多自由度體系的動力放大系數(shù)解析研究

摘要： 在結(jié)構(gòu)動力沖擊響應(yīng)分析中，通常采用動力放大系數(shù)（DAF）簡化計算結(jié)構(gòu)的動力響應(yīng)。但是，目前工程結(jié)構(gòu)中對DAF的取值還存在爭議。針對此問題，本文推導(dǎo)了多自由度（MDOF）體系的DAF解析表達(dá)式，分析了DAF大于2.0的前提條件；分別通過單自由度（SDOF）體系和MDOF體系算例模型驗證了解析表達(dá)式的準(zhǔn)確性，解釋了MDOF體系的DAF大于2.0的原因?；谒岢龅腄AF解析表達(dá)式分析了張弦梁剩余結(jié)構(gòu)在斷索沖擊作用下的DAF分布規(guī)律。分析結(jié)果表明：當(dāng)某一階模態(tài)振型的分量與靜力響應(yīng)值反向時，張弦梁的DAF可能會大于2.0；即使在有阻尼情況下，張弦梁的DAF也可能會大于2.0。

關(guān)鍵詞： 多自由度體系； 張弦梁； 動力放大系數(shù)； 斷索沖擊

中圖分類號： TU311.3 " "文獻(xiàn)標(biāo)志碼： A " "文章編號： 1004-4523（2025）03-0550-08

DOI：10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2025.03.011

Analytical research on dynamic amplification factor of multi-degree-of-freedom system

ZHANG Chao， ZHOU Zhengan， LAI Zhichao， FU Xindi， YANG Xiaoqiang

（College of Civil Engineering， Fuzhou University， Fuzhou 350108， China）

Abstract： In the dynamic impact response analysis of the structure， the dynamic amplification factor （DAF） is usually used to simplify the calculation of the dynamic response of the structure. However， the size of DAF in engineering structures is still controversial. In order to solve this problem， the analytical expression of DAF of multi-degree-of-freedom system （MDOF） is derived in this paper， and the precondition of DAF greater than 2.0 is analyzed. The accuracy of the analytical expression is verified by the single-degree-of-freedom （SDOF） and MDOF example models， and the reason why the DAF of the MDOF is greater than 2.0 is explained. Finally， based on the DAF analytical method proposed in this paper， the DAF distribution law of beam string under cable breaking impact is analyzed. The analysis results show that when the contribution of a first-order modal shape is opposite to the static response， the DAF of the beam string may be greater than 2.0. Even for the damping system， the DAF of the beam string may be greater than 2.0.

Keywords： multi-degree?of?freedom system；string beam；dynamic amplification factor；cable breakage shock

在索支撐結(jié)構(gòu)體系中，拉索是最重要的受力構(gòu)件之一［1?2］。服役過程中，拉索可能會發(fā)生斷裂，瞬間產(chǎn)生顯著的沖擊作用，引起結(jié)構(gòu)體系的動力響應(yīng)［3］。目前，一般采用動力時程分析方法分析斷索沖擊下的結(jié)構(gòu)動力響應(yīng)［4?5］。但是，動力時程分析方法操作復(fù)雜，計算量大，所以實際工程中更多地采用荷載動力放大系數(shù)（dynamic amplification factor， DAF）將荷載放大后進(jìn)行靜力分析［6］。因此，DAF的取值大小對于結(jié)構(gòu)響應(yīng)分析非常關(guān)鍵。各國的行業(yè)規(guī)范對DAF的取值有相關(guān)規(guī)定：美國總務(wù)管理局（General Services Administration， GSA）［7］和國防部（Department of Defense， DOD）［8］分別頒布的結(jié)構(gòu)抗連續(xù)倒塌的設(shè)計規(guī)程均建議DAF取為2.0；中國《建筑結(jié)構(gòu)抗倒塌設(shè)計標(biāo)準(zhǔn)》（T/CECS 392—2021）［9］也規(guī)定，采用線性靜力方法計算時，結(jié)構(gòu)的DAF取為2.0；歐盟規(guī)范［10］則建議，在瞬時荷載作用下，結(jié)構(gòu)的DAF取為1.5。

