基于DC-DC變換器的分?jǐn)?shù)階PID控制仿真設(shè)計(jì)

摘要：為了驗(yàn)證分?jǐn)?shù)階建模的精確性，進(jìn)行了數(shù)值仿真研究.基于分?jǐn)?shù)階PID對(duì)數(shù)值仿真模型進(jìn)行控制，并依據(jù)分抗逼近電路的基本原理，搭建了電感和電容的分抗逼近電路，通過(guò)觀察輸出電壓波形，驗(yàn)證電感和電容分?jǐn)?shù)階物理模型的正確性.結(jié)果表明，在保持Kp、Ki、Kd參數(shù)不變的情況下，分?jǐn)?shù)階PID控制響應(yīng)更快、控制效果更優(yōu).基于Charef－I型分抗逼近電路的分?jǐn)?shù)階電感和電容的分抗逼近模型能有效反映整數(shù)階模型的特點(diǎn).

關(guān)鍵詞：分?jǐn)?shù)階微積分；分抗逼近電路；BOOST升壓變換器；分?jǐn)?shù)階PID控制器

中圖分類號(hào)：TP273"" 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

Design and Verification ofFractional Order Control for DC-DC Converters

LIAO Hui-hui

（School of Electrical Engineering， Anhui Polytechnic of Industrial Economics， Hefei 230051， China）

Abstract：In order to verify the accuracy of fractional order modeling， numerical simulation research is conducted. Based on fractional order PID， the numerical simulation model is controlled， and according to the basic principle of fractional impedance approximation circuit， a fractional impedance approximation circuit for inductance and capacitance is constructed. By observing the output voltage waveform， the correctness of the fractional order physical model for inductance and capacitance is verified. The results show that fractional-order PID control has faster response and better control effect than traditional PID control under the condition that Kp. Ki. Kd parameter remains unchanged. The fractional order inductance and capacitance impedance approximation model based on Charef-I type impedance approximation circuit can better reflect the characteristics of integer order models.

Key words：fractional calculus; partial impedance approximation circuit; BOOST voltage converter; fractional order PID controller

0 引言

分?jǐn)?shù)階微積分學(xué)在控制領(lǐng)域中的應(yīng)用非常廣泛.在設(shè)計(jì)控制器時(shí)，第一步通常對(duì)被控對(duì)象進(jìn)行數(shù)學(xué)建模分析，方便設(shè)計(jì)控制器的同時(shí)對(duì)被控對(duì)象的性質(zhì)得以了解^[1].然而，在實(shí)際研究過(guò)程中，絕大部分對(duì)象具有非線性性質(zhì)或混沌性質(zhì)，使得通過(guò)數(shù)學(xué)推導(dǎo)方式建模變得極為困難^[2].然而，若要建立分?jǐn)?shù)階數(shù)學(xué)模型，通常只能通過(guò)系統(tǒng)辨識(shí)的方法，但這種方法研究難度較大，因此目前大部分學(xué)者更專注于設(shè)計(jì)分?jǐn)?shù)階控制器^[3].顏閩秀等^[4]基于自適應(yīng)滑?？刂破髋c混沌參數(shù)自適應(yīng)律，設(shè)計(jì)了一種新的分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)電路，提高混沌電路控制的準(zhǔn)確性.鄧穎等^[5]為實(shí)現(xiàn)分形分抗逼近電路在運(yùn)算特征與性能方面的應(yīng)用，提出分形分抗逼近電路結(jié)構(gòu)特征的簡(jiǎn)略分析法.汪志濤等^[6]利用歸一化迭代方程表征分形分抗逼近電路的運(yùn)算特征，分析電路元件參數(shù)對(duì)分抗電路運(yùn)算性能的影響.然而，對(duì)于分?jǐn)?shù)階與整數(shù)階段電路的控制性能分析研究鮮有報(bào)道.其中，郭淑筠等^[7]為深入分?jǐn)?shù)階電路的研究，將整數(shù)階電路定理運(yùn)用至分?jǐn)?shù)階電路，實(shí)現(xiàn)兩種電路分析過(guò)程的互易、替代及疊加定理的推廣.本文以BOOST電路為研究對(duì)象，采用狀態(tài)空間平均法對(duì)其進(jìn)行建模^[8].為驗(yàn)證分?jǐn)?shù)階建模方法的準(zhǔn)確性與精確度，本研究在數(shù)值仿真中對(duì)比分析了整數(shù)階與分?jǐn)?shù)階模型的性能差異，基于Oustaloup濾波器算法和Mathematica零極點(diǎn)展開(kāi)編程法獲得微分算子的傳遞函數(shù)，并將其分解為零極點(diǎn)形式的部分分式之和，搭建分抗鏈電路作為電感和電容的分?jǐn)?shù)階物理模型，通過(guò)對(duì)比整數(shù)階物理模型的輸出電壓，探究分?jǐn)?shù)階物理模型與實(shí)際模型的相似度；分別為數(shù)值模型添加分?jǐn)?shù)階PID控制器和傳統(tǒng)PID控制器，在保持比例系數(shù)Kp、積分系數(shù)Ki和微分系數(shù)Kd相同的條件下，通過(guò)調(diào)節(jié)分?jǐn)?shù)階PID中微分項(xiàng)和積分項(xiàng)的階次系數(shù)，對(duì)比兩種控制策略產(chǎn)生的響應(yīng)，驗(yàn)證哪種控制器具有更優(yōu)的控制性能.

