耦合分段線性剛度NES系統(tǒng)能量傳遞和耗散研究

摘要： 針對耦合分段線性剛度NES的能量傳遞效率及系統(tǒng)能量耗散進行了研究。采用復變量?平均法得到了1∶1內共振下耦合分段線性剛度能量阱的二自由度系統(tǒng)慢變方程。應用多項式近似法得到了系統(tǒng)慢不變流形兩極值點的近似表達式，以此得到了耦合分段線性剛度能量阱系統(tǒng)的能量傳遞效率方程以及能量耗散方程，并分析了分段間隙和分段線性剛度對能量傳遞效率的影響以及阻尼比與耗散時間的關系。研究結果表明，系統(tǒng)的能量傳遞效率隨著耦合分段線性剛度能量阱分段間隙的增大而降低，隨著分段剛度的增大而提高；能量耗散時間隨著主結構阻尼系數(shù)的增大而縮短。通過調節(jié)結構參數(shù)，分段線性剛度能量阱能夠高效抑制主結構的振動。

關鍵詞： 非線性振動； 非線性能量阱； 復變量?平均法； 分段線性剛度

中圖分類號： O322 " "文獻標志碼： A " "文章編號： 1004-4523（2025）03-0480-10

DOI：10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2025.03.004

Energy transfer and dissipation studies of coupled piecewise linear stiffness NES system

ZHANG Yunhao1， WANG Jun1，2， SHEN Yongjun1，2， ZHANG Jianchao2

（1. School of Mechanical Engineering， Shijiazhuang Tiedao University， Shijiazhuang 050043， China；

2. State Key Laboratory of Mechanical Behavior and System Safety of Traffic Engineering Structures，

Shijiazhuang Tiedao University， Shijiazhuang 050043， China）

Abstract： The energy transfer efficiency and energy dissipation of coupled piecewise linear stiffness energy sink are studied. The equation of systematic slow-varying equations of the two-degree-of-freedom system coupled with the piecewise linear stiffness energy is derived by the complex variable-averaging method under 1∶1 internal resonance. The approximate expression of two extreme points of the slow-invariant manifold is obtained by using the polynomial approximation method， and the energy transfer efficiency equation and energy dissipation equation of the coupled piecewise linear stiffness energy sink system are obtained. The effects of piecewise gap and piecewise linear stiffness on energy transfer efficiency and the relationship between damping coefficient of the main structure and dissipation time are analyzed. The results indicate that the energy transfer efficiency of the system decreases as the piecewise gap of the coupled piecewise linear stiffness energy sink increases， while it increases with an increase of piecewise stiffness. Additionally， it decreases with an increase of the damping system of the main structure. Therefore， adjusting structural parameters， the piecewise linear stiffness energy sink can effectively mitigate vibrations within the main structure.

Keywords： nonlinear vibration；nonlinear energy sink；complex-averaging method；piecewise linear stiffness

非線性能量阱（nonlinear energy sinks，NES）以其振動能量耗散效率高、魯棒性好和質量小等特點［1?2］，越來越多地被應用于航天設備振動抑制中［3?6］。非線性能量阱是一種被動減振設備，把它附加在主結構（即振動抑制對象）上，通過能量定向傳遞（target energy transfer，TET）對主結構的振動能量進行高效吸收和耗散。

