依托指數(shù)函數(shù)圖象，數(shù)形結(jié)合解決問題

摘要：正確理解并掌握指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)，借助數(shù)形結(jié)合思維來分析或處理與指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)相關(guān)的問題，成為指數(shù)函數(shù)模塊知識考查的一個重要方向.以指數(shù)函數(shù)圖象為依托，結(jié)合典型實例，利用數(shù)形結(jié)合處理一些與之相關(guān)的綜合應(yīng)用問題，歸納總結(jié)解題技巧與策略，指導(dǎo)數(shù)學(xué)教學(xué)與復(fù)習備考.

關(guān)鍵詞：指數(shù)函數(shù)；圖象；數(shù)形結(jié)合；參數(shù)；代數(shù)式

指數(shù)函數(shù)是高中數(shù)學(xué)中基本的初等函數(shù)模型之一，也是重要的函數(shù)模型，是中學(xué)基本初等函數(shù)中非常重要的一種，是高考必考內(nèi)容之一.特別是涉及指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)，借助數(shù)形結(jié)合思想來處理涉及指數(shù)函數(shù)的基本性質(zhì)及其相應(yīng)的綜合應(yīng)用問題，巧妙以數(shù)助形或以形助數(shù)，利用數(shù)形結(jié)合實現(xiàn)指數(shù)函數(shù)中相關(guān)綜合應(yīng)用問題的突破與求解.

1 圖象識別

圖象識別是借助指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)等信息，正確識別與之對應(yīng)的指數(shù)函數(shù)圖象或與之相關(guān)的其他函數(shù)圖象等，巧妙以數(shù)助形，利用數(shù)形結(jié)合轉(zhuǎn)化，正確進行圖象識別與圖象應(yīng)用等.

例1〔2024年江西省吉安市泰和中學(xué)高三（上）暑期質(zhì)檢數(shù)學(xué)試卷〕（多選題）已知指數(shù)函數(shù)y=bax的圖象如圖1所示，則二次函數(shù)y=ax2+bx的圖象可能是（）.

解析：由題中指數(shù)函數(shù)y=bax的圖象，直觀形象可知該指數(shù)函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞減，則有0lt;balt;1.

對于二次函數(shù)y=ax2+bx，令ax2+bx=0，解方程可得x1=0，x2=－ba，則－1lt;x2lt;0.

由此可知二次函數(shù)y=ax2+bx的圖象經(jīng)過點（0，0）與（x2，0），結(jié)合各選項中的圖象，只有選項B，D符合題意.

故選擇答案：BD.

點評：解決此類涉及指數(shù)函數(shù)中的圖象識別及其應(yīng)用問題時，關(guān)鍵在于從指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)入手，從指數(shù)函數(shù)中相關(guān)參數(shù)的確定與應(yīng)用切入，合理進行邏輯推理與數(shù)學(xué)運算，以數(shù)助形，實現(xiàn)相應(yīng)函數(shù)圖象的識別與應(yīng)用，特別是涉及一些特殊點、關(guān)鍵點，以及圖象的變化趨勢等.

2 函數(shù)判斷

函數(shù)判斷是借助指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)等信息，結(jié)合題設(shè)條件給出的函數(shù)圖象信息，從中抽象出相應(yīng)的函數(shù)特征與性質(zhì)，巧妙以形助數(shù)，用來解決與之相應(yīng)的函數(shù)類型、函數(shù)解析式等的判斷與應(yīng)用問題.

例2（2024年陜西省西安市高考數(shù)學(xué)模擬試卷）已知函數(shù)f（x）在區(qū)間［－2，2］上的大致圖象如圖2所示，則函數(shù)f（x）的解析式可以是（）.

A.f（x）=（ex－e－x）x

B.f（x）=（ex－e－x）sin x

C.f（x）=（ex－e－x）cos x

D.f（x）=（ex－e－x）x2

解析：依題，數(shù)形結(jié)合可知函數(shù)f（x）在區(qū)間［－2，2］上是奇函數(shù).

因為（ex－e－x）+（e－x－ex）=0，所以函數(shù)y=ex－e－x為R上的奇函數(shù).

對于選項A，因為函數(shù)y=x為奇函數(shù)，結(jié)合函數(shù)奇偶性的基本性質(zhì)，可知函數(shù)f（x）=（ex－e－x）x為偶函數(shù)，不合題意，故選項A錯誤.

對于選項B，因為函數(shù)y=sin x為奇函數(shù)，結(jié)合函數(shù)奇偶性的基本性質(zhì)，可知函數(shù)f（x）=（ex－e－x）×sin x為偶函數(shù)，不合題意，故選項B錯誤.

對于選項D，當xgt;0時，exgt;1，0lt;e－x=1exlt;1，x2gt;0，可得ex－e－x=ex－1exgt;0，則（ex－e－x）x2gt;0，所以當xgt;0時，f（x）=（ex－e－x）x2gt;0恒成立，不合題意，故選項D錯誤.

對于選項C，因為函數(shù)y=cos x為偶函數(shù)，結(jié)合函數(shù)奇偶性的基本性質(zhì)，可知函數(shù)f（x）=（ex－e－x）×cos x為奇函數(shù)，符合題意.

