殘余應力對斜齒輪時變嚙合剛度的影響及其動力學分析

關鍵詞：斜齒輪；殘余應力；時變嚙合剛度；動載荷

0 引言

齒輪的時變嚙合剛度是反映齒輪傳動性能的重要指標之一，對齒輪傳動系統(tǒng)的平穩(wěn)運行有重要影響。隨著交通運輸、航空航天、能源等領域的飛速發(fā)展，對齒輪的使用性能提出了更高要求。但齒輪在惡劣工作條件下易發(fā)生點蝕、剝落、裂紋等故障[1]，為了提高齒輪的綜合性能，一般會對其進行淬火熱處理，但淬火后的齒輪會存在大量的殘余應力。因此，準確計算含有殘余應力的斜齒輪時變嚙合剛度，是研究齒輪動態(tài)性能的基礎。

國內(nèi)外學者對齒輪時變嚙合剛度進行了大量研究。馮松等[2]考慮赫茲變形、彎曲變形、剪切變形、齒輪基體變形，計算了齒輪均勻磨損、微點蝕、宏觀點蝕時的齒輪時變嚙合剛度。ENDO等[3]通過對齒輪傳動系統(tǒng)的動力學分析發(fā)現(xiàn)，時變嚙合剛度與齒形幾何誤差是引起齒根裂紋故障與剝落故障不同振動響應的重要因素。YANG等[4]根據(jù)能量法提出了計算時變嚙合剛度的方法。唐進元等[5]利用Abaqus分析軟件建立了不同載荷下弧齒錐齒輪的有限元模型，分析了其時變嚙合剛度。FENG等[6]在切片法的基礎上提出了一種改進的分析方法，研究了不同螺旋角、齒輪寬度等對時變嚙合剛度的影響。廖平等[7]51-56基于有限元顯式動態(tài)分析，改進了弧齒錐齒輪時變嚙合剛度的有限元計算方法，解決了有限元計算多次、計算量大等問題。孟宗等[8]考慮齒輪過渡曲線函數(shù)，建立了完整的齒廓曲線，利用勢能法分析獲得了更為精準的時變嚙合剛度，并分析了含有不同裂紋的6自由度動力學模型。陳勇等[9]61-68將接觸力作為評價斜齒輪疲勞點蝕嚴重程度的參量，通過仿真和試驗分析，研究了不同疲勞點蝕程度的時域和頻域響應。陳慶紅等[10]提出了一種考慮輪齒過渡曲線的時變嚙合剛度改進方法，推導了齒輪在健康狀態(tài)和裂紋狀態(tài)下的時變嚙合剛度計算方法，并在此基礎上求解了振動響應。王剛強[11]9-16基于時變嚙合剛度理論以及靜態(tài)傳遞誤差理論，建立了斜齒輪時變嚙合剛度和傳遞誤差模型，發(fā)現(xiàn)考慮輪體變形影響比不考慮輪體變形影響所形成的力臂更長，產(chǎn)生的變形和撓度更大。

以上文獻很少考慮殘余應力對齒輪嚙合的影響。然而，齒輪制造過程中的熱處理是必不可少的環(huán)節(jié)，所以，為了求得準確的時變嚙合剛度，應考慮淬火殘余應力的影響。本文建立了考慮淬火殘余應力的斜齒輪時變嚙合剛度數(shù)值模擬計算模型；在此基礎上，建立了斜齒輪10自由度動力學模型，分析了淬火殘余應力對時變嚙合剛度的影響，進而分析了其動力學響應。

1 模型理論

1. 1 殘余應力有限元理論

殘余應力有限元計算屬于熱-結(jié)構耦合問題，只需知道齒輪的溫度場變化規(guī)律，就可求解其應力應變場變化規(guī)律。殘余內(nèi)應力由材料因溫度變化規(guī)律而產(chǎn)生的膨脹與收縮所決定。因此，本文考慮彈性應變和塑性應變來求解溫度場下的淬火應力場。根據(jù)有限元平衡理論，單元總應力與外力平衡[12]，則

式中，B 為節(jié)點位移u 和單元總應變ε 的轉(zhuǎn)換矩陣，BT為B 的轉(zhuǎn)置；σ 為單元應力；dV 為單元微體積；P為等效外力。ε與u、B的關系為

