基于多截面構(gòu)造的實測誤差齒輪嚙合性能分析

關(guān)鍵詞：漸開線齒輪；多截面；NURBS曲面；齒形誤差；齒面接觸；傳動誤差

0 引言

近年來，新能源汽車得到快速發(fā)展和應(yīng)用。漸開線圓柱齒輪作為新能源汽車傳動系統(tǒng)的關(guān)鍵零件[1]，其所需轉(zhuǎn)速最高可達到20 000 r/min。因此，新能源汽車對傳動齒輪的齒面精度提出了更高的要求。由于齒輪磨削加工中的誤差因素，齒面表面的實際幾何形狀偏離理論形狀[2]，產(chǎn)生齒形誤差。因此，需要構(gòu)建更貼合實際的誤差齒面模型來精確分析齒形誤差對嚙合性能的影響，為提高齒面精度要求打下堅實的基礎(chǔ)。

目前，關(guān)于含齒形誤差齒面模型重構(gòu)方面的研究，國內(nèi)外學者已取得長足進展，內(nèi)容多集中在重構(gòu)方法，主要有根據(jù)齒廓偏差范圍移動網(wǎng)格節(jié)點法[3]、點云直接擬合法[4]、非均勻有理B 樣條（Non-Uniform Rational B-Spline， NURBS）曲面擬合法[5]。針對漸開線直齒輪截面選取，喬福瑞[6]將理論齒形上的節(jié)點映射到通過三截面測量得到的實測齒形誤差曲線上，基于自動零件清單繪圖（Automated Parts ListDrawing， APDL）語言移動節(jié)點來重構(gòu)誤差齒面，研究了齒面接觸和嚙合剛度的變化情況。陳思雨等[7]提取三截面測量得到的齒廓偏差，通過數(shù)值接觸分析了考慮齒形誤差的靜態(tài)傳遞誤差。

綜上，大部分研究者是基于三截面測量得到的偏差值進行重構(gòu)的。新能源汽車的不斷發(fā)展對齒面精度的要求越來越高。運用插補方法擬合出來的數(shù)據(jù)點相較于實際齒面數(shù)據(jù)點存在偏差，選取的截面越少，代表擬合出的全齒面中插補部分占比更大，累積偏差也會更大。因此，基于三截面擬合的齒面已滿足不了要求，有必要對多截面構(gòu)造齒面進行探討。本文基于L300G磨削試驗臺進行實測齒面點陣的多截面測量，采用雙三次NURBS曲面理論重構(gòu)出更加貼合實測齒形誤差的齒面。為驗證多截面構(gòu)造的實測齒輪模型比三截面構(gòu)造的齒輪模型更能精確地反映齒形誤差對齒輪嚙合性能的影響，在Abaqus軟件中進行了齒面接觸應(yīng)力以及齒輪副傳動誤差情況的對比分析。

1 基于NURBS 曲面的數(shù)學模型

基于L300G磨削試驗臺，得到漸開線齒輪齒面上的離散點，構(gòu)造出齒面的三維造型，這屬于逆向工程中的曲面重構(gòu)范疇。NURBS曲線曲面擬合包括了正算過程，即求解出NURBS曲面上任意一點的三維坐標值；同時也包括反算過程，即通過反算控制點來擬合曲面。

利用雙三次NURBS曲線構(gòu)造漸開線直齒輪三維模型的原理是：根據(jù)L300G上得到的各組離散點的三維坐標值分別構(gòu)造三次NURBS曲線；然后，基于NURBS曲線構(gòu)造出擬合曲面，即

式中，m 和n 分別為齒高u 向和齒寬v 向的控制點數(shù)目；Vi，j 和ωi，j 分別為齒面的控制點和對應(yīng)控制點的權(quán)因子；Ni，3 （u） 和Nj，3 （v ） 分別為沿齒高u 向和齒寬v 向的三次B樣條基函數(shù)。其中，參數(shù)u、v 方向如圖1所示。

