振幅增強(qiáng)型超材料梁中彈性波的復(fù)能帶特性分析

摘要： 超長梁結(jié)構(gòu)的振動頻率跨度大，為實(shí)現(xiàn)超長梁結(jié)構(gòu)的寬頻振動控制，在梁上周期布置含有阻尼的振幅增強(qiáng)型動力吸振器。振幅放大裝置通過人為地放大受控點(diǎn)處的振幅，從而提高吸振器的工作能力。為能考慮阻尼的影響，建立了復(fù)能帶分析模型，并基于人工彈簧模型和能量法提出了一種復(fù)能帶計(jì)算方法。利用該方法分析了振幅放大裝置形式、吸振器阻尼和放大系數(shù)對復(fù)能帶的影響。并研究了非接地式振幅放大裝置連接點(diǎn)相對位置對其減振性能的影響。結(jié)果表明，振幅放大裝置形式、吸振器阻尼和放大系數(shù)對復(fù)能帶的影響很大；合適的相對位置能夠大幅度提高非接地式振幅放大裝置的工作能力。

關(guān)鍵詞： 超材料梁； 動力吸振器； 復(fù)能帶； 振幅放大機(jī)制； 人工彈簧

中圖分類號： O327； O328 " "文獻(xiàn)標(biāo)志碼： A " "文章編號： 1004-4523（2025）03-0499-08

DOI：10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2025.03.006

Complex band structure characterization of elastic waves in amplitude enhanced metamaterial beams

GUO Wenjie， HONG Xian， LUO Wenjun， YAN Jianwei， NEI Biao

（State Key Laboratory of Performance Monitoring and Protecting of Rail Transit Infrastructure， East China Jiaotong University， Nanchang 330013， China）

Abstract： Ultra-long beam structure has large vibration frequency span. To control the wide frequency vibration of ultra-long beam structures， amplitude-enhanced dynamic vibration absorbers with damping are arranged periodically on the beam. The amplitude magnification device artificially magnifies the amplitude at the controlled point， thereby increasing the operating ability of the absorber. To be able to consider the effect of damping， a complex band structure analysis model is established， and a new complex band structure calculation method is proposed based on the artificial spring model and the energy method. This method is used to analyze the effect of amplification device type， absorber damping and magnification factor on the complex band structure in detail. The effect of the relative position of the connection points of the ungrounded magnification device on its vibration damping performance is studied. The results show that the magnitude amplification device type， absorber damping and magnification factor have great influence on the complex band structure. The suitably relative position can significantly improve the working ability of the ungrounded magnification device.

Keywords： metamaterial beam； dynamic vibration absorber； complex band structure； amplitude magnification； artificial spring

超長梁結(jié)構(gòu)在工程中具有廣泛的應(yīng)用，如橋梁、鐵路軌道、管道等。這些超長梁結(jié)構(gòu)受到風(fēng)荷載、車荷載、地震波等［1?2］動態(tài)荷載會產(chǎn)生振動，有效抑制結(jié)構(gòu)振動帶來的危害至關(guān)重要。然而這些振動的頻率通常并不固定，且振動頻率跨度很大，因此超長梁結(jié)構(gòu)的寬頻減振具有重要意義。

動力吸振器（dynamic vibration absorber， DVA）是工程上常用的減振裝置之一，DVA通過與主體結(jié)構(gòu)振動頻率發(fā)生共振轉(zhuǎn)移和耗散結(jié)構(gòu)中的能量，從而降低結(jié)構(gòu)的振動［3］。振幅放大機(jī)構(gòu)能夠通過放大連接處的位移來提高DVA的吸振效果，杠桿是一種簡易且有效的放大機(jī)構(gòu)。LEE等［4］設(shè)計(jì)了一種杠桿式DVA，并證明了它的有效性。李春祥等［5］研究了杠桿多重DVA的動力特性，結(jié)果表明該裝置能夠提供較好的有效性和魯棒性。楊曉彤等［6］提出了一種含振幅放大機(jī)構(gòu)和慣容的接地剛度動力吸振器，并依據(jù)H∞優(yōu)化準(zhǔn)則對吸振器進(jìn)行了參數(shù)優(yōu)化，結(jié)果表明其能夠大幅降低主系統(tǒng)的振幅，拓寬減振頻帶。從上述研究中可知，振幅增強(qiáng)型DVA能實(shí)現(xiàn)寬頻減振的目的。

