考慮支柱軸向位移和縱向彎曲的雙輪前起落架擺振特性分析

摘要： 起落架支柱軸向壓縮將直接導(dǎo)致系統(tǒng)剛度和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量發(fā)生變化，但現(xiàn)有前起落架（nose landing gear，NLG）擺振模型中大多忽略支柱軸向位移的影響。建立了考慮支柱軸向位移和縱向彎曲的六自由度雙輪前起落架擺振非線性動(dòng)力學(xué)模型。應(yīng)用分岔理論研究了支柱軸向位移對(duì)擺振區(qū)域的影響，并將緩沖器最大壓縮行程分別與滑跑速度、垂向載荷和機(jī)輪轉(zhuǎn)動(dòng)慣量進(jìn)行組合，對(duì)組合參數(shù)進(jìn)行雙參數(shù)分岔分析。采用四階Runge?Kutta法和快速傅里葉變換在擺振穩(wěn)定區(qū)內(nèi)進(jìn)行時(shí)頻特性計(jì)算，研究了支柱扭轉(zhuǎn)、側(cè)向彎曲和縱向彎曲擺振自由度之間的相互作用。結(jié)果表明：在一定工況下，考慮支柱軸向位移影響后，支柱扭轉(zhuǎn)擺振和側(cè)向擺振區(qū)域均有縮小趨勢(shì)。雙輪前起落架擺振雙穩(wěn)態(tài)區(qū)域內(nèi)，當(dāng)初始激勵(lì)接近零平衡狀態(tài)時(shí)，縱向擺振發(fā)生在2倍扭轉(zhuǎn)振動(dòng)固有頻率附近；而當(dāng)初始激勵(lì)遠(yuǎn)離零平衡狀態(tài)時(shí)，縱向擺振發(fā)生在2倍側(cè)向振動(dòng)固有頻率附近。

關(guān)鍵詞： 前起落架； 非線性擺振； 六自由度模型； 雙參數(shù)分岔； 振動(dòng)頻率

中圖分類號(hào)： V226+.4 " "文獻(xiàn)標(biāo)志碼： A " "文章編號(hào)： 1004-4523（2025）03-0517-12

DOI：10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2025.03.008

Shimmy characteristics of dual?wheel nose landing gear considering the axial and longitudinal motions of strut

GAO Xiangguo1， LU Xiang2， SHAN Zezhong1

（1.College of Aeronautical Engineering， Civil Aviation University of China， Tianjin 300300， China；

2.School of Transportation Science and Engineering， Civil Aviation University of China， Tianjin 300300， China）

Abstract： The axial compression of the landing gear strut can directly lead to the change of system stiffness and rotational inertia， but the effect of strut axial displacement is mostly ignored in existing models of nose landing gear shimmy. A nonlinear dynamic model of six-degree-of-freedom dual-wheel nose landing gear shimmy with axial displacement and longitudinal bending of struts is established. The bifurcation theory is applied to study the effect of introducing axial displacement on the shimmy region， and the maximum compression stroke of the buffer is combined with sliding speed， vertical load， and wheel rotational inertia， respectively. The combined parameters are analyzed by two parameter bifurcation. The fourth order Runge-Kutta method and fast Fourier transform are used to calculate the time-frequency characteristics in the stable shimmy region， and the interaction between the degrees of freedom of torsion， lateral bending， and longitudinal bending of the strut is studied. The results show that under certain conditions， considering the influence of axial displacement of the strut， the areas of torsional and lateral shimmy of the strut have a tendency to shrink. In the bistable region of double wheel nose gear shimmy， when the initial excitation is close to zero equilibrium state， the longitudinal shimmy occurs near 2 times the natural frequency of torsional vibration. When the initial excitation is far from the zero equilibrium state， longitudinal shimmy occurs near 2 times the natural frequency of lateral vibration.

Keywords： nose landing gear；nonlinear shimmy；6?degree?of?freedom model；two?parameter bifurcation；vibration frequency

前起落架擺振將導(dǎo)致起落架結(jié)構(gòu)磨損、機(jī)輪使用壽命降低及飛行儀表讀取誤差等［1］。前起落架系統(tǒng)中存在多個(gè)振動(dòng)自由度耦合，同時(shí)也存在結(jié)構(gòu)間隙、庫(kù)侖摩擦、二次項(xiàng)阻尼等眾多非線性因素［2］，是一種高維且高度非線性系統(tǒng)。近年來(lái)，針對(duì)前起落架擺振問(wèn)題的非線性動(dòng)力學(xué)研究方法主要有：靈敏度分析法［3］、多體動(dòng)力學(xué)仿真［4］和分岔理論（bifurcation method）分析等。采用分岔分析方法，可以分析前起落架系統(tǒng)組合參數(shù)對(duì)擺振的影響，能進(jìn)一步了解擺振機(jī)理。為了有效防止擺振，改進(jìn)機(jī)輪擺振設(shè)計(jì)，深入研究擺振發(fā)生機(jī)理具有重要意義［2，5］。