在實際工程研究中，學(xué)者們開展的構(gòu)件瞬間失效作用下的結(jié)構(gòu)動力響應(yīng)分析結(jié)果表明：不同類型結(jié)構(gòu)的動力放大系數(shù)取值范圍變化非常大，有些響應(yīng)的動力放大系數(shù)甚至?xí)h(yuǎn)大于2.0。AOKI等［11?12］研究了不同構(gòu)件的失效時間和結(jié)構(gòu)阻尼比等因素對斜拉橋斷索沖擊的動力響應(yīng)的影響，結(jié)果表明GSA建議的DAF取值（2.0）偏大。MOZOS等［13?14］進(jìn)行了斜拉索斷索沖擊作用下主梁和橋塔的動力響應(yīng)分析，研究表明，即使考慮阻尼影響，主梁各位置的平均DAF也超過了2.0；對于斜拉橋的橋塔，DAF極值甚至達(dá)到了22.2，GSA規(guī)定的DAF取為2.0不能保證斷索沖擊作用下斜拉橋的安全。胡曉斌等［15］研究了平面框架連續(xù)倒塌的動力放大效應(yīng)，得出結(jié)構(gòu)的DAF大小與結(jié)構(gòu)的需求能力比RDC（RDC定義為剩余結(jié)構(gòu)上的豎向分布荷載與剩余結(jié)構(gòu)極限豎向分布荷載的比值）有關(guān)，并隨著RDC的增大而增大，所以規(guī)范規(guī)定的DAF取為2.0有可能偏小。ZHANG等［16?18］研究了多自由度（MDOF）結(jié)構(gòu)體系在階躍荷載作用下的動力響應(yīng)，結(jié)果表明，MDOF體系中非荷載加載點的DAF有可能超過2.0。以上研究基本是從數(shù)值分析的角度出發(fā)，得到了不同結(jié)構(gòu)形式以及不同參數(shù)影響下結(jié)構(gòu)DAF大于2.0或小于2.0的結(jié)果，但未能從理論層面解釋原因。

目前，已有一些學(xué)者從理論解析方面開展了結(jié)構(gòu)DAF取值的初步探索工作。文獻(xiàn)［19?20］分別研究了基于應(yīng)力比值法和初始條件法的張弦結(jié)構(gòu)的DAF變化規(guī)律。田黎敏等［21］通過理論研究揭示了大跨單層空間網(wǎng)格結(jié)構(gòu)線彈性階段和彈塑性階段的動力放大原理，給出了此類結(jié)構(gòu)的DAF設(shè)計建議值。文獻(xiàn)［22］通過求解微分方程，推導(dǎo)了斜拉索斷索情況下DAF的近似函數(shù)，闡述了斜拉索斷索沖擊下DAF的變化規(guī)律。RUIZ?TERAN等［23］研究了斜拉橋斷索引起的DAF變化規(guī)律，證明了斷索沖擊作用下斜拉橋的DAF有可能大于2.0?？梢?，已有研究在一定程度上揭示了相應(yīng)結(jié)構(gòu)體系的DAF的變化或分布規(guī)律。

為研究MDOF體系在動力沖擊作用下的放大效應(yīng)，本文擬從動力學(xué)方程出發(fā)，推導(dǎo)MDOF體系的DAF的解析表達(dá)式；結(jié)合解析方程和算例結(jié)果闡釋MDOF體系的DAF分布規(guī)律；采用本文所提出的解析表達(dá)式分析張弦梁瞬時失效作用下的結(jié)構(gòu)動力放大系數(shù)的響應(yīng)規(guī)律。

1 多自由度體系動力放大系數(shù)