周期結(jié)構(gòu)具有特殊的濾波特性，能夠讓某些頻率波在結(jié)構(gòu)中傳播，而其他頻率波則會產(chǎn)生衰減，該特性也被稱為帶隙特性。LIU等［7］提出的局域共振的概念，拓寬了周期結(jié)構(gòu)運(yùn)用場景。將吸振裝置作為局域共振器，周期布設(shè)于結(jié)構(gòu)中，以抑制波在結(jié)構(gòu)中的傳播。這一想法也應(yīng)用在梁結(jié)構(gòu)的減振中［8?9］。XIAO等［10］研究了周期布設(shè)DVA的梁的傳輸特性，并通過推導(dǎo)和物理模型解釋了周期性系統(tǒng)帶隙的形成機(jī)制。這種周期性梁結(jié)構(gòu)也被稱為超材料梁。張垚等［11］設(shè)計(jì)了基于磁流變彈性體的超材料梁，可以在不改變結(jié)構(gòu)的情況下實(shí)現(xiàn)對超材料梁帶隙的調(diào)節(jié)。朱學(xué)治等［12］將轉(zhuǎn)動振子周期布置于基體梁上形成超材料梁，并分析了轉(zhuǎn)動振子的轉(zhuǎn)動慣量和轉(zhuǎn)動剛度對帶隙的影響。本文也將利用周期結(jié)構(gòu)的帶隙特性，通過周期布設(shè)振幅增強(qiáng)型DVA形成超材料梁，以實(shí)現(xiàn)對大跨度梁的寬頻振動調(diào)控。

周期結(jié)構(gòu)的帶隙計(jì)算方法根據(jù)計(jì)算模式的不同可以分為實(shí)能帶和復(fù)能帶。實(shí)能帶是通過給定波數(shù)得到頻率，現(xiàn)今很多方法都是基于該模式，如有限元法［11］、平面波展開法［13］、多重散射法［14］和集中質(zhì)量法［15］等。而復(fù)能帶與實(shí)能帶相反，其是通過給定頻率求解波數(shù)。相較于實(shí)能帶，復(fù)能帶既能得到帶隙的頻率又能獲得衰減特性，有更大的分析優(yōu)勢。但復(fù)能帶求解方法更加復(fù)雜，因此計(jì)算方法也相對有限。如傳遞矩陣法［12］、擴(kuò)展平面波展開法［16］、擴(kuò)展微分正交法［17］和擴(kuò)展有限元法［18］等。傳遞矩陣法是一種天然的復(fù)能帶分析方法，但適用性較差，一般僅用于一維周期結(jié)構(gòu)的計(jì)算；擴(kuò)展平面波展開法計(jì)算流程直觀，但收斂性差；擴(kuò)展微分正交法也僅在一維結(jié)構(gòu)中使用；擴(kuò)展有限元法的適用性很好，但計(jì)算結(jié)果精度與網(wǎng)格劃分精度相關(guān)。上述方法在其使用范圍內(nèi)都有很好的應(yīng)用，也有各自的缺陷。本文將提出一種復(fù)能帶的分析方法，該方法基于能量法，其計(jì)算模式與有限元相似，但無需劃分網(wǎng)格。

在之前的工作中［19］提出了基于人工彈簧模型（artificial spring model，ASM）和能量法的實(shí)能帶計(jì)算方法。該方法利用人工彈簧模擬周期邊界條件，使得能量法的形函數(shù)無需滿足復(fù)雜的Bloch理論，并且將波數(shù)僅存在于周期邊界條件的彈簧勢能中，掃描波數(shù)時無需計(jì)算全部矩陣，大大提高了能量法計(jì)算帶隙的效率。本文進(jìn)一步改進(jìn)ASM，將其擴(kuò)展到復(fù)能帶的計(jì)算中。