1. 2 時變嚙合剛度計算理論

采用單節(jié)點嚙合法[7]51-52，求得每一對輪齒嚙合時接觸區(qū)域的節(jié)點齒面法向接觸力與彈性變形，進而可以得到從動輪（大齒輪）與主動輪（小齒輪）接觸區(qū)域的單節(jié)點時變嚙合剛度，再對其進行線性疊加，即可得到1個嚙合周期的時變嚙合剛度。在考慮淬火殘余應力時，單節(jié)點嚙合法能夠有效地將殘余應力分布到接觸區(qū)域內(nèi)的每一個節(jié)點，在模型的準確性方面表現(xiàn)出色。任意節(jié)點i 的嚙合剛度ki 為

由于斜齒輪嚙合時接觸面為橢圓形，因此，需要求解主、從動輪接觸區(qū)域內(nèi)節(jié)點的嚙合剛度，并對其進行線性疊加。得到的主、從動輪單齒時變嚙合剛度kp、kg分別為

2 數(shù)值模型

2. 1 齒輪參數(shù)

本文研究對象為20CrMnTi斜齒輪對，其三維幾何模型如圖1所示[11]8-9，其幾何參數(shù)如表1所示。

對斜齒輪進行有限元分析前，需要對齒輪進行有限元前處理，以便有效地消除齒面誤差、提高齒面的精度；然后，采用三維建模軟件建立斜齒輪實體模型并進行網(wǎng)格劃分，通過細致的網(wǎng)格劃分操作，特別是在大、小齒輪的齒面相互接觸區(qū)域進行網(wǎng)格細化，以確保模型的精確性和數(shù)值穩(wěn)定性，該過程有助于更準確地模擬斜齒輪的行為，滿足分析的需求；最后，將模型導入CAE軟件中進行計算。

2. 2 淬火殘余應力模型

在有限元理論計算中，材料與介質(zhì)實現(xiàn)熱交換的過程是一個非線性過程，各種因素會使模型變得更為復雜，因此，淬火過程只考慮溫度場對斜齒輪的影響。本文所采用的齒輪材料為20CrMnTi低碳合金鋼。斜齒輪淬火方式為分級淬火，將初始溫度為850 ℃的斜齒輪放入淬火介質(zhì)中冷卻至80 ℃，然后在25 ℃的空氣中冷卻。其中，淬火介質(zhì)參數(shù)來源于文獻[15]409-410。主動輪淬火網(wǎng)格模型如圖2所示，斜齒輪兩邊的截面設置為循環(huán)對稱，齒輪的各個表面為表面熱交換面。圖2中，A2為齒面中心位置，B 為齒輪芯部位置。油淬時間為1 800 s，空氣冷卻時間為3 600 s。

2. 3 時變嚙合剛度模型

齒輪重合度為4. 2，表明齒輪嚙合時呈4齒嚙合和5齒嚙合交替出現(xiàn)的情況。為保證齒輪充分嚙合以及在滿足減少嚙合沖擊影響的同時減少計算量，本文選擇主動輪11個齒、從動輪12個齒，給定足夠的轉(zhuǎn)角使其穩(wěn)定轉(zhuǎn)動。

根據(jù)齒輪參數(shù)計算出，主動輪某一單齒從齒根處轉(zhuǎn)動到齒頂處的轉(zhuǎn)角為36. 78°，為此，該模型轉(zhuǎn)角將大于此角度。根據(jù)計算得出的嚙合周期為8. 78°，本文以單個嚙合周期為基礎，計算其嚙合周期內(nèi)每個位置的時變嚙合剛度。

淬火殘余應力設置為時變嚙合剛度計算模型的初始邊界條件，以考慮材料狀態(tài)的初始應力。設置彈性模量為210 GPa，泊松比為0. 278，主動輪的轉(zhuǎn)速為20 900 r/min，從動輪的轉(zhuǎn)矩為2 424 N·m，并且將轉(zhuǎn)速和轉(zhuǎn)矩設置為逐步增加，以避免在計算過程中產(chǎn)生過大的嚙合沖擊。相互作用設置為表面與表面接觸，摩擦因數(shù)為0. 15。將主動輪和從動輪的軸線中心點作為參考點，并將這些參考點與兩個齒輪的內(nèi)軸孔表面進行耦合。具體模型如圖3所示。

2. 4 動力學模型

為了研究殘余應力通過影響時變嚙合剛度從而影響振動狀態(tài)，本文采用集中參數(shù)法建立10自由度動力學模型，并采用龍格-庫塔法求解動力學方程。動力學模型如圖4所示。