學(xué)者們采用分岔分析的方法對(duì)前起落架非線性擺振進(jìn)行了一系列研究。針對(duì)前起落架三自由度擺振模型，THOTA等［6］以單輪前起落架為對(duì)象，建立了含有支柱扭轉(zhuǎn)、側(cè)向（橫向）彎曲和輪胎側(cè)向偏移的三自由度擺振數(shù)學(xué)模型，并選取滑跑速度和垂向載荷作為延拓參數(shù)對(duì)模型進(jìn)行了雙參數(shù)分岔分析。在此基礎(chǔ)上，THOTA等［7?8］在模型中增加了支柱的縱向（航向）彎曲自由度，建立了單輪前起落架四自由度模型，對(duì)非線性擺振模型進(jìn)行頻譜分析，發(fā)現(xiàn)支柱的縱向擺振不會(huì)主動(dòng)影響其他類型擺振（扭轉(zhuǎn)和側(cè)向擺振）。

此外，THOTA等［9］以雙輪前起落架為對(duì)象，建立了包含支柱扭轉(zhuǎn)、側(cè)向彎曲和兩個(gè)輪胎側(cè)向偏移的四自由度擺振數(shù)學(xué)模型，應(yīng)用分岔理論分析了雙輪輪間距和機(jī)輪轉(zhuǎn)動(dòng)慣量等參數(shù)對(duì)擺振穩(wěn)定性的影響，同時(shí)進(jìn)行了余維3分岔分析，發(fā)現(xiàn)輪間距和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量在一定范圍內(nèi)增加均會(huì)使側(cè)向擺振變得更加穩(wěn)定。CHENG等［10］基于THOTA的雙輪前起落架擺振數(shù)學(xué)模型，研究了雙Hopf分岔問(wèn)題，在Neimark?Sacker分岔曲線上檢測(cè)到1︰3和1︰4的強(qiáng)共振點(diǎn)；并且由于高階項(xiàng)的影響，經(jīng)雙Hopf分岔點(diǎn)延拓出的Neimark?Sacker曲線將擺振雙穩(wěn)區(qū)的范圍進(jìn)行了重新劃分。馮飛等［11］考慮雙輪是否共轉(zhuǎn)，建立了雙輪前起落架四自由度擺振模型，應(yīng)用分岔理論分析了輪間距和雙輪共轉(zhuǎn)對(duì)擺振穩(wěn)定性的影響。

針對(duì)六自由度起落架擺振模型，RAHMANI等［12?13］根據(jù)THOTA的雙輪模型，并結(jié)合油氣式緩沖器的試驗(yàn)數(shù)據(jù)，建立了含有支柱縱向彎曲和軸向位移的六自由度擺振模型，應(yīng)用靈敏度分析方法，研究了結(jié)構(gòu)中自由間隙對(duì)擺振的影響，并且發(fā)現(xiàn)庫(kù)侖摩擦力是影響擺振起始點(diǎn)和類型的關(guān)鍵因素。HOWCROFT等［14?15］以雙輪主起落架為對(duì)象，考慮支柱的扭轉(zhuǎn)、側(cè)向、縱向、軸向四個(gè)自由度和兩個(gè)輪胎的變形，建立了六自由度擺振數(shù)學(xué)模型，采用分岔理論分別研究了模型有無(wú)結(jié)構(gòu)間隙時(shí)的擺振動(dòng)力學(xué)行為。

目前，國(guó)內(nèi)外學(xué)者主要針對(duì)飛機(jī)前起落架的扭轉(zhuǎn)和側(cè)向擺振進(jìn)行了分岔研究，并且在雙輪模型中大多只考慮支柱的扭轉(zhuǎn)和側(cè)向彎曲兩個(gè)擺振自由度。HOWCROFT等［12?13］和RAHAMNI等［14?15］的雙輪模型雖然考慮了支柱的縱向彎曲和軸向位移，但前者的模型對(duì)象為主起落架，后者對(duì)前起落架擺振模型沒(méi)有進(jìn)行分岔分析，并且模型中僅考慮了緩沖器的壓縮行程，沒(méi)有考慮行程變化對(duì)系統(tǒng)剛度的影響，模型相對(duì)不夠完善。基于此，本文結(jié)合文獻(xiàn)［9］和［13］，建立含有支柱扭轉(zhuǎn)、側(cè)向彎曲、縱向彎曲和軸向位移以及雙輪側(cè)向偏移的前起落架擺振六自由度模型，同時(shí)考慮軸向位移對(duì)系統(tǒng)剛度的影響。應(yīng)用該模型，研究了支柱軸向位移對(duì)擺振的影響；對(duì)比分析了六自由度模型和傳統(tǒng)四自由度模型的擺振分岔曲線圖，并選取緩沖器最大行程、滑跑速度、垂向載荷和機(jī)輪轉(zhuǎn)動(dòng)慣量作為延拓參數(shù)，進(jìn)行雙參數(shù)Hopf分岔分析。最后，采用四階Runge?Kutta法和快速傅里葉變換，詳細(xì)分析了擺振雙穩(wěn)態(tài)區(qū)域內(nèi)的頻域特性。