1 理論計(jì)算

1.1 裝置模型介紹

動力吸振器的吸振效果與吸振器的質(zhì)量和剛度相關(guān)［20］，放大受控點(diǎn)的振幅，相當(dāng)于增加吸振器的質(zhì)量和剛度，從而提高吸振器的工作能力。文獻(xiàn)［21］分析了振幅放大裝置的工作機(jī)制。杠桿是一種常見、簡易和有效的振幅放大（amplitude magnification， AM）裝置。本文研究利用杠桿連接吸振器形成的振幅放大吸振器（AMDVA）。根據(jù)杠桿支撐的方式不同，可以分為接地式和非接地式。

1.1.1 接地式AMDVA模型

如圖1所示，接地式AMDVA的支撐點(diǎn)和地面（固定點(diǎn)）相連，接地式AMDVA能夠獲得很好的減振效果。其中，質(zhì)量塊提供AMDVA的質(zhì)量mDVA，橡膠層提供AMDVA的剛度kDVA和阻尼cDVA，振幅放大系數(shù)表示為α=l2/l1，其中，l1為支撐點(diǎn)到受控點(diǎn)的桿長，l2為吸振器與桿的連接處到支撐點(diǎn)的桿長。假設(shè)受控點(diǎn)處基體梁的垂向位移為w1，此時DVA處的位移為αw1。

1.1.2 非接地式AMDVA模型

如圖2所示，非接地式AMDVA的受控點(diǎn)和支撐點(diǎn)均在連接的基體梁上，因此非接地式AMDVA在裝配上更加靈活。設(shè)支撐點(diǎn)處的垂向位移為w2，那么傳導(dǎo)到DVA上的振幅則為α（w1-w2）。

1.2 基于ASM的復(fù)能帶計(jì)算

提出的基于ASM和能量法的實(shí)能帶計(jì)算方法［19］，能夠簡單高效地得到結(jié)構(gòu)的實(shí)能帶曲線。在工程中，往往需要得到結(jié)構(gòu)的衰減特性，而這是實(shí)能帶所不能做到的。因此，建立復(fù)能帶分析模型，能更全面地分析周期結(jié)構(gòu)的振動特性。本文將基于ASM和能量法提出一種復(fù)能帶計(jì)算方法。該方法的基本計(jì)算思路是：利用ASM模擬周期邊界條件，波數(shù)k僅存在人工彈簧的彈性勢能中。通過處理ASM的剛度矩陣，將波數(shù)k和剛度矩陣解耦，進(jìn)而給定頻率ω求解波數(shù)k。

如圖3所示，在梁下周期布設(shè)AMDVA，間隔為l，梁的寬度和高度分別為b和h。梁的垂向振動基于歐拉梁理論。根據(jù)能量法，梁的垂向振動可以由與時間相關(guān)的未知系數(shù)a（t）和與位置相關(guān)的形函數(shù)f（x）組成：

2 數(shù)值分析

2.1 模型參數(shù)

在本文中，梁的材料為鋼，密度為7850 kg/m3，彈性模量為210 GPa，泊松比為0.3，梁的高度和寬度均為0.03 m。AMDVA的布設(shè)間距為0.6 m，質(zhì)量塊和一個周期單元梁的質(zhì)量比為0.03，吸振頻率fDVA=500 Hz，剛度取值采用單自由度的固有頻率計(jì)算公式得到：k_DVA=m_DVA （2πf_DVA ）^2。AMDVA的受控點(diǎn)位于一個周期單元的中間，受控點(diǎn)到支撐點(diǎn)的桿長為l1=0.05 m，支撐點(diǎn)到DVA連接處的桿長為l2=0.15 m。在本節(jié)中，采用接地式AMDVA作為研究對象，暫不考慮阻尼的影響。后續(xù)分析中，除非另外說明，否則參數(shù)保持不變。

2.2 收斂性分析

在使用基于ASM的能量法時，復(fù)能帶的計(jì)算精度與模擬位移的形函數(shù)個數(shù)和虛擬彈簧的剛度相關(guān)。本節(jié)將利用控制變量法，研究二者取值的收斂性。

2.2.1 形函數(shù)個數(shù)