1 分?jǐn)?shù)階BOOST電路數(shù)學(xué)建模與控制

1.1 CCM模式下BOOST電路的分?jǐn)?shù)階數(shù)學(xué)建模

設(shè)其開(kāi)關(guān)周期為T，占空比為d，定義電感電壓VL的分?jǐn)?shù)階計(jì)算如式（1）所示.

VL=Ld^αiLdtα，（1）

其中，α為電感的分?jǐn)?shù)階階數(shù)，且0lt;αlt;1，L為電感，t為時(shí)間，i為電流.定義電容電流的分?jǐn)?shù)階計(jì)算如式（2）所示.

iC=Cd^βdt^β，（2）

其中：β為電容的分?jǐn)?shù)階階數(shù)，且0lt;βlt;1;C為電容.根據(jù)工作狀態(tài)1（0lt;tlt;dt）的電路模型可以列出vin=Ld^αiLdt^α，Cd^βvoutdt^β+voutR=0.對(duì)于工作狀態(tài)2（dtlt;tlt;T）的電路模型，根據(jù)基爾霍夫第一定律和基爾霍夫電壓定律可以列出vin－vout=Ld^αiLdt^α，Cd^βvoutdt^β=iL－voutR.

由電感電壓在一個(gè)周期內(nèi)的平均值為零（伏秒平衡原理），可列式（3）.

1T∫T0VLdτ=

dvin+1－d（vin－vout）=0.（3）

由式（3）可得vout/vin=1/（1－d）.在BOOST電路中，電感電流iL，輸出電壓vout等電路變量都具有高頻開(kāi)關(guān)紋波，根據(jù)狀態(tài)空間平均法的數(shù)學(xué)原理可知，高頻開(kāi)關(guān)紋波可在一個(gè)開(kāi)關(guān)周期內(nèi)對(duì)電路變量進(jìn)行平均處理而去除^[8]，其計(jì)算如式（4）所示.

lt;xgt;=1T∫^t+Ttxdτ，（4）

其中：x為BOOST電路中的電路變量，lt;xgt;表示對(duì)此變量經(jīng)過(guò)平均處理所得平均值.為研究BOOST電路分?jǐn)?shù)階建模，對(duì)式（3）求γ階微分（0lt;γlt;1），可得式（5）：

d^γlt;xgt;dt^γ=d^γdt^γ1T∫^t+Ttxdτ=

1T∫^t+Ttd^γxdt^γdτ

=lt;d^γxdt^γgt;，（5）

其中，γ為分?jǐn)?shù)階階數(shù).

為建立分?jǐn)?shù)階狀態(tài)空間平均模型，列出物理量如下：電感電流iL，輸出電壓vout，輸入電壓vin，占空比d.定義上述物理量的直流分量分別為：IL，Vout，Vin，D.定義上述物理量的交流分量（小信號(hào)）分別為（交流分量在幅值上遠(yuǎn)小于直流分量的幅值）：iL，vout，vin，d.定義上述物理量在一個(gè)周期內(nèi)的平均值分別為：iL-，vout-，vin-，d-.可求出輸出電壓vouts對(duì)輸入電壓vins的傳遞函數(shù)G1（s）如式（6）所示.

G1s=voutsvinsds=0=

1（1－D）+Ls^α1R+Cs^β1－D.（6）

對(duì)電路進(jìn)行電感電流紋波計(jì)算，根據(jù)式（3）可列出電感電流紋波的值如式（7）所示.