1 前起落架擺振六自由度模型

1.1 模型自由度描述

起落架系統(tǒng)各自由度如圖1和圖2所示。其中包含4個(gè)起落架結(jié)構(gòu)自由度，即支柱扭轉(zhuǎn)角θ、側(cè)向彎曲角δ、縱向彎曲角β和支柱軸向位移U，以及2個(gè)輪胎側(cè)向偏移自由度λ（λL和λR）。

圖1（a）中FZ表示垂向作用在支柱頂端的集中載荷，S表示支柱的中心軸線，lg為前起落架的實(shí)際高度，γ為機(jī)輪平面的側(cè)傾角，F(xiàn)ZL和FZR分別為左、右前輪受到地面的支持力；圖1（b）中的D為輪間距；圖1（c）中的?為支柱的前傾角，e為機(jī)械穩(wěn)定距（機(jī)輪中心點(diǎn)到支柱軸線S的距離），eeff為有效穩(wěn)定距。

本文對(duì)輪胎進(jìn)行動(dòng)力學(xué)分析時(shí)，應(yīng)用了von Schlippe張線理論模型，如圖2所示。圖中α為側(cè)偏角；h和σ分別為輪胎觸地線長(zhǎng)度的一半和輪胎的松弛長(zhǎng)度；θ1為機(jī)輪的偏航角，由于考慮了支柱前傾角和縱向彎曲角，因此機(jī)輪偏航角θ1要略小于支柱扭轉(zhuǎn)角θ，二者之間的關(guān)系為θ1=θcos（β+?）。

圖1和圖2中V為飛機(jī)滑跑速度。

1.2 模型建立

在建立模型之前，需要進(jìn)行下列幾點(diǎn)假設(shè)與定義：

（1）假設(shè)輪胎不出現(xiàn)滾動(dòng)滑移；

（2）不考慮機(jī)身運(yùn)動(dòng)對(duì)前起落架擺振的影響；

（3）用支柱頂端的垂向集中載荷代替前起落架所承受的機(jī)體載荷；

（4）忽略輪胎變形對(duì)支柱軸向位移的影響，用緩沖器行程表示支柱的軸向位移；

（5）忽略支柱壓縮行程對(duì)起落架側(cè)向和縱向剛度的影響。

根據(jù)動(dòng)力學(xué)平衡原理和Von Schlippe張線理論，建立了雙輪前起落架擺振的六自由度動(dòng)力學(xué)模型。描述支柱的扭轉(zhuǎn)、側(cè)向彎曲、縱向彎曲和軸向位移的方程分別為：

圖3中，T為極限環(huán)的非退化折分岔曲線，紅色虛線所在的參數(shù)范圍內(nèi)，系統(tǒng)存在單個(gè)穩(wěn)定平衡點(diǎn)。從該區(qū)域范圍開(kāi)始，逆時(shí)針?lè)较蛴^察，當(dāng)紅色虛線穿過(guò)l1的負(fù)半軸時(shí)，系統(tǒng)存在唯一的穩(wěn)定極限環(huán)（綠色虛線參數(shù)范圍）；當(dāng)綠色虛線穿過(guò)l1的正半軸時(shí)，系統(tǒng)出現(xiàn)兩個(gè)穩(wěn)定性相反的極限環(huán)（藍(lán)色虛線參數(shù)范圍）；當(dāng)藍(lán)色虛線穿過(guò)曲線T時(shí)極限環(huán)消失，留下單個(gè)穩(wěn)定平衡點(diǎn)。

上述理論分析過(guò)程提供了擺振穩(wěn)定分析的基本思路。由于Neimark?Sacker分岔在擺振問(wèn)題中為亞臨界的，系統(tǒng)可能出現(xiàn)的多倍周期和擬周期運(yùn)動(dòng)是短暫的［8］，此處不對(duì)其進(jìn)行具體分析。

根據(jù)本文所計(jì)算的分岔曲線，分岔分析基本流程如圖4所示。本文具體對(duì)擺振進(jìn)行分岔計(jì)算時(shí)使用了Matlab中的Matcont工具箱。鑒于本文模型的動(dòng)力學(xué)方程較為復(fù)雜，為了保證模型計(jì)算精度，在Matcont中選用了變步長(zhǎng)ODE45延拓算法。

3 支柱軸向位移影響分析

在相同工況條件下，通過(guò)雙參數(shù)分岔曲線圖，將本文六自由度模型與THOTA四自由度模型進(jìn)行比較，分析了增加軸向位移對(duì)扭轉(zhuǎn)和側(cè)向擺振區(qū)域的影響。此外，分別選取滑跑速度V、垂向載荷FZ和機(jī)輪轉(zhuǎn)動(dòng)慣量I作為延拓參數(shù)，與緩沖器最大壓縮行程Um組合進(jìn)行雙參數(shù)分岔分析。

3.1 模型比較

根據(jù)圖4所示的分析流程，選取滑跑速度V和垂向載荷FZ為延拓參數(shù)，對(duì)本文模型進(jìn)行雙參數(shù)分岔計(jì)算，并與文獻(xiàn)［9］中THOTA傳統(tǒng)四自由度模型進(jìn)行比較。