結(jié)構(gòu)動力學(xué)中關(guān)于動力放大系數(shù)DAF的定義為［24］：動力荷載p（t）作用下得到的動力位移幅值ud與靜力荷載p作用下的靜力位移ust的比值。DAF的表達(dá)式如下：

DAF=u_d/u_st （1）

1.1 單自由度體系動力放大系數(shù)解析式

需要說明的是，本節(jié)公式推導(dǎo)僅針對無阻尼體系，由于阻尼作用會對結(jié)構(gòu)動力響應(yīng)有不同程度的抑制作用，因而阻尼體系的DAF會相應(yīng)減小。

2 典型多自由度體系動力放大系數(shù)的解析計算

基于上節(jié)推導(dǎo)的計算公式，本節(jié)結(jié)合SDOF體系和MDOF體系的簡支梁算例，進(jìn)一步闡釋MDOF體系中動力放大系數(shù)的影響機(jī)理。本節(jié)首先采用上節(jié)推導(dǎo)的MDOF體系動力放大系數(shù)計算公式進(jìn)行解析求解，后文稱為AM法（analytical method）。其次，為驗證解析法的計算結(jié)果，同時與數(shù)值法（numerical method， NM）計算結(jié)果進(jìn)行比較（數(shù)值法結(jié)果采用直接積分法進(jìn)行動力時程分析得到）。

2.1 模型算例介紹

本節(jié)算例中簡支梁的長度L=4 m，彈性模量E=200 GPa，梁截面面積A=1.232×10-3 m2，慣性矩I=1.481×10-6 m4，屈服強(qiáng)度fy=235 MPa，泊松比υ=0.3。階躍荷載p（t）的作用方向為豎直向下，當(dāng)t=0 s時，p（t）=0 kN，當(dāng)t=0.001 s時，p（t）=4 kN。簡支梁的SDOF和MDOF的簡化模型如圖1所示。圖1（a）為SDOF體系（模型1），集中質(zhì)量m=0.3 kg布置在梁的跨中位置，荷載p（t）施加在跨中。圖1（b）和（c）均為MDOF體系，l為每跨的長度。梁的質(zhì)量分別集中在1/4跨、跨中和3/4跨節(jié)點上，每個節(jié)點的質(zhì)量為0.1 kg。模型2中的荷載p（t）豎直向下施加跨中節(jié)點位置；模型3的荷載p（t）豎直向下施加在1/4跨節(jié)點位置。

2.2 計算結(jié)果分析

2.2.1 模型1的解析計算結(jié)果

模型1為SDOF體系，只存在單階模態(tài)，如圖2所示。其最終動力位移幅值ud也完全由該模態(tài)振型貢獻(xiàn)。

將模型信息代入式（3）和（4），計算得到靜力位移ust、動力位移幅值ud以及動力放大系數(shù)DAF，如表1所示。

由表1可知，模型1采用解析法計算的最大動力響應(yīng)值為9.20 mm，與數(shù)值法的計算結(jié)果一致，驗證了解析法計算公式的準(zhǔn)確性。另外，模型1的DAF值為2.0，與理論值完全吻合［25］。

2.2.2 模型2的解析計算結(jié)果

模型2有3個自由度，模型2的3階模態(tài)振型及自振頻率如圖3所示。

模型2的動力響應(yīng)采用所有3階振型貢獻(xiàn)疊加計算得到。將相關(guān)信息代入式（6）～（11）進(jìn)行計算，得到模型2在階躍荷載p（t）作用下（不考慮自重）的計算結(jié)果，如表2所示。表2中，ust表示靜力位移，un，d表示第n階模態(tài)振型貢獻(xiàn)的動力位移幅值。

由表2可知，對于節(jié)點D2、D3和D4，解析法計算得到的3階模態(tài)振型貢獻(xiàn)的動力位移幅值之和分別為-4.80、-9.20和-4.80 mm，與數(shù)值法計算得到的動力位移值一致。