本文方法是利用N個形函數(shù)來模擬位移，N的取值也決定了復(fù)能帶的精度。將位移和轉(zhuǎn)角的人工彈簧剛度均取為1014，其單位分別為N/m和N·m/rad。以頻率為2000、 4000、 6500 Hz時，波數(shù)的實(shí)數(shù)部分取值為參考。圖4為形函數(shù)個數(shù)的收斂曲線。從圖4中可以看到，當(dāng)形函數(shù)個數(shù)取為14時，6500 Hz以內(nèi)的復(fù)能帶就可以收斂。

2.2.2 虛擬彈簧剛度

正如1.2節(jié)中所述，使用ASM模擬周期邊界時，虛擬彈簧的剛度取值為無窮大，因此在計(jì)算過程中，需要用一個“大”值來代替。ASM計(jì)算結(jié)果的準(zhǔn)確性與剛度密切相關(guān)，因此需要分析虛擬彈簧剛度取值的收斂性。取形函數(shù)個數(shù)N=15，同樣以頻率為2000、 4000、 6500 Hz時，波數(shù)的實(shí)數(shù)部分取值為參考。圖5為虛擬彈簧剛度取值的收斂曲線。從圖5中可以看出，當(dāng)虛擬彈簧剛度取值為1013 N/m時，6500 Hz以內(nèi)的復(fù)能帶結(jié)構(gòu)就可以收斂。綜上，在后續(xù)的分析中，將形函數(shù)個數(shù)為15，虛擬彈簧剛度取值為1013。

2.3 準(zhǔn)確性驗(yàn)證

COMSOL能夠提供周期邊界條件，得到周期結(jié)構(gòu)的帶隙特性。本節(jié)將通過與有限元計(jì)算的結(jié)果進(jìn)行對比，研究本文方法的準(zhǔn)確性。利用COMSOL的固體力學(xué)模塊建立如圖3所示的有限元模型，并利用特征頻率研究得到結(jié)構(gòu)的復(fù)能帶。圖6為COMSOL的有限元模型，圖中的藍(lán)色部分為基體梁，下方的紅色部分為剛性桿，桿的末尾黑色部分為吸振器，黑點(diǎn)的位置為彈簧阻尼器的連接位置。如圖7所示，梁和桿之間采用彈簧阻尼器連接，彈簧阻尼器的垂向剛度設(shè)置為1015 N/m，以模擬剛性連接；支撐點(diǎn)處采用彈性基礎(chǔ)模擬，彈性基礎(chǔ)各向彈簧均為1015 N/m，以模擬剛性固定約束；質(zhì)量塊和桿之間采用彈性薄層連接，剛度取值與吸振器剛度取值一致。

可以看出FEM的實(shí)能帶結(jié)果和ASM計(jì)算得到的復(fù)能帶實(shí)部結(jié)果在4000 Hz以內(nèi)吻合地較好，而對于4000 Hz以上，因?yàn)榱耗Ｐ瓦x用的不同會產(chǎn)生誤差，其中最大的誤差為4.04%，可以認(rèn)為該段誤差在可接受范圍內(nèi)，由此可以證明ASM的正確性。從圖8（a）中可以看出，設(shè)有AMDVA的周期性梁的前三段帶隙分別為：155～195 Hz、481～615 Hz、782～907 Hz。根據(jù)Bragg散射機(jī)理，當(dāng)波長滿足條件：2l=nr（n=1， 2， 3，…），其中，r為波長，l為單元長度。Bragg散射頻率的估算公式為：f_Bragg=√（EI/ρA） "（n^2 π）/（2l^2 ），將2.1節(jié)中的參數(shù)代入此公式中，當(dāng)n=1時，fBragg=195.4 Hz；當(dāng)n=2時，fBragg=781.7 Hz。由此可知155～195 Hz和782～907 Hz為Bragg帶隙。圖8（b）為結(jié)構(gòu)的衰減特性曲線，可以看出由AMDVA共振產(chǎn)生的帶隙具有最大的衰減。而由Bragg散射產(chǎn)生的帶隙的衰減相對較小。

3 復(fù)能帶特性研究

復(fù)能帶既能得到周期結(jié)構(gòu)的振動傳播規(guī)律，還能獲得衰減特性，相較于實(shí)能帶具有更大的分析優(yōu)勢。本文將分析分別布設(shè)了接地式AMDVA和非接地式MDVA的周期性梁的復(fù)能帶特性。