綜上分析，選擇答案：C.

點評：解決此類涉及指數(shù)函數(shù)中的函數(shù)判斷及其應(yīng)用問題時，關(guān)鍵在于從滿足問題條件的函數(shù)圖象中抽象出相應(yīng)特征與性質(zhì)，特別是與指數(shù)函數(shù)相關(guān)的單調(diào)性、奇偶性等知識，再回歸函數(shù)的性質(zhì)與應(yīng)用來進行合理的判斷，經(jīng)常以函數(shù)的基本性質(zhì)為目標來分析.

3 參數(shù)取值

參數(shù)取值是借助指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)等信息，聯(lián)系對應(yīng)的函數(shù)基本性質(zhì)與圖象結(jié)構(gòu)特征，在二者之間合理構(gòu)建聯(lián)系，合理進行數(shù)形結(jié)合，為參數(shù)的最值或取值范圍的確定創(chuàng)造條件.

例3（2024年遼寧省沈陽市高考數(shù)學(xué)三模試卷）已知函數(shù)f（x）=x+1，x≤a，

2x，xgt;a，若函數(shù)f（x）的值域是R，則實數(shù)a的取值范圍是（）.

A.（－∞，0］B.［0，1］

C.［0，+∞）D.（－∞，1］

圖3解析：根據(jù)題意，在同一個平面直角坐標系中分別畫出函數(shù)y=x+1和函數(shù)y=2x的圖象，如圖3所示.

由圖象直觀可知，當x=0或x=1時，兩函數(shù)的圖象相交.

若函數(shù)f（x）的值域是R，以實數(shù)a為分界點，可進行如下分類討論：

當alt;0時，顯然兩函數(shù)的圖象之間不連續(xù)，即值域不為R，不滿足條件.

同理當agt;1，值域也不為R，不滿足條件.

當0≤a≤1時，兩函數(shù)的圖象連續(xù)或者兩函數(shù)值域有重合的部分，此時函數(shù)f（x）的值域是R.

綜上可知，實數(shù)a的取值范圍是［0，1］.

故選擇答案：B.

點評：解決此類涉及指數(shù)函數(shù)中的參數(shù)取值及其應(yīng)用問題時，關(guān)鍵在于構(gòu)建函數(shù)的解析式與圖象之間的聯(lián)系，在數(shù)形結(jié)合的同時，要注意兼顧以形助數(shù)與以數(shù)助形的聯(lián)系，給參數(shù)取值的確定提供條件，特別是端點處的取值情況，以確定參數(shù)取值范圍的準確性.

4 代數(shù)式范圍

代數(shù)式范圍是借助指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)等信息，以更加新穎的方式加以設(shè)置與應(yīng)用，結(jié)合函數(shù)與方程、函數(shù)與不等式等之間的聯(lián)系，巧妙構(gòu)建對應(yīng)的方程（組）或不等式（組），確定變量的取值范圍等，并結(jié)合代數(shù)式的轉(zhuǎn)化與應(yīng)用來確定取值范圍.

例4〔2023—2024學(xué)年福建省莆田二中高一（上）期中數(shù)學(xué)試卷〕已知函數(shù)f（x）=|2x－1|，x≤2，

－x+4，xgt;2，若實數(shù)a，b，c滿足alt;blt;c，且f（a）=f（b）=f（c），則2a+c+2b+c的取值范圍為.

解析：作出函數(shù)f（x）=|2x－1|，x≤2，

－x+4，xgt;2的圖象，如圖4所示.

當xlt;0時，f（x）=|2x－1|=1－2x∈（0，1）.

由圖象直觀分析可知，f（a）=f（b）=f（c）∈（0，1），即4－c∈（0，1），得3lt;clt;4，則8lt;2clt;16.

由f（a）=f（b），可得|2a－1|=|2b－1|，整理有1－2a=2b－1，變形可得2a+2b=2.

所以2a+c+2b+c=2c（2a+2b）=2×2c∈（16，32）.

故填答案：（16，32）.

點評：解決此類涉及指數(shù)函數(shù)中的代數(shù)式范圍及其應(yīng)用問題時，關(guān)鍵在于構(gòu)建與之對應(yīng)的函數(shù)圖象，通過數(shù)形結(jié)合，直觀形象地確定滿足題設(shè)條件的方程（組）或不等式（組），進而結(jié)合相關(guān)變量的取值情況來確定對應(yīng)代數(shù)式的最值或取值范圍等.正確確定相應(yīng)參數(shù)的取值范圍，為代數(shù)式的取值范圍確定奠定基礎(chǔ).

依托指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)，特別是基于指數(shù)函數(shù)及其相關(guān)函數(shù)的圖象，正確進行數(shù)形結(jié)合，通過以形助數(shù)或以數(shù)助形的處理，直觀想象，綜合指數(shù)函數(shù)中的圖象特征及相應(yīng)的幾何性質(zhì)，給相應(yīng)綜合應(yīng)用問題的切入與應(yīng)用創(chuàng)造條件，實現(xiàn)直觀分析、解決與指數(shù)函數(shù)相關(guān)的綜合應(yīng)用問題.