兩直線的“到角”“夾角”公式及應(yīng)用

摘要：優(yōu)化運(yùn)算是研究解析幾何問題的重要內(nèi)容，也是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng)、探究運(yùn)算思路的重要一環(huán).在解析幾何中，夾角公式與到角公式是處理直線、射線或線段間角度關(guān)系的重要工具，它們不僅具有深刻的幾何意義，而且在解決解析幾何問題時(shí)展現(xiàn)出極高的應(yīng)用價(jià)值，有效促進(jìn)了數(shù)學(xué)思維的發(fā)展和運(yùn)算能力的提高.

關(guān)鍵詞：到角；運(yùn)算；思維

中圖分類號：G632文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A文章編號：1008-0333（2025）07-0026-03

收稿日期：2024-12-05

作者簡介：袁曉明，碩士，二級教師，從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)研究.

新高考背景下，試卷的命題結(jié)構(gòu)和難度結(jié)構(gòu)進(jìn)一步優(yōu)化創(chuàng)新，在降低了題量的同時(shí)增加了思維量，突出考查學(xué)生的思維過程和思維方法.因此如何突破運(yùn)算的瓶頸，提高優(yōu)化運(yùn)算求解的能力，提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)，形成規(guī)范化思考問題的品質(zhì)，是我們時(shí)刻需要研究的課題.在解析幾何的運(yùn)算求解中，到角公式與夾角公式扮演了舉足輕重的角色，它們不僅豐富了我們的數(shù)學(xué)工具箱，也為解決各類幾何問題提供了強(qiáng)有力的支持.下面通過各地的高三模擬題，例談“到角”“夾角”公式在解析幾何中的運(yùn)用.

1到角公式與夾角公式的定義

1.1到角公式

到角定義當(dāng)l1與l2相交時(shí)，把l1繞著l1與l2的交點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)到與l2首次重合時(shí)的最小正角，記為θ，則此時(shí)θ叫作l1到l2的角，那么l2到l1的角為π-θ，范圍：θ∈（0，π）.

到角計(jì)算公式記l1到l2的角為θ，直線l1與l2的斜率存在且分別為k1和k2，則tanθ=k2-k11+k2k1（1+k2k1≠0）[1].

1.2夾角公式

夾角定義當(dāng)l1與l2相交時(shí)，直線l1與l2相交所成的四個(gè)角中最小的正角記作α，則此時(shí)α叫作l1與l2的夾角，范圍：α∈（0，π2].

夾角計(jì)算公式記l1與l2的夾角為α，直線l1與l2的斜率存在且分別為k1和k2，則tanα=|k2-k11+k2k1|（1+k2k1≠0）.

1.3區(qū)別與聯(lián)系

到角是有向角，公式中不含絕對值；夾角是無向角，公式中有絕對值.當(dāng)l1到l2的角θ∈（0，π2]時(shí)，則θ就是l1與l2的夾角，當(dāng)l1到l2的角θ∈（π2，π），則l1與l2的夾角為π-θ，即l2到l1的角［2］.

2到角公式與夾角公式的應(yīng)用

例1已知橢圓E：x2a2+y2b2=1（agt;bgt;0）的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，A（-2，1）為橢圓上一點(diǎn)，B（0，-1），四邊形AF1BF2的面積為23，O為坐標(biāo)原點(diǎn).

（1）求橢圓E的方程；

（2）求∠F1AF2的角平分線所在的直線l的方程；

（3）過點(diǎn)A且斜率存在的直線l1，l2分別與橢圓交于點(diǎn)P，Q（均異于點(diǎn)A），若點(diǎn)B到直線l1，l2的距離相等，證明：直線PQ過定點(diǎn).

解析（1）橢圓E的方程為x26+y23=1.

（2）由（1）F1（-3，0），F(xiàn)2（3，0），kAF1=13-2，kAF2=1-2-3.

設(shè)∠F1AF2的角平分線所在的直線l的斜率為k，則13-2lt;klt;1-2-3.

根據(jù)到角公式可得k-kAF11+k·kAF1=kAF2-k1+kAF2·k.

化簡得k2=1，所以k=-1（正值舍去）.

所以此時(shí)直線l的方程為x+y+1=0.

（3）設(shè)直線l1，l2的斜率分別為k1，k2（k1≠k2），可得直線l1：y-1=k1（x+2），l2：y-1=k2（x+2）.

由到角公式-1-k11-k1=k2+11-k2，化簡得k1k2=1.

設(shè)P（x1，y1），Q（x2，y2），則

k1k2=y1-1x1+2·y2-1x2+2=1.

化簡，得y1y2-（y1+y2）+1=x1x2+2（x1+x2）+4.

設(shè)直線PQ為x=my+n，和橢圓聯(lián)立方程組x=my+n，

x2+2y2=6，得（m2+2）y2+2mny+n2-6=0.①

由韋達(dá)定理，得y1+y2=-2mnm2+2，

y1y2=n2-6m2+2.

所以x1+x2=4nm2+2，

x1x2=-6m2+2n2m2+2.

代入①化簡，得

n2-3m2+8n-2mn+12=0.

因式分解得（m+n+2）（n-3m+6）=0.

因此可得直線PQ過點(diǎn)（-6，-3）.