另外，表2中節(jié)點D2的動力響應(yīng)結(jié)果表明，第3階模態(tài)提供的動力位移u3，d（0.06 mm）與靜力位移ust（-2.30 mm）存在響應(yīng)反向的現(xiàn)象，即u3，d/ustlt;0。根據(jù)1.2節(jié)的理論分析，節(jié)點D2的DAF會大于2.0。此現(xiàn)象與表2中計算結(jié)果DAF=2.1是一致的。同時，D3節(jié)點的動力響應(yīng)與DAF結(jié)果也符合1.2節(jié)的理論分析?？梢姡嬎憬Y(jié)果均與理論推導(dǎo)的結(jié)論相符合，驗證了理論推導(dǎo)的正確性。

2.2.3 模型3的解析計算結(jié)果

表3列出了模型3在階躍荷載p（t）作用下（不考慮自重）的計算結(jié)果。

由表3可知，對于節(jié)點D2、D3和D4，采用解析法計算得到的3階模態(tài)振型貢獻(xiàn)的動力位移幅值之和分別為-4.00、-4.80和-2.90 mm，與數(shù)值法計算得到的最大動力位移值一致。

3 張弦梁瞬間失效作用下的結(jié)構(gòu)DAF研究

張弦梁是一種由剛性上弦梁、柔性下弦拉索和中間撐桿組成的自平衡混合結(jié)構(gòu)體系［25］。由于張弦體系組成簡單、受力明確、結(jié)構(gòu)形式多樣，被廣泛應(yīng)用于工程建設(shè)中。本節(jié)的張弦梁基本信息如下：梁長L=15 m，分為3跨，每跨長度l=5 m；腹桿高度h=1.5 m，上弦桿截面為Φ300 mm×10 mm的圓鋼管，屈服強(qiáng)度fy=235 MPa，彈性模量E=200 GPa，密度ρ=7850 kg/m3。拉索預(yù)張力F1=174 kN，F(xiàn)2=167.67 kN；撐桿預(yù)壓力為50 kN，如圖4所示。

拉索和撐桿均是張弦梁結(jié)構(gòu)的易損構(gòu)件，在長期服役過程中，拉索/撐桿可能會發(fā)生損傷甚至斷裂［1］。當(dāng)拉索/撐桿均失效后，原有的張弦體系的平衡條件被打破，拉索張力和撐桿壓力消失，此時，拉索/撐桿失效后的張弦結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)變成由上弦梁組成的簡支梁，本文稱為剩余結(jié)構(gòu)。拉索/撐桿失效的同時，撐桿的垂直向支撐力及下弦索的軸向預(yù)拉力也會瞬間消失，相當(dāng)于在上弦桿施加了一個豎向階躍荷載（撐桿位置），及沿在上弦桿兩側(cè)施加軸向階躍荷載。因此，斷索沖擊下張弦梁可以簡化為階躍荷載作用下的簡支梁模型。

本算例以撐桿1失效為例進(jìn)行分析。當(dāng)撐桿1失效后，原張弦梁體系失效。此時，撐桿失效后張弦梁的剩余結(jié)構(gòu)可以近似看作是由上弦梁組成的簡支梁結(jié)構(gòu)。為了簡化問題，本算例中忽略拉索失效對簡支梁軸壓力的影響，僅探討剩余結(jié)構(gòu)對于撐桿瞬間失效所引起的豎向階躍荷載的響應(yīng)。因此，后文把張弦梁瞬間失效過程簡化為豎向階躍荷載作用下上弦圓鋼管簡支梁結(jié)構(gòu)的動力響應(yīng)。

3.1 張弦梁剩余結(jié)構(gòu)有限離散梁模型

采用ANSYS有限元軟件對張弦梁剩余結(jié)構(gòu)進(jìn)行建模，如圖5所示。梁單元采用BEAM189模擬，單元長度為1 m，泊松比υ=0.3。在原撐桿位置處施加豎直向下且隨時間快速增加的荷載p（t）以模擬上弦桿的反作用力釋放過程，當(dāng)t=0 s時荷載為0，當(dāng)t=0.001 s時荷載立刻達(dá)到最大值50 kN。