雙三次NURBS曲面反算是通過在L300G齒輪成形磨削試驗臺上測量齒面離散數(shù)據(jù)點qi，j （i =0，1，…，r；j = 0，1，…，s），反算求解得到控制點Vi，j （i = 0，1，…，r + 2； j = 0，1，…， s + 2），實現(xiàn)構(gòu)造一張3 × 3次齒面。其中，節(jié)點矢量是通過向心參數(shù)化計算得到的，并且將節(jié)點矢量和自由端點條件作為附加方程。

經(jīng)過反算過程后，便可以進入正算過程。為了計算出每條曲線上任意點的三維坐標值，采用德布爾算法遞推公式[8]，即

式中，Vjl為曲線上的德布爾點，即控制點；Nj，k - 1 （u）為沿u 向的k-1次B樣條基函數(shù)；i 為沿u 向的控制點數(shù)目；ui 為節(jié)點矢量。由于本文構(gòu)造的是3階樣條曲線，因此，k = 3。

2 基于多截面的實測誤差齒面模型的重構(gòu)

L300G試驗臺如圖2（a）所示。不考慮磨齒運動，所以，設(shè)有直線運動的X、Y 軸，工件轉(zhuǎn)動軸A、探頭轉(zhuǎn)動軸B 來實現(xiàn)檢測運動[9]，如圖2（b）所示。為了能夠真實地反映出實測齒面以及提高曲面擬合精度，不同于傳統(tǒng)的漸開線齒輪三截面測量，在L300G齒輪成形磨削臺上進行測量試驗時，采用多截面測量，分別在左、右齒面上測量了9 × 14個齒面離散數(shù)據(jù)點，其中，沿齒寬測量了9列，沿齒高測量了14行。測量點的分布如圖3所示。將每條齒形的數(shù)據(jù)點代入文獻[10]中的齒形誤差評價模型，得到實測齒輪模型的左齒面精度均為5級，右齒面精度均為5級。

通過NURBS曲面擬合反算原理，在Matlab軟件中進行編程，求解出擬合齒面的控制點，總共獲得11 × 16個控制點；然后，將其導入到Catia三維模型軟件中，擬合出漸開線齒輪的左、右齒面，如圖4（a）所示。對于非測量區(qū)域，即齒根過渡區(qū)域，與標準齒輪保持一致，提取在Catia中繪制的標準齒輪的齒根過渡曲線的參數(shù)坐標，根據(jù)董新華等[11]提出的NURBS曲線繪制法，也導入過渡曲線的控制點到Catia，從而擬合出齒根過渡曲面。最后完成漸開線齒輪實體建模，如圖4（b）所示。

3 理論齒面與NURBS 構(gòu)造齒面的誤差分析

基于L300G運動坐標系，利用漸開線方程，推導出左、右理論齒面方程，即

根據(jù)理論齒面方程，在Matlab軟件中建立了齒數(shù)z = 31、模數(shù)m=4 mm、壓力角α = 20°、齒寬b=30 mm的理論齒面模型；在模型上選取9 × 14坐標點，再代入NURBS插值方法擬合齒面，分析理論齒面與構(gòu)造齒面的誤差以驗證NURBS構(gòu)造曲面的精度[12]。

根據(jù)文獻[13]，通過NURBS 曲面正算過程，可以得到構(gòu)造齒面上8 × 13的網(wǎng)格中心點三維坐標為si （xi，yi，zi ）， 理論齒面坐標為Si （Xi，Yi，Zi ）， 取xi = Xi，yi = Yi，得到兩種齒面在對應(yīng)點處的絕對誤差為Δz = | Zi - zi |，以左齒面為例，從8條曲線中找出具有最大誤差的曲線，并提取出6個誤差最大的點，其數(shù)據(jù)坐標值與擬合誤差值分別如表1和表2所示。從表2可以看出，左齒面的擬合誤差值低于0. 1 μm。

同理，建立右齒面的模型。選取右齒面上具有最大誤差的曲線，同樣提取出6個誤差最大的點，則左、右齒面的誤差曲線如圖5所示。

從圖5可以看出，采用NURBS曲面方法構(gòu)造的齒面擬合誤差保持在0. 1 μm以內(nèi)。這驗證了NURBS曲面重構(gòu)實測齒面的準確性和可行性，為后續(xù)齒輪三維模型的嚙合性能分析提供了條件。