ΔiL=Vin（DT）^αLαΓ（α）.（7）

為求得電感電流連續(xù)條件，即保持電感電流連續(xù)，則iL在任意時(shí)刻都要保持非負(fù)，定義負(fù)載電流為Iout，定義二極管的電流為IDiode，欲使BOOST電路工作在電感電流連續(xù)模式下，則Iout≥IDiode，電阻需滿足的不等式如式（8）所示：

R≤2LαΓ（α）（DT）^α（1－D）².（8）

1.2 分?jǐn)?shù)階BOOST電路分抗逼近電路

（1）分抗逼近電路的實(shí)現(xiàn)

分抗逼近電路的阻抗函數(shù)Z（s）和電路的輸入輸出傳遞函數(shù)H（s）都是復(fù)頻域下算子s的有理函數(shù).只有有理函數(shù)表示的阻抗函數(shù)Z（s）和傳遞函數(shù)H（s）才能通過(guò)現(xiàn)有的整數(shù)階電氣元器件實(shí)現(xiàn).從數(shù)學(xué)理論角度看待分抗逼近電路的實(shí)現(xiàn)是通過(guò)實(shí)系數(shù)有理函數(shù)Zk（s）逼近理想分抗原件系統(tǒng)模型對(duì)應(yīng)的無(wú)理函數(shù)Iμ（s）.逼近的數(shù)學(xué)計(jì)算過(guò)程^[9]如式（9）所示.

Zks=NksDks=

∑nki=0βkisⁱ/∑dki=0αkisⁱk→SymboleB@Iμs∝s^μ，

0lt;|μ|lt;1（9）

其中：k為大于等于零的整數(shù)變量，表示逼近級(jí)次數(shù)，簡(jiǎn)稱級(jí)次或節(jié)數(shù);μ為階次;α為分?jǐn)?shù)階算子的階次;β為逼近分?jǐn)?shù)階算子的階次，正整數(shù)變量nk與dk分別表示分子多項(xiàng)式Nks與分母多項(xiàng)式Dks的次數(shù).由于分?jǐn)?shù)階傳遞函數(shù)的算子s的階數(shù)是非整數(shù)，利用現(xiàn)有的數(shù)學(xué)分析方法難以對(duì)其進(jìn)行理論分析，故需采用整數(shù)階傳遞函數(shù)來(lái)逼近分?jǐn)?shù)階算子.本文采用Oustaloup逼近算法^[10]，其計(jì)算過(guò)程如式（10）所示.

Gs=K∏Nk=1s+ω′ks+ωk，（10）

其中，若k=1，2，3，…，N，零極點(diǎn)與增益可根據(jù)ω′k=ωbω^{（2k－1－γ）/N}u，ωk=ωbω^{（2k－1+γ）/N}u，ωu= ωh/ωb，K=ωγh進(jìn)行計(jì)算.通過(guò)Matlab編程建立一個(gè)新函數(shù)以實(shí)現(xiàn)Oustaloup算法，該函數(shù)在Matlab中的調(diào)用格式為G=ousta_fod（γ，N，ωb，ωh），四個(gè)參數(shù)γ、N、ωb、ωh分別代表分?jǐn)?shù)階算子的階次、濾波器的階數(shù)、欲選取研究頻率段的下限及欲選取研究頻率段的上限.γ值既可以取正代表微分，也可以取負(fù)代表積分，在實(shí)驗(yàn)中選取ωb*ωh=1以獲得更好的擬合效果.改進(jìn)的Oustaloup算法的數(shù)學(xué)模型如式（11）所示.

sγ≈dωhbγ

ds2+bωhsd1－γs2+bωhs+dγ∏Nk=1s+ω′ks+ωk.（11）

（2）分?jǐn)?shù)階電感L的建模

首先對(duì)電感進(jìn)行分抗鏈電路搭建，電感對(duì)應(yīng)的分?jǐn)?shù)階微積分算子是s^0.8，對(duì)其進(jìn)行高階整數(shù)階傳遞函數(shù)擬合，根據(jù)Oustaloup算法對(duì)算子s^0.8進(jìn)行五階逼近.根據(jù)Charef－I型分抗逼近電路原理，知分?jǐn)?shù)階電感的分抗逼近電路如圖1所示.