本文采用Rayleigh阻尼模型，取阻尼比ζ為0.02，質(zhì)量阻尼系數(shù)為0.238，剛度阻尼系數(shù)為0.001。

3.2 張弦梁剩余結(jié)構(gòu)DAF的解析計算

3.2.1 確定結(jié)構(gòu)起主要貢獻(xiàn)的模態(tài)振型

對剩余結(jié)構(gòu)模型進(jìn)行模態(tài)分析，得到了剩余結(jié)構(gòu)前10階振型的累積模態(tài)質(zhì)量參與系數(shù)Σγ，如圖6所示。可以看出，前5階振型的累積有效模態(tài)質(zhì)量參與系數(shù)Σγ已達(dá)到0.98，說明前5階模態(tài)振型對剩余結(jié)構(gòu)的結(jié)構(gòu)動力響應(yīng)貢獻(xiàn)非常大。所以在后文解析計算時僅考慮前5階振型的貢獻(xiàn)。

3.2.2 前5階模態(tài)振型

圖7列出了剩余結(jié)構(gòu)模型前5階模態(tài)振型?？梢钥闯?，各階振型的變形各異，當(dāng)加載節(jié)點的各階振型變形一致時，其他非加載點的各階振型變形可能出現(xiàn)反向的情況。

3.2.3 解析法分析結(jié)果

使用解析法計算得到了考慮阻尼和不考慮阻尼影響的剩余結(jié)構(gòu)各節(jié)點的變形響應(yīng)及DAF。由于篇幅限制，本文僅列出節(jié)點D4、D7、D10和D13的變形響應(yīng)及DAF，如表4所示。表4中，un，st表示第n階模態(tài)的靜力位移；un，d和un，d（ζ）分別表示不考慮阻尼和考慮阻尼時第n階模態(tài)振型所貢獻(xiàn)的動力位移幅值；Σun表示前n階響應(yīng)之和。

從表4中可以看出，對于無阻尼體系，節(jié)點D4、D10和D13對應(yīng)的DAF分別為2.1、2.3和2.8，均大于2.0。這是因為節(jié)點D4、D10和D13均存在模態(tài)振型貢獻(xiàn)的動力位移幅值與靜力位移反向的現(xiàn)象，即un，d/ustlt;0。根據(jù)1.2節(jié)的推論，相應(yīng)節(jié)點的DAF可能大于2.0。同理，節(jié)點D7的DAF為2.0，小于等于2.0。這是因為節(jié)點D7的所有模態(tài)振型貢獻(xiàn)的動力位移幅值與靜力位移同向，即un，d/ustgt;0，因此，動力放大系數(shù)DAF必然不會大于2.0。綜上可見，本文所解析的MDOF體系動力放大系數(shù)分布規(guī)律可以合理地解釋張弦梁剩余結(jié)構(gòu)的DAF分布規(guī)律，以上算例結(jié)果也驗證了1.2節(jié)所提出的“模態(tài)振型分量與體系靜力響應(yīng)值反向”是“DAF大于2.0”的必要條件。

對于考慮阻尼影響的張弦梁剩余結(jié)構(gòu)，各節(jié)點的DAF值會較不考慮阻尼影響的結(jié)構(gòu)有明顯減小。其中，D4、D7、D10和D13的DAF分別減小1.8、1.8、2.0和2.2。其中，有兩個現(xiàn)象值得注意：（1）節(jié)點D13的DAF（2.2）仍然大于2.0。此結(jié)果表明，即使考慮結(jié)構(gòu)阻尼對結(jié)構(gòu)振動的抑制作用，MDOF體系的動力放大效應(yīng)仍可能會大于2.0；（2）節(jié)點D4、D10的DAF均小于2.0，上述兩節(jié)點雖然均存在“模態(tài)振型貢獻(xiàn)的動力位移幅值與靜力位移反向的現(xiàn)象”，但是，由于阻尼的抑制作用，兩節(jié)點的DAF值均未大于2.0。此結(jié)果表明，“模態(tài)振型貢獻(xiàn)的動力位移幅值與靜力位移反向”是“DAF大于2.0”的非充分條件。