3.1 裝置形式的復(fù)能帶

在1.1節(jié)中介紹了接地式和非接地式的AMDVA，并分析了兩者的特點(diǎn)，兩種裝置的不同結(jié)構(gòu)形式的減振效果也需要進(jìn)行定量分析。在實(shí)際工程中往往會加入阻尼來提升DVA的減振效果，因此在本節(jié)中，設(shè)置阻尼系數(shù)cDVA=100 N/（m/s）。

設(shè)置的振幅放大吸振器的吸振頻率為500 Hz，因此在分析復(fù)能帶時，分析頻段范圍為0～1500 Hz。由圖9可知，AMDVA和傳統(tǒng)DVA在吸振頻率500 Hz均會產(chǎn)生帶隙。接地式AMDVA具有遠(yuǎn)超非接地式AMDVA的吸振頻率與吸振效果，并且非接地式AMDVA比傳統(tǒng)DVA有更好的工作能力。從圖9（a）中可以看出，當(dāng)DVA中含有阻尼后，復(fù)能帶的實(shí)部很難正確地反映出振動的傳播規(guī)律。因此唯有復(fù)能帶的虛部才能準(zhǔn)確地分析出含阻尼DVA的振動傳播與衰減規(guī)律。

3.2 阻尼對復(fù)能帶的影響

阻尼的耗散作用對工程結(jié)構(gòu)的減振具有重要意義，而這是實(shí)能帶所不能準(zhǔn)確描述的。在上一節(jié)的分析中也看出復(fù)能帶實(shí)部并不能準(zhǔn)確地描述振動的傳播與衰減，本節(jié)將利用復(fù)能帶虛部研究阻尼的影響。

如圖10（a）所示，無阻尼的非接地式AMDVA僅在500 Hz左右小范圍內(nèi)有強(qiáng)烈衰減，而添加阻尼的非接地式AMDVA能夠擴(kuò)大減振頻率，但也降低了衰減程度。在190～196 Hz有一段很小的衰減區(qū)域，這段帶隙區(qū)域幾乎不受阻尼的影響，這段帶隙是由Bragg散射產(chǎn)生，而吸振器對Bragg散射的影響很小，也就導(dǎo)致阻尼對該段頻率的影響不大。圖10（b）中的154～196 Hz處的帶隙不變的原因與非接地式AMDVA一致。而且因?yàn)榻拥厥紸MDVA的良好放大效果，梁結(jié)構(gòu)產(chǎn)生了寬頻帶隙且有較好的衰減。綜上所述，阻尼的滯后效應(yīng)拓寬了局域共振帶隙，并降低了衰減程度；原來的通帶頻率會產(chǎn)生衰減，且阻尼越大衰減程度越大。

3.3 放大系數(shù)對復(fù)能帶的影響

振幅放大裝置的放大系數(shù)很大程度上決定了AMDVA減振效果。放大系數(shù)越大，即對杠桿的材料和空間要求更高，同時也具有傾覆的風(fēng)險。對于放大系數(shù)的分析是十分必要的。圖11為放大系數(shù)對復(fù)能帶虛部的影響，其中云圖的顏色表示復(fù)能帶振動的衰減程度，顏色越紅表示衰減越大，顏色越藍(lán)表示衰減越小，云圖顏色條上的值表示復(fù)能帶的虛部取值。

從圖11中可以看出，隨著放大系數(shù)的增大，這兩類AMDVA的減振頻率和減振能力均會得到增強(qiáng)，且接地式AMDVA的工作能力具有明顯的增強(qiáng)。對于非接地式AMDVA，其最大的衰減頻率始終維持在500 Hz。而接地式AMDVA的最大衰減頻率會隨著放大系數(shù)的增加而增加。其原因在于：放大系數(shù)會增大DVA的等效質(zhì)量，從而導(dǎo)致DVA的等效質(zhì)量相較于主體結(jié)構(gòu)變得不可忽視，單自由度的計(jì)算方法不再準(zhǔn)確。