各擺振參數(shù)取值按表1進(jìn)行選取，除本文增加的參數(shù)外，其余參數(shù)的取值均與文獻(xiàn)［9］相同，其中Um=0.6 m，I=0.1 kg·m2。計(jì)算得到的動(dòng)力學(xué)模型分岔圖如圖5所示?？梢钥闯?，本文模型的扭轉(zhuǎn)擺振曲線相比四自由度模型有縮小趨勢(shì)，側(cè)向擺振曲線有向上移動(dòng)趨勢(shì)。發(fā)生該變化主要是因?yàn)樵诳紤]支柱軸向位移的同時(shí)，起落架扭轉(zhuǎn)剛度Kθ、側(cè)向轉(zhuǎn)動(dòng)慣量Iδ和縱向轉(zhuǎn)動(dòng)慣量Iβ也發(fā)生了變化。下面將從Kθ、Iδ、Iβ這三個(gè)參數(shù)來(lái)分析六自由度模型擺振曲線變化的原因。

首先計(jì)算不同Kθ時(shí)擺振曲線的分岔圖。由于暫時(shí)只觀察Kθ所帶來(lái)的影響，為控制其他參數(shù)不變，故選用THOTA四自由度模型來(lái)進(jìn)行計(jì)算。根據(jù)式（23）可知，在考慮支柱軸向位移時(shí)，起落架扭轉(zhuǎn)剛度最大值約為1.1×106 N?m/rad，因此在3.8×105和1.1×106之間等間距選取Kθ值進(jìn)行計(jì)算，結(jié)果如圖6中實(shí)線所示。圖6中虛線為THOTA四自由度模型在Kθ=3.8×105 N?m/rad時(shí)的擺振曲線。

由圖6中可以看出，隨著扭轉(zhuǎn)剛度Kθ增加，扭轉(zhuǎn)擺振曲線有明顯縮小的趨勢(shì)，并且側(cè)向擺振曲線向下移動(dòng)。當(dāng)Kθ值超過(guò)9.2×105 N?m/rad時(shí)，將不會(huì)出現(xiàn)扭轉(zhuǎn)擺振曲線，側(cè)向擺振曲線也不再向下移動(dòng)。

在僅觀察不同Iδ值對(duì)擺振曲線影響時(shí)，同樣可以使用傳統(tǒng)四自由度模型；而觀察不同Iβ值的影響時(shí)，則需要使用考慮支柱縱向彎曲的五自由度模型，即式（1）～（6）。此外根據(jù)式（20）和（21）發(fā)現(xiàn)，Iβ和Iδ的值可以相互表示，因此在此處改變Iδ和Iβ值，同時(shí)計(jì)算傳統(tǒng)四自由度和五自由度模型擺振分岔曲線，在軸線位移變化范圍內(nèi)，起落架側(cè)向轉(zhuǎn)動(dòng)慣量約在300～600 kg?m2范圍內(nèi)變動(dòng)，計(jì)算結(jié)果如圖7所示。

圖7中（a1）、（b1）和（c1）為只考慮Iδ變化的四自由度模型擺振曲線；（a2）、（b2）和（c2）為考慮Iβ和Iδ變化的五自由度模型擺振曲線?？梢钥闯觯S著Iδ值的變小，扭轉(zhuǎn)擺振曲線有擴(kuò)大趨勢(shì)，側(cè)向擺振曲線有向上移動(dòng)趨勢(shì)?？紤]支柱縱向彎曲后發(fā)現(xiàn)，扭轉(zhuǎn)擺振曲線和側(cè)向擺振曲線幾乎沒(méi)有變化，這也符合文獻(xiàn)［8］中縱向擺振不主動(dòng)參與其他類型擺振的結(jié)論。

增加支柱軸向位移后，隨著緩沖器的壓縮量增加，起落架扭轉(zhuǎn)剛度增大，而起落架側(cè)向和縱向轉(zhuǎn)動(dòng)慣量減小。當(dāng)Um取0.6 m時(shí)，在圖6和圖7中可以看出，扭轉(zhuǎn)剛度引起扭轉(zhuǎn)擺振曲線縮小程度比側(cè)向和縱向轉(zhuǎn)動(dòng)慣量引起扭轉(zhuǎn)擺振曲線擴(kuò)大程度更加明顯；相反，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量變化引起的側(cè)向擺振曲線向上移動(dòng)程度比剛度程度更明顯。因此，圖5所示六自由度模型的扭轉(zhuǎn)擺振曲線會(huì)呈縮小趨勢(shì)，側(cè)向擺振曲線會(huì)呈向上移動(dòng)趨勢(shì)，即扭轉(zhuǎn)擺振和側(cè)向擺振區(qū)域均縮小。

