)點(diǎn)，s=1，t≠±32，直線NA，NB與橢圓E的另一個(gè)交點(diǎn)分別為點(diǎn)P，Q，證明：直線PQ過定點(diǎn).

解析（1）根據(jù)圓的基本性質(zhì)不難求出橢圓E的方程為x24+y2=1.

（2）設(shè)N（1，t），P（x1y1），Q（x2y2）.

若t≠0，設(shè)直線PQ的方程為x=λy+μ，

從而有x1=λy1+μ，x2=λy2+μ.①

聯(lián)立直線PQ與橢圓方程，消x整理，得

（λ2+4）y2+2λμy+μ2-4=0.

根據(jù)韋達(dá)定理，得2λy1y2=4-μ2μ（y1+y2）.②

易知直線AP方程為y=y1x1+2（x+2），

直線BQ方程為y=y2x2-2（x-2）.

聯(lián)立消去y整理得點(diǎn)N的橫坐標(biāo)

x=-2·y1（x2-2）+y2（x1+2）y1（x2-2）-y2（x1+2）.

在這一步可以運(yùn)用設(shè)而不求的思想，將前面①②兩式直接代入，從而簡化大量計(jì)算過程，化簡得x=4μ.由題知點(diǎn)N的橫坐標(biāo)為1，所以4μ=1.

即直線PQ過定點(diǎn)（4，0）.

若t=0，則直線PQ方程為y=0.即直線PQ過定點(diǎn)（4，0）.

綜上，直線PQ過定點(diǎn)（4，0）.

3特殊值法

特殊值法通過選取特定參數(shù)值簡化圓錐曲線定點(diǎn)問題.這種方法利用由特殊到一般的思想，先找出具有顯著特征的情況并驗(yàn)證其符合題意，再將這種特殊情況推廣至一般情況，將難題轉(zhuǎn)化為易處理的形式.這種方法的難點(diǎn)在于識別出能夠揭示問題本質(zhì)的特殊值，并從中抽象出普遍規(guī)律.

例3已知橢圓C：x2a2+y2b2=1（agt;bgt;0），稱圓心在原點(diǎn)O，半徑為a2+b2的圓是橢圓C的“衛(wèi)星圓”．若橢圓C的離心率為22，點(diǎn)2，2在橢圓C上．

（1）求橢圓C的方程和其“衛(wèi)星圓”的方程；

（2）點(diǎn)P是橢圓C的“衛(wèi)星圓”上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作直線l1，l2，使得直線l1，l2與橢圓C都只有一個(gè)交點(diǎn)，且l1，l2與其“衛(wèi)星圓”的另外兩個(gè)交點(diǎn)分別為M，N，證明：MN為定值．

解析（1）由題意得ca=22，4a2+2b2=1，a2=b2+c2，解得a=22，b=2，所以橢圓C的方程為x28+y24=1，其“衛(wèi)星圓”的方程為x2+y2=12.

（2）①當(dāng)l1，l2中有一條直線的斜率不存在時(shí)，不妨設(shè)l1的斜率不存在．因?yàn)閘1與橢圓只有一個(gè)交點(diǎn)，所以其方程為x=22或x=-22.當(dāng)l1的方程為x=22時(shí)，l1與“衛(wèi)星圓”交于點(diǎn)（22，2）和點(diǎn)（22，-2），經(jīng)過點(diǎn)（22，2）且與橢圓只有一個(gè)交點(diǎn)的直線是y=2，經(jīng)過點(diǎn)（22，-2）且與橢圓只有一個(gè)交點(diǎn)的直線是y=-2，即l2的方程為y=2或y=-2.所以l1⊥l2.所以線段MN應(yīng)為“衛(wèi)星圓”的直徑，所以MN=43.當(dāng)l1的方程為x=-22時(shí)，同理可得MN=43.