4 齒輪嚙合性能的仿真分析

4. 1 齒輪有限元模型的建立

根據(jù)三截面測量得到的齒形偏差值，在Hyper?Mesh軟件中移動理論齒輪模型的對應(yīng)網(wǎng)格節(jié)點，獲得三截面構(gòu)造的5級誤差齒輪，兩種齒面的差異如圖6所示。同時對兩種齒輪模型分別進行仿真分析。

首先，在HyperMesh 軟件中對兩個齒面模型進行相同的高精度六面體網(wǎng)格劃分[14]，對齒輪中參與嚙合的實測部分進行網(wǎng)格加密，并對齒根過渡區(qū)域進行稍稀疏的網(wǎng)格劃分。其次，將兩個模型分別導入Abaqus軟件中進行有限元求解。齒輪的材料選用合金鋼，彈性模量E 為210 000 MPa，泊松比ε 為0. 3；接觸屬性選擇通用接觸，齒面接觸屬性為硬接觸，摩擦因數(shù)設(shè)置為0. 1；對于載荷邊界條件，需要在主動輪、從動輪軸線上創(chuàng)建參考點，分別與主、從動輪建立耦合；在主動輪上施加較小的轉(zhuǎn)角，在從動輪上賦予20 N·m的阻力矩。

為獲得精確的有限元仿真結(jié)果，同時不影響計算效率，在嚙合區(qū)域進行合理的網(wǎng)格劃分很關(guān)鍵。以多截面構(gòu)造的誤差齒輪模型為例，本文在不斷細化嚙合區(qū)網(wǎng)格、減小網(wǎng)格尺寸的過程中，將前后兩次計算的接觸應(yīng)力的偏差值作為判斷依據(jù)，若偏差值小于0. 5%[15]，則有限元計算得到的接觸應(yīng)力值收斂至精確解，如表3所示。根據(jù)表3中數(shù)據(jù)，本文以每個輪齒網(wǎng)格數(shù)195 372來建立齒輪模型，進行后續(xù)的嚙合性能分析。其中，多截面構(gòu)造的誤差齒輪網(wǎng)格模型如圖7所示。

4. 2 嚙合周期內(nèi)誤差齒輪的齒面接觸應(yīng)力對比研究

接觸應(yīng)力是衡量齒輪嚙合性能的重要指標，由于齒形誤差會改變理論的齒廓形狀，因此，需要通過求解齒輪在嚙合周期內(nèi)的嚙合位置來獲得齒形誤差對齒面接觸應(yīng)力的影響程度。

為表征輪齒在傳動過程中的嚙合位置變化，規(guī)定在圖8所示的xOy 坐標系下，主動輪齒頂中心點的法線與x 軸正向所成的角度為相位角φ。

在齒輪嚙合傳動過程中，輪齒會經(jīng)歷雙齒嚙合、單齒嚙合以及雙齒嚙合這3個階段。因此，在每個階段分別取5個不同的嚙合位置，以實現(xiàn)對齒輪整個嚙合周期的最大接觸應(yīng)力分析。

在Abaqus軟件中進行有限元求解，得到的一個完整嚙合相位區(qū)間為[1. 57，1. 84] rad，如表4所示。同時，分別提取兩種重構(gòu)齒輪各嚙合位置接觸區(qū)域的最大接觸應(yīng)力值，得到不同相位角的最大接觸應(yīng)力曲線，如圖9所示。

在整個嚙合周期內(nèi)，基于三截面構(gòu)造的齒輪的最大接觸應(yīng)力出現(xiàn)在單齒嚙合區(qū)，可達到138. 3 MPa，如圖10（a）所示；最小接觸應(yīng)力出現(xiàn)在雙齒嚙合區(qū)，應(yīng)力值為89. 78 MPa；而多截面構(gòu)造的誤差齒輪在單齒嚙合區(qū)的1. 68 rad嚙合相位處出現(xiàn)嚙合周期內(nèi)最大接觸應(yīng)力，其應(yīng)力值為158. 4 MPa，如圖10（b）所示，與三截面構(gòu)造的誤差齒輪結(jié)果偏差13. 1%。在退出嚙合時，兩者結(jié)果偏差為22. 7%。從圖10可以看出，在每個嚙合區(qū)內(nèi)，多截面構(gòu)造的誤差齒輪的最大接觸應(yīng)力變化更為明顯，浮動更大。