式中，kix、kiy、kiz（i 為1或2，1代表主動輪，2代表從動輪）分別為齒輪i 在x、y、z 方向的支承剛度；cix、ciy、ciz、ciyθ分別為齒輪i 在x、y、z 方向以及y 向扭轉(zhuǎn)的等效阻尼；J1z、J2z分別為主、從動輪繞z 方向轉(zhuǎn)的轉(zhuǎn)動慣量；J1y、J2y分別為主、從動輪繞y 方向轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)動慣量；m1、m2分別為主、從動輪質(zhì)量；T1、T2分別為主、從動輪轉(zhuǎn)矩；μ（f f=x、y、z）為x、y、z三個方向的相對位移；Ff （f=x、y、z）為x、y、z 三個方向的嚙合力；cm為嚙合阻尼。具體參數(shù)如表2所示。其中，嚙合阻尼可表示為動

3 結(jié)果與討論

3. 1 齒輪淬火殘余應力場

圖5所示為淬火后齒輪殘余應力場分布。圖6所示為A2點殘余應力變化，A1、A3點的殘余應力變化情況和A2沒有太大變化。圖7所示為B 點殘余應力變化。圖中，S11、S22、S33分別為x、y、z 方向上的主應力。

淬火冷卻的初期，齒輪表面溫度急劇下降，由于熱脹冷縮，表層開始收縮，然而芯部仍然較熱，表層的熱收縮受到芯部的抵制，導致表面受到拉應力；芯部相對于表面溫度高，因此，熱膨脹比表層更大，導致芯部受到表層給予的壓應力，芯部試圖膨脹，但表層的溫度降低速度較快，使得芯部的膨脹受到了表層的阻礙。此時，齒輪的殘余應力分布表現(xiàn)為表層為殘余拉應力，芯部為殘余壓應力。在冷卻后期，齒輪材料開始發(fā)生相變轉(zhuǎn)換，表層冷卻速度快、溫度低，到達相變轉(zhuǎn)換溫度更快，芯部溫度高，隨后發(fā)生相變轉(zhuǎn)換。此時，應力場的形成受到了熱應力和組織應力的共同影響。當相變過程產(chǎn)生馬氏體時，隨著溫度的下降，材料的體積會增大，這對由熱脹冷縮引起的形變產(chǎn)生了反向作用。在這種情況下，齒輪的應力表現(xiàn)為表面為壓應力，芯部為拉應力。其淬火殘余應力分布外壓內(nèi)拉的特性與文獻[15]411-412所述相同。

3. 2 齒面接觸力和彈性變形

要計算齒輪嚙合時的時變嚙合剛度，需要得到齒輪接觸時的齒面法向接觸力以及齒輪齒面接觸點的法向位移。鑒于考慮支撐結(jié)構、軸和軸承的變形會增加問題的復雜性，為簡化問題的求解，本文只關注赫茲接觸引起的彈性變形和輪齒彎曲引起的位移變形。

圖8所示為某一時刻的齒輪齒面接觸力。在殘余應力作用下，齒面極少出現(xiàn)較大接觸力。正常嚙合時，大齒輪的齒面接觸力略低于小齒輪的齒面接觸力。為了探究殘余應力對齒輪接觸的影響，取齒面上3個特殊的點（A1、A2、A3）進行分析。圖9為3個特征點的齒面法向接觸力-時間圖。殘余應力作用下的齒面接觸力略微減小，但不明顯；但接觸力越大，這種減小的趨勢越明顯。

圖10所示為彎曲位移變形曲線。曲線出現(xiàn)了2個負的峰值，說明在整個嚙合過程中，整個齒輪副出現(xiàn)了兩次由5齒嚙合到4齒嚙合的過程。其中，兩個負峰值為4齒嚙合區(qū)，兩個低谷為5齒嚙合區(qū)；殘余應力作用下，齒輪彎曲變形在4齒嚙合時，變形量增大；而在5齒嚙合時，變形量減小。圖11所示為齒面接觸變形曲線。齒面接觸變形雖受殘余應力作用有微小波動，但是變化量卻不明顯。法向接觸力和齒輪的變形出現(xiàn)這種變化，將導致時變嚙合剛度發(fā)生復雜的變化。

3. 3 殘余應力對時變嚙合剛度的影響

圖12所示為綜合時變嚙合剛度有限元計算結(jié)果。下一周期的斜齒輪副時變嚙合剛度將會重復當前嚙合周期的時變嚙合剛度曲線。從圖12可以看出，斜齒輪副從4齒嚙合區(qū)進入5齒嚙合區(qū)時，綜合時變嚙合剛度會逐漸增加，最大時變嚙合剛度出現(xiàn)在5齒嚙合區(qū)。這是因為在5齒嚙合區(qū)，兩輪齒接觸時的齒面接觸面積較大。而在4齒嚙合區(qū)內(nèi)，時變嚙合剛度存在小波動的原因是，齒輪嚙合從5齒嚙合向4齒嚙合轉(zhuǎn)換，會產(chǎn)生微小嚙合沖擊載荷。