3.2 延拓參數(shù)的選取

在動(dòng)力系統(tǒng)中，當(dāng)速度項(xiàng)和加速度項(xiàng)同時(shí)為零時(shí)，動(dòng)力系統(tǒng)達(dá)到平衡狀態(tài)。在前起落架擺振動(dòng)力學(xué)方程（1）～（6）中，需要滿足各擺振變量的一階導(dǎo)與二階導(dǎo)同時(shí)為零，如下式所示：

式（32）～（36）表明，系統(tǒng)的平衡狀態(tài)與延拓參數(shù)Um、Fz和lg有關(guān)，但與延拓參數(shù)V和I無(wú)關(guān)。在擺振分岔分析中，只需考慮系統(tǒng)的零平衡狀態(tài)，雖然系統(tǒng)平衡狀態(tài)與參數(shù)V和I無(wú)關(guān)，但應(yīng)用Hurwitz準(zhǔn)則可以得出零平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性與所有延拓參數(shù)均有關(guān)［10］。其中l(wèi)g可以用軸向位移表示，這里不作單獨(dú)分析。前起落架系統(tǒng)在穩(wěn)定后的軸向位移接近緩沖器最大行程Um，可以用Um間接反映支柱軸向位移，因此選取參數(shù)Um、V、FZ和I進(jìn)行擺振雙參數(shù)分岔分析。

3.3 雙參數(shù)分岔分析

3.3.1 緩沖器最大行程和滑跑速度

選取緩沖器最大行程Um和滑跑速度V作為延拓參數(shù)進(jìn)行雙參數(shù)分岔計(jì)算。其中，F(xiàn)Z=2.86×105 N，I=0.8 kg?m2。雙參數(shù)分岔圖如圖8所示。

圖8中l(wèi)1和l2為Hopf分岔曲線，中間陰影區(qū)域?yàn)榕まD(zhuǎn)擺振穩(wěn)定區(qū)，兩側(cè)空白區(qū)域不發(fā)生擺振。為了更加直觀地理解各區(qū)域的擺振類型，分別在圖8中選取點(diǎn)A1（5，0.9），B1（75，0.6）和C1（175，0.5）對(duì)支柱的四個(gè)自由度進(jìn)行了相平面和時(shí)間歷程的計(jì)算，如圖9所示。

圖9（a1）～（a3）分別為各點(diǎn)的扭轉(zhuǎn)側(cè)向擺振相圖9（b1）～（b3）和（c1）～（c3）為縱向彎曲和軸向位移的時(shí)間歷程。從相圖中可以看出，兩側(cè)空白區(qū)域內(nèi)的A1和C1兩點(diǎn)處扭轉(zhuǎn)和側(cè)向擺振角度最終都趨于0°，不發(fā)生擺振。而中間陰影區(qū)域內(nèi)的B1點(diǎn)處扭轉(zhuǎn)擺振幅值約為0.14 rad（8.02°），側(cè)向擺振幅值很小可將其忽略，主要發(fā)生扭轉(zhuǎn)擺振；圖9（b1）～（b3）中支柱縱向偏轉(zhuǎn)角僅有0.001 rad（0.06°）左右也可忽略，但能看出B1、C1點(diǎn)偏轉(zhuǎn)角度比A1點(diǎn)大，出現(xiàn)這一現(xiàn)象的原因是起落架支柱高度不同，相同工況下高度越高，縱向偏轉(zhuǎn)角度越大；在圖9（c1）～（c3）軸向位移時(shí)域圖中能看出，軸向位移的大小最終將接近緩沖器最大壓縮行程。

3.3.2 緩沖器最大行程和垂向載荷

選取緩沖器最大行程Um和垂向載荷FZ作為延拓參數(shù)進(jìn)行雙參數(shù)分岔計(jì)算，其中V=180 m/s，I=0.8 kg·m2，F(xiàn)Z?Um的雙參數(shù)分岔圖如圖10所示。

n

圖10中的lA、lB分別為側(cè)向擺振和扭轉(zhuǎn)擺振的Hopf分岔曲線。由分岔曲線劃分得到的區(qū)域①不發(fā)生擺振，區(qū)域②發(fā)生扭轉(zhuǎn)擺振，區(qū)域③和④發(fā)生小幅扭轉(zhuǎn)側(cè)向擺振。

各區(qū)域內(nèi)相圖如圖11所示，在區(qū)域①內(nèi)相圖可以看出支柱扭轉(zhuǎn)和側(cè)偏擺振角度都趨于0 rad；區(qū)域②內(nèi)扭轉(zhuǎn)擺振角度明顯大于側(cè)偏擺振角度且角度僅有0.005 rad（0.29°），可視為該區(qū)域內(nèi)發(fā)生扭轉(zhuǎn)擺振，工程中應(yīng)盡量避免在區(qū)域②內(nèi)取值；區(qū)域③和④內(nèi)扭轉(zhuǎn)和側(cè)偏擺振角度相差不大，發(fā)生較小幅度的扭轉(zhuǎn)側(cè)偏擺振。

3.3.3 緩沖器最大行程和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量

選取緩沖器最大行程Um和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量I作為延拓參數(shù)進(jìn)行雙參數(shù)分岔計(jì)算，其中V=180 m/s，F(xiàn)Z=2.86×105 N，I?Um的雙參數(shù)分岔圖如圖12所示。