3.3 基于數(shù)值分析的結(jié)果驗證

圖8展示了分別采用解析法（AM）和數(shù)值分析法（NM）計算的剩余結(jié)構(gòu)模型的DAF結(jié)果（考慮阻尼作用和不考慮阻尼作用）。從圖8中可以看出，不考慮阻尼的影響，張弦梁剩余結(jié)構(gòu)的DAF=2.0～3.2，若考慮阻尼的影響，張弦梁剩余結(jié)構(gòu)的DAF=1.8～2.4，說明考慮阻尼對張弦梁剩余結(jié)構(gòu)的影響，只有部分位置的DAF大于2.0。另外可以看到，解析法和數(shù)值法計算得到各節(jié)點的DAF是基本吻合的。

圖8 AM法與NM法計算的DAF結(jié)果對比

Fig.8 Comparison of DAF results calculated by AM method and NM method

此算例分析結(jié)果與已有文獻(xiàn)針對復(fù)雜工程結(jié)構(gòu)的分析結(jié)果是一致的：文獻(xiàn)［9?10］表明，在斜拉橋拉索的斷索沖擊作用下，主梁和橋塔部分截面的DAF會顯著大于2.0，當(dāng)不考慮阻尼影響時主梁截面DAF=2.1～8.0，塔頂截面DAF=1.9～5.5；考慮阻尼影響時，主梁截面的DAF=1.9～5.5，塔頂截面DAF=1.3～3.5。同時，作為典型的MDOF體系結(jié)構(gòu)，斜拉橋等纜索體系結(jié)構(gòu)具有高階振型貢獻(xiàn)大的顯著特點，本文所提出的MDOF體系的DAF解析表達(dá)式也可直接用于闡釋其在沖擊作用下的復(fù)雜動力響應(yīng)機(jī)理，剖析其關(guān)鍵位置DAF大于2.0的原因。

綜上，以上解析式推導(dǎo)和張弦梁剩余結(jié)構(gòu)算例結(jié)果均說明MDOF體系的DAF大于2.0的現(xiàn)象是由MDOF體系中各階振型貢獻(xiàn)異向引起的，這也是MDOF體系與SDOF體系的動力響應(yīng)的最顯著區(qū)別之一。

4 結(jié) 論

針對動力放大系數(shù)（DAF）取值問題，本文推導(dǎo)了MDOF體系的DAF的解析表達(dá)式，通過算例模型進(jìn)行了驗證，探討了張弦梁在斷索沖擊作用下的DAF分布規(guī)律。所得結(jié)論如下：

（1）推導(dǎo)的MDOF體系的DAF解析表達(dá)式表明，對于MDOF體系而言，若存在至少一階模態(tài)振型分量與體系靜力響應(yīng)值反向，則可能出現(xiàn)DAF大于2.0。

（2）不考慮阻尼影響時，若張弦梁存在至少一階模態(tài)振型貢獻(xiàn)的響應(yīng)與靜力分析響應(yīng)反向，則張弦梁在斷索沖擊作用下的DAF可能大于2.0。考慮阻尼影響時，雖然阻尼會對結(jié)構(gòu)響應(yīng)產(chǎn)生抑制作用，當(dāng)存在某一階模態(tài)振型貢獻(xiàn)的響應(yīng)與靜力分析響應(yīng)反向時，張弦梁斷索時DAF也可能大于2.0。

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第一作者： 張 超（1985─），男，博士，研究員。E-mail：zhangchao1985@fzu.edu.cn

通信作者： 賴志超（1986─），男，博士，教授。

E-mail：laiz@fzu.edu.cn