從圖1可以看出，分?jǐn)?shù)階電感模型通過(guò)多組電阻與電感并聯(lián)之后再串聯(lián)進(jìn)行逼近，其中一組電阻與電感的阻抗計(jì)算如式（12）所示.

ZL=11R1+1jωL1=ωL1R1jR1+jωL1，（12）

其中，L為電感，R為電阻，j為系數(shù)，ω為頻率.將式（12）進(jìn)行拉普拉斯變換后可得式（13）.

ZLs=L1R1sR1+L1s.（13）

推導(dǎo)可得分?jǐn)?shù)階電感的阻抗傳遞函數(shù)如式（14）所示.

HLs=R1L1sL1s+R1+R2L2sL2s+R2+

R3L3sL3s+R3+…+RnLnsLns+Rn，（14）

其中，n代表分?jǐn)?shù)階微分算子展開(kāi)式中最高次冪的階次.由式（14）可得阻抗傳遞函數(shù)為多個(gè)零極點(diǎn)分式和的形式，由分?jǐn)?shù)階電感的阻抗傳遞函數(shù)與分?jǐn)?shù)階電感的分抗逼近電路的形式，可列出對(duì)算子進(jìn)行五階逼近的等價(jià)展開(kāi)式：G1=a+b1ss+c1+b2ss+c2+b3ss+c3+b4ss+c4+b5ss+c5.

根據(jù)式（13）及式（14）將此式系數(shù)處理后，可得：Rnss+RnLn，即bn=Rn、cn=RnLn，n=1，2，3…，5，剩余系數(shù)以此類推.通過(guò)Matlab中求解部分分式展開(kāi)參數(shù)的residue函數(shù)，求解出部分分式展開(kāi)式.

（3）分?jǐn)?shù)階電容C的建模

分?jǐn)?shù)階電容的分抗鏈電路搭建思路與分?jǐn)?shù)階電感類似，電容對(duì)應(yīng)的分?jǐn)?shù)階微積分算子是s^－0.8，對(duì)其進(jìn)行高階整數(shù)階傳遞函數(shù)擬合，采用Oustaloup算法對(duì)算子s^－0.8進(jìn)行五階逼近.根據(jù)Charef－I型分抗逼近電路原理，分?jǐn)?shù)階電容的分抗逼近電路如圖2所示.

由圖2可知，分?jǐn)?shù)階電容模型由多組電阻-電容并聯(lián)單元串聯(lián)進(jìn)行逼近，其中，單個(gè)電阻-電容的阻抗計(jì)算如式（15）所示：

ZC=11R1+jωC1=R11+jωC1R1.（15）

將上式進(jìn)行拉普拉斯變換后可以得到

ZCs=R11+C1R1s.（16）

由以上推導(dǎo)可得，分?jǐn)?shù)階電容傳遞函數(shù)為

HCs=R1R1C1s+1+R2R2C2s+1+

R3R3C3s+1+…+RnRnCns+1，（17）

其中，n代表分?jǐn)?shù)階微分算子展開(kāi)式中的最高次冪的階次，s為算子，Rn為單元電阻，Cn為電容.

2 結(jié)果分析

2.1 PID控制測(cè)試結(jié)果

（1）開(kāi)環(huán)仿真

為測(cè)試分?jǐn)?shù)階與整數(shù)階開(kāi)環(huán)電路控制的效果，設(shè)定仿真參數(shù)vin=5 V，d=0.5，L=5 mH，C=200 μF，f=20 KHz，則ω=2 πf≈1.2610⁵ rad/s，取α=β=0.8，由于電阻R≤178.9886805Ω，取電阻R=100Ω.選擇wh=2*10⁵ rad/s，wb=5*10^－6 rad/s，保證wh*wb=1.進(jìn)行分?jǐn)?shù)階開(kāi)環(huán)數(shù)值仿真，欲實(shí)現(xiàn)電壓從5 V升壓到10 V，仿真結(jié)果如圖3所示.

由圖3可知，分?jǐn)?shù)階開(kāi)環(huán)系統(tǒng)基本實(shí)現(xiàn)了從5V升壓到10V的功能，穩(wěn)態(tài)時(shí)輸出電壓大約為9.998V.然而整數(shù)階BOOST開(kāi)環(huán)電路無(wú)法達(dá)到穩(wěn)態(tài)，且離目標(biāo)值10 V有較大距離，響應(yīng)速度較慢.與分?jǐn)?shù)階BOOST開(kāi)環(huán)電路相比，整數(shù)階系統(tǒng)響應(yīng)較差.