圖12中l(wèi)為Hopf分岔曲線，空白區(qū)域?yàn)椴粩[振區(qū)域，陰影部分為扭轉(zhuǎn)側(cè)向擺振穩(wěn)定區(qū)域。分別選取A2和B2點(diǎn)進(jìn)行數(shù)值計(jì)算，得到圖13所示隨時(shí)間變化的相圖。由圖13（a）中可以看出，在給定初始激勵(lì)后，空白區(qū)域內(nèi)A2處隨時(shí)間變化兩種擺振角度均趨于0 rad，圖13（b）在陰影區(qū)域內(nèi)B2處兩種擺振角度最終呈穩(wěn)定的周期變化。為了減少擺振的發(fā)生，在工程中I和Um參數(shù)值應(yīng)盡量避免在陰影區(qū)域內(nèi)選取。

4 支柱縱向彎曲影響分析

本節(jié)主要研究增加支柱縱向彎曲自由度后的擺振特性，故本節(jié)模型不考慮支柱軸向位移變化對(duì)起落架扭轉(zhuǎn)剛度、側(cè)向轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和縱向轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的影響，令Kθ=3.8×105 N?m/rad，Iδ=600 kg?m2，Iβ=750 kg?m2。

雖然現(xiàn)有學(xué)者分析支柱縱向彎曲對(duì)擺振的影響，但大多基于單輪前起落架模型。在雙輪前起落架中，由于機(jī)輪平面的側(cè)傾，使得兩輪的幾何滾動(dòng)半徑不同［5］，這將影響擺振發(fā)生的頻率［19］，因此有必要使用雙輪前起落架模型分析支柱縱向彎曲自由度對(duì)擺振的影響。由于支柱縱向彎曲剛度較大，擺振幅值較小，為了體現(xiàn)支柱縱向彎曲自由度的擺振特性，本節(jié)將使用時(shí)頻分析方法進(jìn)行研究。首先對(duì)模型進(jìn)行雙參數(shù)分岔計(jì)算，劃分出擺振穩(wěn)定區(qū)，之后在雙穩(wěn)態(tài)區(qū)域內(nèi)選取工況點(diǎn)來(lái)進(jìn)行擺振時(shí)頻分析。

4.1 擺振穩(wěn)定區(qū)劃分

圖14為雙輪前起落架擺振雙參數(shù)分岔圖。其中I=0.1 kg?m2，其余參數(shù)的取值均與表1相同。圖中左斜線的區(qū)域Ⅰ以扭轉(zhuǎn)擺振為主，為扭轉(zhuǎn)擺振穩(wěn)定區(qū)；陰影區(qū)域Ⅱ?yàn)閿[振雙穩(wěn)區(qū)，其穩(wěn)定后的擺振類型與初始激勵(lì)有關(guān)；右斜線的區(qū)域Ⅲ為側(cè)向擺振穩(wěn)定區(qū)；空白的區(qū)域Ⅳ不發(fā)生擺振。

圖14中CL為側(cè)向擺振的Hopf分岔曲線，CT為扭轉(zhuǎn)擺振的Hopf分岔曲線。曲線CT上檢測(cè)出兩點(diǎn)退化的Hopf分岔點(diǎn)PGH1和PGH2，該兩點(diǎn)將扭轉(zhuǎn)擺振曲線分成了兩部分，實(shí)線部分存在穩(wěn)定的極限環(huán)，而虛線部分為不穩(wěn)定的極限環(huán)。曲線CL和CT的交點(diǎn)PHH1和PHH2是雙Hopf分岔點(diǎn)，經(jīng)過(guò)該兩點(diǎn)進(jìn)行兩次Hopf分岔延拓，可以得到兩條Neimark?Sacker（N?S）分岔曲線CNS1和CNS2，并且在N?S曲線上可以檢測(cè)到三個(gè)1︰3強(qiáng)共振點(diǎn)PR3和兩個(gè)1︰4強(qiáng)共振點(diǎn)PR4、PR3和PR4點(diǎn)附近會(huì)出現(xiàn)短暫的周期3和周期4的扭轉(zhuǎn)側(cè)向擺振現(xiàn)象。曲線CGC是由點(diǎn)PGH1和PGH2延拓的極限環(huán)分岔曲線，其與N?S曲線相切于極限環(huán)的分岔點(diǎn)PLPNS，并且共同組成了雙穩(wěn)態(tài)區(qū)域的邊界。

在擺振穩(wěn)定區(qū)內(nèi)選取工況點(diǎn)計(jì)算時(shí)發(fā)現(xiàn)，扭轉(zhuǎn)擺振穩(wěn)定區(qū)Ⅰ內(nèi)的時(shí)頻特性與雙穩(wěn)態(tài)區(qū)域初始激勵(lì)接近零平衡狀態(tài)時(shí)相同；側(cè)向擺振穩(wěn)定區(qū)Ⅲ內(nèi)的時(shí)頻特性與雙穩(wěn)態(tài)區(qū)域初始激勵(lì)遠(yuǎn)離零平衡狀態(tài)時(shí)相同。因此本文不再詳細(xì)分析扭轉(zhuǎn)和側(cè)向擺振穩(wěn)定區(qū)內(nèi)的時(shí)頻特性。下面主要對(duì)擺振雙穩(wěn)態(tài)區(qū)域進(jìn)行時(shí)頻特性分析。