VAKAKIS［1］發(fā)現(xiàn)當沖擊載荷大于某個臨界值時，帶有立方剛度的非線性能量阱才會發(fā)生能量定向傳遞。LEE等［7］研究了非線性能量阱中主結構的質量比對系統(tǒng)TET的影響，研究證明當質量比足夠小時系統(tǒng)才會發(fā)生TET。SHIROKY等［8］引入復變平均法通過系統(tǒng)的慢方程來研究非線性剛度對NES振動抑制效率的影響，結果表明合理的非線性剛度能夠提升NES吸振效率。楊一帆等［9］利用復變量?平均法研究了一種含負剛度NES的剛度和阻尼對系統(tǒng)靶向能量傳遞的影響，研究表明當剛度和阻尼以及負剛度取值范圍合適時，系統(tǒng)具有更好的能量傳遞效果。樓京俊等［10］利用增量諧波平衡法研究了耦合非線性能量阱的動力學模型，探討了阻尼參數(shù)、質量比參數(shù)和剛度參數(shù)對非線性能量阱振動抑制效果的影響規(guī)律。張運法等［11］利用復變量?平均法求解了耦合組合剛度非線性能量阱系統(tǒng)慢不變方程，并研究了系統(tǒng)參數(shù)對減振效果的影響。CHEN等［12］利用復變量?平均法求解了受諧波激勵的耦合非光滑非線性能量阱系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)方程，分析了非線性能量阱剛度對其減振性能的影響。LI等［13］研究了諧波激勵下被動振動控制的雙穩(wěn)態(tài)非線性能量匯，并利用復平均法進行解析處理，得到慢不變流形，經(jīng)過分析得出雙穩(wěn)態(tài)非線性能量阱具有良好的寬頻特性。甄冬等［14］建立了負剛度非線性能量阱的汽車模型，基于復變量平均法推導了系統(tǒng)的慢變方程，研究了系統(tǒng)鞍結分岔邊界條件，并對平衡點穩(wěn)定性進行了分析，證明了立方剛度非線性能量阱相比負剛度非線性能量阱具有更好的減振效果。楊豪等［15］提出了一種具有混合阻尼的非線性能量阱吸振器，研究了不同阻尼混合類型對系統(tǒng)動力學性能的影響，基于振動傳遞率和能量耗散對比，分析了混合阻尼非線性能量阱系統(tǒng)的動力學特性。姚永玉等［16］建立了懸臂梁耦合非線性能量阱的動力學模型，基于能量耗散分析了非線性能量阱抑振性能與激勵強度之間的關系。熊懷等［17］研究了含立方剛度的耦合非線性能量阱的阻尼對系統(tǒng)能量耗散的影響，并通過數(shù)值分析驗證了非線性能量阱的能量耗散時間與阻尼比有關。熊懷［18］基于復變量平均法推導出白噪聲作用下的系統(tǒng)能量傳遞和耗散與結構參數(shù)的函數(shù)關系，從系統(tǒng)內部能量流動的角度分析了系統(tǒng)阻尼對能量傳遞和耗散的影響。王菁菁等［19］提出了一種脈沖型荷載作用下的非對稱非線性能量阱，并采用數(shù)值仿真方法研究了非對稱非線性能量阱的振動控制性能以及頻率魯棒性。符翔等［20］對基于非線性能量阱的彈性支承梁進行研究，利用能量法分析了非線性能量阱對主結構振動的能量消耗。王錦濤等［21］建立了非線性耦合振子內在保守系統(tǒng)并通過復變量?平均法推導了系統(tǒng)的慢變動力學方程，研究了完全能量傳遞時非線性振子的臨界質量和系統(tǒng)初始能量需滿足的關系。黎文科等［22］建立了一種對稱軌道型單側碰撞非線性能量阱，通過數(shù)值仿真的方法分析了系統(tǒng)參數(shù)變化對振動抑制性能的影響。

在工程應用中，完美的立方剛度難以實現(xiàn)，為了使NES更具有工程應用價值，帶有分段線性剛度的NES以其易實現(xiàn)、易調節(jié)等特點逐漸被學者們所關注。LAMARQUE等［23］通過復變量?平均法分析了非光滑調諧式非線性能量阱產生TET的條件與含立方剛度的非線性能量阱類似，并發(fā)現(xiàn)非光滑分段剛度NES能夠在與主結構的1∶1共振中通過穩(wěn)定振動軌道分支的突然跳躍傳遞系統(tǒng)的絕大部分能量。GEORGIADIS等［24］將分段線性剛度加入到非線性能量阱中，發(fā)現(xiàn)了分段間隙和分段線性剛度兩個參數(shù)的設置會影響系統(tǒng)受到?jīng)_擊激勵后的吸振效果。GENDELMAN等［25］提出了一種對分段線性剛度函數(shù)的近似方法，利用復變傅里葉函數(shù)對分段線性函數(shù)進行推導，通過數(shù)值仿真證明了函數(shù)的有效性。SUN等［26］提出了一種具有分段線性阻尼和分段線性剛度組合的NES系統(tǒng)，通過對主系統(tǒng)施加周期正弦外激勵，得到了系統(tǒng)類似于掃頻曲線的理論頻率響應特性關系。崔泰毓等［27］通過復變量?平均法對受沖擊激勵的分段線性剛度能量阱的能量耗散效率進行了優(yōu)化，建立了以提高分段線性剛度能量阱能量耗散效率為目標的優(yōu)化模型，實驗證明優(yōu)化模型提高了分段線性能量阱的能量耗散效率。曹焱博等［28］建立了一種含分段線性剛度梁形式的非光滑非線性能量阱，采用數(shù)值法分析了系統(tǒng)在共振時，非光滑非線性能量阱對轉子以及葉片振動的抑制能力。姚紅良等［29］研發(fā)了一種具有分段線性剛度的非線性能量阱，分析了該系統(tǒng)的剛度和阻尼特性。目前，尚未有文獻研究分段線性剛度非線性能量阱的能量傳遞效率及其能量耗散，但參考立方剛度能量阱的研究經(jīng)驗，不難發(fā)現(xiàn)對分段線性剛度NES的能量傳遞及其耗能研究是很有必要的。