（2）閉環(huán)仿真

對(duì)分?jǐn)?shù)階BOOST電路數(shù)值仿真模型進(jìn)行分?jǐn)?shù)階PID控制.為驗(yàn)證在保持Kp、Ki及Kd參數(shù)不變的情況下，通過(guò)調(diào)節(jié)積分階次λ和微分階次μ，探究分?jǐn)?shù)階PID的控制效果是否更優(yōu)，PID仿真結(jié)構(gòu)如圖4所示.

從4圖可看出，添加分?jǐn)?shù)階PID控制后，系統(tǒng)在0.01 s時(shí)達(dá)到穩(wěn)態(tài).而傳統(tǒng)PID控制器使系統(tǒng)在0.1 s左右達(dá)到穩(wěn)態(tài)，明顯慢于分?jǐn)?shù)階PID控制器.

2.2 分抗逼近電路仿真結(jié)果

搭建電感L分抗逼近電路和電容C分抗逼近電路的分?jǐn)?shù)階物理模型，仿真結(jié)構(gòu)如圖5所示.

從圖5中可知，分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)大約在0.8 s進(jìn)入穩(wěn)態(tài)且穩(wěn)態(tài)值在9.12 V左右，而整數(shù)階物理模型的穩(wěn)態(tài)電壓在9.18 V左右.

2.3 負(fù)載變化對(duì)系統(tǒng)的響應(yīng)

在突變負(fù)載的設(shè)計(jì)中，將原來(lái)的100 Ω電阻拆分為30 Ω和70 Ω，分別與140 Ω并聯(lián)再進(jìn)行串聯(lián)組合，通過(guò)電路設(shè)計(jì)使140 Ω的電阻在某個(gè)時(shí)刻被短路，從而實(shí)現(xiàn)負(fù)載從100 Ω突變到30 Ω.其中，負(fù)載突變實(shí)現(xiàn)模塊為Breaker.該模塊的使用方法為：以端口1和端口2作為接入端口，端口C作為輸入信號(hào)端，向端口C輸入階躍信號(hào)，即可控制端口C與端口2之間的連通，連通時(shí)整個(gè)Breaker模塊等效為一條導(dǎo)線，實(shí)現(xiàn)短路功能；若端口C沒(méi)有信號(hào)輸入時(shí)，端口1和端口2之間阻值為140 Ω，此時(shí)Breaker模塊與并聯(lián)電阻等效為70 Ω，與30 Ω電阻串聯(lián)，構(gòu)成原來(lái)的100 Ω電阻負(fù)載，仿真輸出波形如圖6所示.

從圖6可知，負(fù)載突變前后，分?jǐn)?shù)階BOOST電路物理模型輸出電壓的平均值從9.12 V下降至8.95 V，降幅為0.17 V；整數(shù)階BOOST電路物理模型輸出電壓的平均值從9.18 V下降至9.14 V，降幅為0.04 V.對(duì)比結(jié)果表明，分?jǐn)?shù)階建模方法能夠有效反映整數(shù)階物理模型的特點(diǎn).

3 結(jié)語(yǔ)

研究利用狀態(tài)空間平均法對(duì)BOOST電路進(jìn)行分?jǐn)?shù)階建模，通過(guò)數(shù)值仿真驗(yàn)證模型的正確性，分別通過(guò)分?jǐn)?shù)階PID控制器和傳統(tǒng)PID控制器對(duì)數(shù)值模型進(jìn)行閉環(huán)控制，在保持Kp、Ki、Kd參數(shù)不變的情況下，分?jǐn)?shù)階PID響應(yīng)更快、控制精度更高.通過(guò)Oustaloup算法對(duì)s^0.8和s^－0.8算子的高階整數(shù)階傳遞函數(shù)逼近，并通過(guò)Mathematica軟件對(duì)傳遞函數(shù)進(jìn)行部分分式展開(kāi)，最終得到基于Charef－I型分抗逼近電路的分?jǐn)?shù)階電感與電容模型，仿真結(jié)果驗(yàn)證了模型的正確性.此外，通過(guò)研究負(fù)載變化對(duì)系統(tǒng)的響應(yīng)，發(fā)現(xiàn)分?jǐn)?shù)階模型能夠較好地反映整數(shù)階模型的特點(diǎn).

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［責(zé)任編輯：李嵐 杜佳］