為了更直觀比較兩者差異，建立理論齒輪模型，如圖11（a）所示。提取上述兩個模型在1. 71 rad相位處的接觸區(qū)域，分別如圖11（b）、圖11（c）所示。從理論模型上看，當進入雙齒嚙合區(qū)域時，理論齒輪接觸區(qū)域的最大接觸應(yīng)力值相當，且1號齒中靠近齒根處的接觸面積會比2號齒齒頂處大，由1號齒承擔更大載荷，但由于齒形誤差的存在，接觸面積的大小和輪齒間載荷的分配方式發(fā)生改變。當進入雙齒嚙合區(qū)時，三截面構(gòu)造的誤差齒輪的2號齒與1號齒的接觸面積差異不顯著，其接觸應(yīng)力也相差不大，基本上共同承擔載荷，如圖11（b）所示，結(jié)果與理論齒輪相近；而多截面構(gòu)造的誤差齒輪2號齒上的最大接觸應(yīng)力是1號齒上最大接觸應(yīng)力的1. 1倍，其接觸面積大于1 號齒，2 號齒承擔大部分載荷，如圖11（c）所示。多截面構(gòu)造的誤差齒面更細致地表現(xiàn)出了由齒形誤差導致的輪齒接觸面積的變化。

4. 3 誤差齒輪副傳動誤差的對比研究

在靜力學分析中，本文根據(jù)不同的載荷工況，分別設(shè)置了20、100、300 N·m的阻力矩，以探究三截面構(gòu)造的誤差齒輪副與多截面構(gòu)造的誤差齒輪副在不同工況下傳動誤差的變化情況。在輕載工況下，如圖12所示，三截面構(gòu)造的誤差齒輪的最大傳動誤差幅值基本保持在12″左右，與標準齒輪的最大傳動誤差幅值相近，而多截面構(gòu)造的誤差齒輪的最大傳動誤差幅值達到15″左右；理論上，由于齒形誤差對嚙合線產(chǎn)生影響，因此，傳動誤差曲線會產(chǎn)生小周期波動。同時從圖13（a）可以看出，隨著負載轉(zhuǎn)矩的增加，三截面構(gòu)造的誤差齒輪的傳動誤差在逐漸增大，最大傳動誤差幅值增長了25%；而從圖13（b）可以觀察到多截面構(gòu)造的誤差齒輪較明顯的傳動誤差變化情況，傳動誤差出現(xiàn)明顯波動，其最大傳動誤差幅值增大了33%。由此表明，多截面的構(gòu)造方法更能夠反映實際齒面的情況，能較準確地分析出齒形誤差對齒輪嚙合性能的影響。

5 結(jié)論

為了能更精確分析出齒形誤差對漸開線齒輪嚙合性能的影響，進而為提高新能源汽車中齒輪的齒面精度提供指導，提出一種多截面齒面構(gòu)造方法，旨在構(gòu)造更加貼合實際誤差齒面的齒輪模型。通過與傳統(tǒng)三截面構(gòu)造的誤差齒輪模型的齒面接觸應(yīng)力、傳動誤差的對比研究，得出如下主要結(jié)論：

1） 相比三截面構(gòu)造的誤差齒輪，多截面構(gòu)造的誤差齒輪在每個嚙合區(qū)內(nèi)的最大接觸應(yīng)力變化更明顯，浮動更大，并且更能明顯地表現(xiàn)出由齒形誤差引起的輪齒接觸面積及輪齒間載荷分配的變化。

2） 隨著負載轉(zhuǎn)矩的增大，三截面構(gòu)造的誤差齒輪的傳動誤差幅值增長25%，而多截面構(gòu)造的誤差齒輪增長33%；相較于理論齒輪，多截面構(gòu)造的齒輪出現(xiàn)了較明顯的波動，更加符合齒形誤差對齒輪副傳動誤差的影響規(guī)律，更能反映出齒面的實際情況。