為了驗證本文仿真計算結(jié)果的準確性，在同一斜齒輪參數(shù)下，對文獻[11]14-15和本文方法求得的未考慮淬火殘余應力的平均嚙合剛度與ISO 6336-1—2006標準進行了比較。結(jié)果如表3所示。其中，ISO標準平均嚙合剛度為6. 22×105 N/mm。

從表3可以看出，本文方法的計算結(jié)果與ISO標準接近，平均時變嚙合剛度相對誤差為2. 7%，說明了模型的可靠性。

圖13所示為有無殘余應力作用的綜合時變嚙合剛度曲線。殘余應力作用下，時變嚙合剛度曲線出現(xiàn)了波動，在5齒嚙合到4齒嚙合的初期，沖擊載荷導致時變嚙合剛度出現(xiàn)上下波動，而殘余應力加劇了這種波動。5齒嚙合時，時變嚙合剛度的峰值也增大得較為明顯。

在整個嚙合周期內(nèi)，考慮殘余應力的時變嚙合剛度均值為6. 065×105 N/mm，比未考慮殘余應力時的時變嚙合剛度均值6. 051×105 N/mm略大，曲線變化更符合實際。因此，計算時變嚙合剛度應考慮殘余應力的影響。

3. 4 動力學響應分析

圖14為齒輪額定功率下3個方向的動載荷時域圖。采用集中參數(shù)法計算的無淬火殘余應力齒輪平均周向嚙合力為16 731. 99 N，與根據(jù)轉(zhuǎn)矩和齒輪半徑計算的周向嚙合力16 717. 23 N相差0. 08%。齒輪動載荷分布均勻，且未出現(xiàn)太大沖擊。殘余應力作用下齒輪系統(tǒng)的嚙合力發(fā)生明顯波動，法向嚙合力峰值比無殘余應力下的大1 843. 2 N，增大了8. 47%，法向嚙合力的幅值差由4 684 N增加到了7 566. 4 N。相比于無殘余應力，有殘余應力的沖擊現(xiàn)象明顯加劇，沖擊周期卻并無明顯變化。

圖15為3個方向動載荷所對應的頻域圖。主動輪轉(zhuǎn)頻fs1=348. 33 Hz，從動輪轉(zhuǎn)頻fs2=98 Hz，嚙合頻率fm=14 281 Hz。在沒有考慮殘余應力的頻譜成分中，以嚙合頻率為主，主動輪轉(zhuǎn)頻要比從動輪轉(zhuǎn)頻大，這與文獻[9]66-67、文獻[16]的斜齒輪頻譜成分相似，證明了本文運用集中參數(shù)法計算的準確性。在嚙合頻率及其2倍頻和3倍頻附近出現(xiàn)大量幅值較低的邊頻帶。在轉(zhuǎn)頻區(qū)域，殘余應力的存在使幅值譜密度值略有增加；在嚙頻區(qū)域，數(shù)值增大較明顯。其中，法向載荷頻譜的嚙頻幅值譜密度增大了29. 8%，2倍嚙頻的幅值譜密度減小了16. 03%，說明淬火殘余應力對高、低頻都有影響。

4 結(jié)論

針對淬火后斜齒輪表面的殘余應力狀態(tài)，建立齒輪嚙合的數(shù)值模型，進行了殘余應力作用下齒輪時變嚙合剛度的數(shù)值計算；考慮時變嚙合剛度的影響，建立了10自由度動力學模型。通過分析對比齒輪彎曲變形、接觸變形、時變嚙合剛度和動態(tài)載荷，得出以下結(jié)論：

1） 齒輪淬火殘余應力分布特征表現(xiàn)為外壓內(nèi)拉的狀態(tài)，這種分布特征將會影響齒輪齒面接觸力和齒輪接觸節(jié)點的位移變形。

2） 對于齒輪嚙合模型，法向接觸力和接觸變形變化較小，但彎曲變形在4齒嚙合時增大，在5齒嚙合時減小，最終導致時變嚙合剛度在4齒嚙合區(qū)的波動加劇，在5齒嚙合區(qū)出現(xiàn)幅值增大的現(xiàn)象。

3） 相較于不考慮殘余應力的工況，殘余應力作用下的傳動系統(tǒng)中， 斜齒輪動載荷幅值增加了1 843. 2 N，沖擊載荷比沒有殘余應力的更大。轉(zhuǎn)頻和嚙頻的幅值譜密度增大，但嚙頻變化更大，且法向和周向的嚙頻幅值要比軸向變化得更為明顯。