4.2 擺振雙穩(wěn)態(tài)區(qū)域

前起落架系統(tǒng)擺振是高度非線性系統(tǒng)，其在嚴(yán)格意義上不存在固有頻率［21］，本節(jié)不考慮結(jié)構(gòu)變形所帶來(lái)的剛度變化，并忽略了耦合項(xiàng)的作用，分別對(duì)支柱扭轉(zhuǎn)、側(cè)向彎曲和縱向彎曲的單個(gè)自由度擺振固有頻率fθ， fδ和fβ進(jìn)行了估算，表達(dá)式為［19］：

式（37）所使用的FZ值為2.86×105 N，計(jì)算得到fθ=9.71 Hz，fδ=15.3 Hz，fβ=31.5 Hz。

在雙穩(wěn)態(tài)區(qū)Ⅱ內(nèi)選取點(diǎn)A（80，450000）進(jìn)行計(jì)算，其中I=0.1 kg?m2，Um=0.6 m。在該區(qū)域內(nèi)給定了兩種初始激勵(lì)，初始激勵(lì)一（接近零平衡點(diǎn)）的角度θ=0.01 rad，δ=0.01 rad和β=0.01 rad，其余初值均為零；初始激勵(lì)二（遠(yuǎn)離零平衡點(diǎn)）的角度θ=0.01 rad，δ=0.2 rad和β=0.01 rad，其余擺振變量（U除外）初值均為零。

圖15（a）～（f）為雙穩(wěn)態(tài)區(qū)域內(nèi)且在初始激勵(lì)一時(shí)的時(shí)間歷程和頻譜圖。圖15（a）、（c）和（e）分別為支柱扭轉(zhuǎn)、側(cè)向和縱向振動(dòng)時(shí)間歷程圖。選取開(kāi)始發(fā)生振動(dòng)的0～10 s、穩(wěn)定振動(dòng)的40～50 s和90～100 s三個(gè)時(shí)間段進(jìn)行頻域變換，得到圖15（b）、（d）和（f）所示的頻譜圖。

圖15（b）為扭轉(zhuǎn)振動(dòng)頻譜圖，支柱扭轉(zhuǎn)振動(dòng)頻率始終在11.2 Hz附近，接近扭轉(zhuǎn)擺振固有頻率估計(jì)值fθ=9.71 Hz，并且在33.7 Hz（約為3倍扭轉(zhuǎn)振動(dòng)頻率）附近還伴有極小振幅的振動(dòng)。需要說(shuō)明的是，由于影響結(jié)構(gòu)固有頻率的因素有很多，當(dāng)改變滑跑速度和垂向載荷時(shí)，結(jié)構(gòu)的固有頻率也有可能發(fā)生變化，所以B點(diǎn)穩(wěn)定后的扭轉(zhuǎn)擺振頻率為11.2 Hz，與計(jì)算的固有頻率略有不同。圖15（d）為側(cè)向振動(dòng)頻譜圖，開(kāi)始振動(dòng)時(shí)，側(cè)向擺振發(fā)生在16.1 Hz和11.2 Hz附近，即在側(cè)向固有頻率和扭轉(zhuǎn)固有頻率附近，穩(wěn)定后側(cè)向振動(dòng)發(fā)生在扭轉(zhuǎn)固有頻率附近。圖15（f）為縱向振動(dòng)頻譜圖，開(kāi)始振動(dòng)時(shí)，縱向擺振發(fā)生在31.5 Hz附近，即縱向固有頻率附近，穩(wěn)定后縱向振動(dòng)發(fā)生在2倍扭轉(zhuǎn)固有頻率附近。

圖16的（a）～（f）為雙穩(wěn)態(tài)區(qū)域內(nèi)且在初始激勵(lì)二時(shí)的時(shí)間歷程和頻譜圖。由圖16（a）、（c）和（e）的時(shí)間歷程圖中可以看出，初始側(cè)向擺振角δ取0.2 rad（遠(yuǎn)離零平衡點(diǎn)）時(shí)，側(cè)向擺振出現(xiàn)了較明顯的振幅，縱向不發(fā)生擺振。雙穩(wěn)態(tài)區(qū)域內(nèi)發(fā)生較小振幅的扭轉(zhuǎn)側(cè)向擺振。