②當(dāng)l1，l2的斜率都存在時(shí)，設(shè)點(diǎn)P（x0，y0），其中x2+y2=12.設(shè)經(jīng)過點(diǎn)P（x0，y0）且與橢圓只有一個(gè)交點(diǎn)的直線方程為y=t（x-x0）+y0，由y=tx+y0-tx0，

x28+y24=1，消去y，得（1+2t2）x2+4t（y0-tx0）x+2（y0-tx0）2-8=0.通過計(jì)算可得Δ=0.設(shè)l1，l2的斜率分別為t1，t2，則t1·t2=32-8y2064-8x20=32-8（12-x20）64-8x20=-1.則滿足條件的兩直線l1，l2垂直．所以線段MN應(yīng)為“衛(wèi)星圓”的直徑.所以MN=43.

綜合①②知，MN=43，為定值.

4數(shù)形結(jié)合法

數(shù)形結(jié)合法通過將幾何直觀與代數(shù)運(yùn)算相結(jié)合，以提高解題的準(zhǔn)確性和效率.在這種方法中，首先利用幾何知識對問題進(jìn)行直觀分析，識別出可能的定點(diǎn)和定值，然后通過代數(shù)方法進(jìn)行驗(yàn)證和求解.

例4設(shè)拋物線C1：y2=2px，C2：x2=2py（pgt;0），C1，C2的焦點(diǎn)分別為點(diǎn)F1，F(xiàn)2，拋物線C1與拋物線C2交于點(diǎn)N，已知△F1NF2的周長為10+2．

（1）求拋物線C1，C2的方程；

（2）過C1上第一象限內(nèi)一點(diǎn)M作拋物線C1的切線l，與拋物線C2交于A，B兩點(diǎn)，其中點(diǎn)B在第一象限，設(shè)切線l的斜率為k．x軸正半軸上的點(diǎn)P滿足tan∠AMP=k，請問P是否為定點(diǎn)？如果是，請證明.

解析（1）如圖2，由題知，F(xiàn)1（p2，0），F(xiàn)2（0，p2），|F1F2|=22p，聯(lián)立y2=2px，

x2=2py，解得x=y=2p.所以N（2p，2p）.

由拋物線的性質(zhì)，得|NF1|=|NF2|=2p+p2.

△F1NF2的周長為：|F1F2|+|NF1|+|NF2|=22p+（2p+p2）×2=（5+22）p=10+2，解得p=2.

故拋物線C1：y2=4x，C2：x2=4y.

（2）如圖3，由（1）知，拋物線C1：y2=4x，C2：x2=4y.設(shè)點(diǎn)M（t24，t），且tgt;0，則y=2x，求導(dǎo)可得y′=1x.則l的斜率k=2t.則直線l的方程為y=2tx+t2.記直線l與x軸的交點(diǎn)為Q，令y=0，則x=-t24.則Q（-t24，0）.由tan∠AMP=k，l的斜率為k，則∠AMP=∠AQP.所以△QMP為等腰三角形，點(diǎn)P為線段QM的垂直平分線與x軸的交點(diǎn)，記QM的中點(diǎn)為R，則R（0，t2），線段QM的垂直平分線y-t2=-t2x.令y=0，則x=1，故P（1，0）.

5結(jié)束語

本文深入探討了圓錐曲線過定點(diǎn)問題的解題技巧.通過將復(fù)雜問題轉(zhuǎn)化為更易處理的形式，我們不僅能夠提高解題效率，還能培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)直覺和邏輯思維.盡管計(jì)算過程中存在挑戰(zhàn)，但掌握這些技巧對于學(xué)生來說至關(guān)重要.希望本文的分析和討論能夠幫助學(xué)生在未來的學(xué)習(xí)和實(shí)踐中，更加自信地面對圓錐曲線問題，展現(xiàn)出更高的解題能力.

參考文獻(xiàn)：

［1］ 蔣自佳.對一類圓錐曲線相交弦中點(diǎn)問題的探究[J].中學(xué)數(shù)學(xué)研究，2024（11）：32-33.

[2] 肖阿春.一個(gè)圓錐曲線直線過定點(diǎn)問題的解法探究與推廣[J].理科考試研究，2024，31（21）：24-27.［責(zé)任編輯：李慧嬌］