4 受控點(diǎn)和支撐點(diǎn)之間的相對位置

對非接地式AMDVA的影響

非接地式AMDVA的布設(shè)靈活，能夠很好地適應(yīng)工程實(shí)際，但在上述研究中也發(fā)現(xiàn)，非接地式AMDVA的減振效果相對有限，如何在不改變DVA參數(shù)的前提下提升非接地式AMDVA減振效果是本節(jié)的研究重點(diǎn)。受控點(diǎn)和支撐點(diǎn)的相對位置會影響非接地式AMDVA的工作能力。因?yàn)榻Y(jié)構(gòu)具有周期性，因此本節(jié)將受控點(diǎn)置于一個周期單元的起點(diǎn)，通過移動支撐點(diǎn)的位置來研究受控點(diǎn)和支撐點(diǎn)之間的相對位置對非接地式AMDVA的影響，并設(shè)受控點(diǎn)和支撐點(diǎn)的相對位置為Δx。將Δx從0增大到0.6，結(jié)果如圖12所示，云圖的顏色條上的值表示復(fù)能帶的虛部取值。

從圖12中可以看出：受控點(diǎn)和支撐點(diǎn)的相對位置會顯著影響非接地式AMDVA的減振效果，也就意味著調(diào)節(jié)兩點(diǎn)的相對位置能夠提高非接地式AMDVA的工作能力；當(dāng)兩連接點(diǎn)的相對位置處于0.2～0.35時，非接地式AMDVA具有較寬的減振頻率以及很好的衰減率。

提取Δx=0.6和Δx=0.33時非接地式AMDVA的復(fù)能帶虛部，如圖13所示?？傮w上，Δx=0.33時非接地式AMDVA的減振效果比Δx=0.6時的更加優(yōu)異。而且，Δx=0.33時，非接地式AMDVA的減振效果甚至超過了接地式AMDVA。為研究產(chǎn)生該現(xiàn)象的原因，繪出振動頻率為500 Hz時的基體梁的振型圖，如圖14所示。當(dāng)Δx=0.6時，受控點(diǎn)和支撐點(diǎn)之間的位移差很小，意味著放大效果不明顯，也就導(dǎo)致減振效果提升不夠；當(dāng)Δx=0.33時，兩點(diǎn)之間的位移差更大，也就有著更好的減振效果。為更好地使用非接地式AMDVA，在確定吸振頻率后，可以根據(jù)基體結(jié)構(gòu)的振型布設(shè)受控點(diǎn)和支撐點(diǎn)，以獲得更好減振效果。

5 結(jié) "論

為降低梁結(jié)構(gòu)的振動，本文將兩種振幅放大型吸振器分別周期布設(shè)于梁上，并從復(fù)能帶的角度研究兩種裝置的減振效果。本文基于ASM和能量法，提出了一種復(fù)能帶的計(jì)算方法，并詳細(xì)說明了該方法的計(jì)算流程。通過控制變量法，確定了本方法虛擬彈簧剛度取值和形函數(shù)個數(shù)的收斂性，并利用FEM驗(yàn)證了提出方法的正確性。之后研究了兩種裝置形式、材料阻尼和振幅放大系數(shù)對復(fù)能帶的影響。得到了以下結(jié)論：

（1）接地式AMDVA和非接地式AMDVA比傳統(tǒng)DVA有著更好的減振寬度和衰減性能。

（2）復(fù)能帶能夠準(zhǔn)確地反映阻尼對振動傳遞的影響，阻尼能夠拓寬局域共振帶隙，并降低其衰減程度；而原本的通帶頻率在阻尼作用下會產(chǎn)生衰減，且阻尼越大衰減程度越大。

（3）放大系數(shù)的增加會提高AMDVA的工作能力，且對接地式AMDVA的工作能力提高得更加明顯。

（4）非接地式AMDVA的減振效果與受控點(diǎn)和支撐點(diǎn)的相對位置相關(guān)，通過調(diào)整相對位置，能夠大幅度提高其工作能力。

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第一作者： 郭文杰（1991―），男，博士，副教授。

E-mail： 739633869@qq.com

通信作者： 羅文?。?979―），女，博士，教授。

E-mail： lwj06051979@163.com