例2設(shè)點(diǎn)A為雙曲線C：x2-y23=1的左頂點(diǎn)，直線l經(jīng)過點(diǎn)（-1，2），與C交于不與點(diǎn)A重合的兩點(diǎn)P，Q.

（1）求直線AP，AQ的斜率之和；

（2）設(shè)在射線AQ上的點(diǎn)R滿足∠APQ=∠ARP，求直線PR的斜率的最大值.

解析（1）設(shè)直線AP：y=k1（x+1），

AQ：y=k2（x+1）.

聯(lián)立y=k1（x+1），

3x2-y2=3，得

（3-k21）x2-2k21x-k21-3=0.

由xAxP=-k21+33-k21，得xP=k21+33-k21.

于是P（k21+33-k21，6k13-k21）.

設(shè)l：y-2=k（x+1），將點(diǎn)P的坐標(biāo)代入，有

k21+3k1-3k-3=0.

同理得k22+3k2-3k-3=0.

所以k1，k2是關(guān)于x的方程x2+3x-3k-3=0的兩根.故k1+k2=-3，k1k2=-3k-3.

所以直線AP，AQ的斜率之和為定值-3.

（2）設(shè)直線PR的斜率為m，由∠APQ=∠ARP及到角公式，有k-k11+kk1=k2-m1+k2m.

整理，得

m=k1+k2+k（k1k2-1）k（k1+k2）-k1k2+1=-3k2-4k-34，

當(dāng)且僅當(dāng)k=-23時(shí)，PR的斜率有最大值-512.

評析第（1）問是常見的共點(diǎn)引雙線模型，在PQ過定點(diǎn)的情況下，求證從點(diǎn)A出發(fā)的兩條射線斜率和為定值.

第（2）問給出的兩個(gè)角相等，思考的方向有兩個(gè)，一是推導(dǎo)△APQ∽△ARP，得到AP2=AR·AQ，于是解出R的坐標(biāo)，然后計(jì)算PR的斜率；二是利用到角公式表達(dá)角相等，轉(zhuǎn)化為k1，k2的關(guān)系，借助第（1）問將PR的斜率轉(zhuǎn)化為關(guān)于k的二次函數(shù).

例3已知動點(diǎn)M到點(diǎn)F（-1，0）的距離與到直線l：x=-2的距離之比等于22.

（1）求動點(diǎn)M的軌跡W的方程；

（2）過直線l上的一點(diǎn)P作軌跡W的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，且∠APB=60°，求點(diǎn)P的坐標(biāo).

解析（1）設(shè)M（x，y），根據(jù)題意得

（x+1）2+y2|x+2|=22.

得動點(diǎn)M的軌跡方程為x22+y2=1.

（2）設(shè)P（-2，m），切線斜率是k，切線方程為y=k（x+2）+m.

聯(lián)立橢圓方程x22+y2=1，得（2k2+1）x2+（8k2+4km）x+8k2+2m2+8km-2=0.

則其判別式為Δ=（8k2+4km）2-4（2k2+1）·（8k2+2m2+8km-2）=0.

化簡，得2k2+4mk+m2-1=0.

設(shè)直線PA，PB的斜率分別為k1，k2，

由韋達(dá)定理，得k1+k2=-2m，k1k2=m2-12.

由夾角公式tan∠APB=|k2-k11+k2k1|=3，

平方，得3=（k1-k2）2（k1k2+1）2=（k1+k2）2-4k1k2（k1k2+1）2.

即4m2-4（m2/2-1/2）（m2/2+1/2）2=8m2+1=3.

解得m=±53=±153.

所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-2，±153）.

評析第（2）問是雙切線模型，與例2一樣，利用同構(gòu)法，設(shè)直線聯(lián)立方程組，由相切Δ=0，得到關(guān)于k的一元二次方程，再由韋達(dá)定理得到斜率之和、斜率之積的關(guān)系，代入夾角公式，利用整體的思想求出參數(shù)m的值.夾角公式通過斜率的形式，直接關(guān)聯(lián)了兩直線的傾斜程度與它們之間夾角的大小，既直觀又精確.

3結(jié)束語

到角公式與夾角公式來源于書本課后習(xí)題，是一道探究拓展題，既解決了平面幾何里兩直線相交時(shí)的夾角問題，也為解析幾何問題提供了一個(gè)直接的解題思路，有效地簡化了運(yùn)算求解過程，高度契合了新高考卷“多思少算、注重幾何思想、減少計(jì)算量”的理念，強(qiáng)調(diào)解析幾何的一般觀念是先用幾何眼光觀察，再用坐標(biāo)法解決.而到角公式與夾角公式正是在幾何與代數(shù)之間架起了一座橋梁，通過它，我們可以用坐標(biāo)表示斜率、向量，進(jìn)而解決平面幾何、解析幾何問題，同時(shí)也加深了對幾何概念的理解[3].

參考文獻(xiàn)：

［1］ 尹建堂.兩條直線的“到角”與“夾角”[J].數(shù)學(xué)通訊，2000（20）：8-10.

[2] 聶雙亮.直線中兩類“角”公式的應(yīng)用[J].中學(xué)生數(shù)理化（高一版），2010（11）：15.

[3] 劉小東.直線“到角”“夾角”公式的應(yīng)用[J].高中數(shù)學(xué)教與學(xué)，2017（22）：16-17.

［責(zé)任編輯：李慧嬌］