本文研究了耦合分段線性剛度能量阱的能量傳遞效率以及系統(tǒng)能量耗散，首先通過復變量?平均法推導耦合分段線性剛度能量阱的二自由度系統(tǒng)下的慢變方程，然后應用多項式近似法得到慢不變流形兩個極值點的近似表達式，推導出分段線性剛度能量阱的能量傳遞效率表達式以分析分段間隙和分段剛度對能量傳遞效率的影響，進而利用復變量?平均法推導出系統(tǒng)的能量耗散方程，以分析阻尼比與耗散時間的關系，最后通過數(shù)值模擬驗證上述分析的有效性。

1 非線性能量阱系統(tǒng)模型

1.1 耦合分段線性剛度能量阱系統(tǒng)的動力學模型

以最基本的有阻尼自由振動分析為例，系統(tǒng)模型如圖1所示：

選取參數(shù)為ε=0.08，λ_1=0.2，λ_2=0.2，ω_0=1， k_1=1，k_2=1.5，x_1=x_2=0，x ˙_1=1.5，x ˙_2=0，分別繪制線性系統(tǒng)與非線性系統(tǒng)位移響應曲線對比圖、系統(tǒng)主結構能量隨時間變化曲線以及系統(tǒng)主結構相圖。由圖11可知，未加NES的線性系統(tǒng)做自由衰減振動，系統(tǒng)能量通過自身阻尼逐漸消耗；加有耦合分段線性剛度NES的系統(tǒng)，其振動衰減快，且能量大部分都傳至NES消耗。由圖12可知，隨著時間的增大，兩系統(tǒng)振動能量慢慢減小并趨于穩(wěn)定。耦合分段剛度NES系統(tǒng)的振動能量減小速率比未耦合NES線性系統(tǒng)快。

5 結 "論

本文研究了一種耦合分段線性剛度能量阱系統(tǒng)，分析了1∶1內共振下系統(tǒng)的能量傳遞效率以及能量耗散，并進一步分析了系統(tǒng)主要參數(shù)對能量傳遞效率的影響以及阻尼比與耗散時間的關系，研究表明：

（1）在相同條件下耦合分段線性剛度NES相較于立方剛度NES具有如下兩個優(yōu)點，一是耦合分段線性剛度NES系統(tǒng)所需觸發(fā)能量傳遞的初始能量值更小，二是更容易實現(xiàn)能量傳遞，且具有更高的能量傳遞效率。

（2）在分段線性剛度NES阻尼系數(shù)不變的情況下，減小分段間隙能夠提高系統(tǒng)的能量傳遞效率，但分段間隙存在一個極小值界限。當分段間隙小于這個極小值界限時，系統(tǒng)將失去能量傳遞的功能；當分段線性剛度NES阻尼系數(shù)一定時，增大分段線性剛度NES的剛度系數(shù)也能夠提高系統(tǒng)的能量傳遞效率。

（3）當主結構阻尼比小于一定值時，耦合分段線性剛度NES系統(tǒng)的能量耗散時間遠小于立方剛度NES系統(tǒng)的能量耗散時間，且主結構阻尼比越大，耦合NES系統(tǒng)的能量耗散時間越短，振動抑制效果越好。

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第一作者： 通信作者：張云浩（1996—），男，碩士。

E-mail： zyh18831255240@163.com

通信作者： 王 "軍（1979—），女，博士，教授。

E-mail： jxfywj@163.com