圖16（b）為扭轉(zhuǎn)擺振在0～100 s內(nèi)的頻譜圖，從圖中可以看出，在0～10 s內(nèi)，扭轉(zhuǎn)振動(dòng)的頻率出現(xiàn)了10.2、16.1、48.2 Hz三種頻率的疊加，但振動(dòng)主要發(fā)生在16.1 Hz附近，其中10.2 Hz接近扭轉(zhuǎn)擺振的固有頻率，16.1 Hz接近側(cè)向擺振的固有頻率，48.2 Hz接近3倍的側(cè)向固有頻率。在40～50 s和90～100 s內(nèi)，扭轉(zhuǎn)振動(dòng)的頻率為16.1 Hz主要發(fā)生在側(cè)向擺振固有頻率附近；圖16（d）為側(cè)向擺振在0～100 s內(nèi)的頻譜圖，在0～100 s內(nèi)，側(cè)向振動(dòng)始終發(fā)生在16.1 Hz附近（側(cè)向固有頻率附近）。圖16（f）為縱向擺振在0～100 s內(nèi)的頻譜圖，在0～10 s內(nèi)，縱向振動(dòng)頻率主要在縱向擺振固有頻率31.5 Hz附近。在40～50 s和90～100 s內(nèi)，縱向振動(dòng)的頻率在32.1 Hz附近，主要發(fā)生在2倍側(cè)向擺振固有頻率附近。

綜上分析，在雙穩(wěn)態(tài)（初始激勵(lì)接近零平衡狀態(tài)時(shí)）區(qū)域內(nèi)穩(wěn)定后，扭轉(zhuǎn)和側(cè)向振動(dòng)都發(fā)生在扭轉(zhuǎn)固有頻率附近，同時(shí)扭轉(zhuǎn)振動(dòng)還在3倍扭轉(zhuǎn)固有頻率附近存在極小振幅的振動(dòng)，縱向振動(dòng)發(fā)生在2倍扭轉(zhuǎn)擺振固有頻率附近；在雙穩(wěn)態(tài)（初始激勵(lì)遠(yuǎn)離零平衡狀態(tài)時(shí)）區(qū)域內(nèi)，扭轉(zhuǎn)擺振的頻率主要發(fā)生在側(cè)向固有頻率附近，并且在3倍側(cè)向固有頻率附近也伴有小幅的振動(dòng)。側(cè)向擺振的頻率始終發(fā)生在側(cè)向固有頻率附近?？v向擺振穩(wěn)定后的頻率發(fā)生在2倍的側(cè)向固有頻率附近。

上述擺振穩(wěn)定區(qū)之間的振動(dòng)頻率規(guī)律與文獻(xiàn)［8］和［19］中單輪前起落架的研究結(jié)果相似，即縱向自由度不會(huì)主動(dòng)影響其他擺振自由度。不同的是在單輪前起落架擺振雙穩(wěn)態(tài)區(qū)域內(nèi)，縱向振動(dòng)僅發(fā)生在2倍的扭轉(zhuǎn)固有頻率附近。而在雙輪模型的雙穩(wěn)態(tài)區(qū)域內(nèi)，當(dāng)初始激勵(lì)接近零平衡狀態(tài)時(shí)，縱向擺振發(fā)生在2倍扭轉(zhuǎn)振動(dòng)固有頻率附近；初始激勵(lì)遠(yuǎn)離零平衡狀態(tài)時(shí)，縱向擺振發(fā)生在2倍側(cè)向振動(dòng)固有頻率附近。

5 結(jié) "論

本文建立了含有支柱軸向位移和縱向彎曲的六自由度雙輪前起落架擺振模型，對(duì)增加軸向位移帶來(lái)的影響進(jìn)行了雙參數(shù)Hopf分岔分析，并應(yīng)用四階Runge?Kutta法和快速傅里葉變換詳細(xì)分析了擺振雙穩(wěn)態(tài)區(qū)域內(nèi)的時(shí)頻特性。主要結(jié)論如下：

（1）在一定工況條件下，考慮支柱軸向位移的六自由度模型相比THOTA傳統(tǒng)四自由度模型，扭轉(zhuǎn)擺振區(qū)域和側(cè)向擺振區(qū)域都有縮小趨勢(shì)。

（2）在單輪和雙輪前起落架中支柱縱向擺振的發(fā)生頻率帶并不完全相同。雙輪前起落架在雙穩(wěn)態(tài)區(qū)域（初始激勵(lì)接近零平衡狀態(tài)）內(nèi)，縱向擺振發(fā)生在2倍扭轉(zhuǎn)固有頻率附近；在雙穩(wěn)態(tài)區(qū)域（初始激勵(lì)遠(yuǎn)離零平衡狀態(tài)）內(nèi)，縱向擺振發(fā)生在2倍的側(cè)向固有頻率附近。

（3）垂向載荷FZ和緩沖器最大行程Um的共同作用對(duì)擺振影響較明顯，并且在FZ和Um值都較大的區(qū)域內(nèi)發(fā)生明顯的扭轉(zhuǎn)擺振，工程中應(yīng)盡量避免FZ和Um值出現(xiàn)在該區(qū)域內(nèi)。

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作者簡(jiǎn)介： 高相國(guó)（1997―），男，碩士研究生。

E?mail： qn1318111912@163.com

通訊作者： 盧 "翔（1969―），男，博士，教授。

E?mail： xlu@cauc.edu.cn