社會生活情境下的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)三種水平試題賞析及命題啟示

摘要：社會生活情境是培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的重要載體.文章對不同情境下的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)三種水平試題進(jìn)行分析，并得出兩點命題啟示.

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué)；社會生活情境；數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)；命題啟示

1 社會生活中科學(xué)技術(shù)及智力挑戰(zhàn)

例1（數(shù)學(xué)抽象水平一）在一檔節(jié)目中，一位選手展示了驚人的腦力，他能夠準(zhǔn)確地記住圓周率π并快速背誦小數(shù)點后200位數(shù)字.值得注意的是，當(dāng)評委提到小數(shù)點后的任何一位數(shù)字（不超過200位時），這位選手都能準(zhǔn)確回答.結(jié)合所學(xué)的知識，假設(shè)π小數(shù)點后第n位的數(shù)字為y，那么可以判斷下列結(jié)論正確的是（）.

A.y不是n的函數(shù)

B.y是n的函數(shù)，且該函數(shù)的定義域為N*

C.y是n的函數(shù)，且該函數(shù)的值域為{0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}

D.y是n的函數(shù)，且該函數(shù)在定義域內(nèi)不單調(diào)

試題分析：該情境通過讓學(xué)生觀察和分析選手記憶圓周率的過程，幫助他們在現(xiàn)實問題中認(rèn)識數(shù)學(xué)概念和邏輯關(guān)系，從而培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象能力.試題中圓周率π小數(shù)點后的位數(shù)作為抽象的數(shù)學(xué)對象（n），與其對應(yīng)的數(shù)位上的數(shù)字（y）形成了函數(shù)關(guān)系，反映了數(shù)學(xué)中的變量依賴關(guān)系.學(xué)生需要通過分析該情境，理解y作為n的函數(shù)的特點，包括其定義域、值域及其單調(diào)性.這種思維訓(xùn)練不僅幫助學(xué)生從數(shù)字記憶的生活情境中抽象出函數(shù)的概念，還引導(dǎo)他們從具體的社會現(xiàn)象中提煉數(shù)學(xué)模型，提升對函數(shù)關(guān)系和定義域、值域等基本概念的抽象理解.其次，該題目強(qiáng)調(diào)了函數(shù)單調(diào)性等數(shù)學(xué)性質(zhì)的分析.在實際生活情境中，圓周率的各個位數(shù)并不呈現(xiàn)任何規(guī)律性的增減變化，這要求學(xué)生具備更高層次的抽象思維能力，能夠區(qū)分不同函數(shù)的特征并作出判斷.通過這種分析，學(xué)生不僅理解了函數(shù)的基本概念，還在抽象思維中獲得了應(yīng)用函數(shù)工具解決問題的能力.

2 街頭商販與消費行為的社會情境

例2（數(shù)學(xué)抽象水平二）在某集市中，有一位中年人正在開展“送錢”項目，即他將3只黃色、3只白色的乒乓球放入一個不透明的布袋子中，這些球除了顏色不同，其他各種性質(zhì)完全一樣.中年人告訴過路者：“送錢”的游戲規(guī)則是，路人可從袋中隨機(jī)摸出3個球，若這3個球的顏色相同，攤主將給參與者5元錢；若摸得的3個球不是同一顏色，則參與者需要付給攤主1元錢.結(jié)合材料內(nèi)容，回答下列問題：

（1）參與者摸出的3個球都是白球的概率是多少？

（2）參與者摸出的3個球為2個黃球和1個白球的概率是多少？

（3）假定該攤主所舉辦的活動一天中有100人次參與摸獎，結(jié)合概率的知識估算這個攤主一個月（按30天計）能夠賺到的總金額是多少.

試題分析：試題設(shè)置“摸球”和“贏錢”的游戲規(guī)則，學(xué)生在解答過程中不僅要理解問題的描述，還需從真實場景中提煉數(shù)學(xué)元素，如隨機(jī)抽取的概率、攤主和顧客的收益分析等.通過該問題，學(xué)生不僅會了解到概率的計算方法，還能深入思考其在現(xiàn)實決策中的作用，比如從長期期望值的角度分析攤主是否盈利.這一過程正是數(shù)學(xué)抽象水平二中的“從復(fù)雜的實際問題情境中提取數(shù)學(xué)模型”的具體體現(xiàn).該題核心在于利用概率論構(gòu)建數(shù)學(xué)模型并解決實際問題.通過建立合理的數(shù)學(xué)模型（如計算每種情況的概率），學(xué)生能夠通過對多種摸球結(jié)果的分析，推導(dǎo)出不同情況下的收益分布.第三問要求學(xué)生從概率的角度對攤主的長期收益進(jìn)行估算，這迫使學(xué)生在實際情境中思考如何從多個隨機(jī)事件的結(jié)果中進(jìn)行總結(jié)，進(jìn)而建立一個長期收益的數(shù)學(xué)模型.這種對復(fù)雜情境中隱含數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的分析與建模，能有效提高學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象能力，特別是二級水平的“建立并解釋數(shù)學(xué)模型”的素養(yǎng).通過這類情境問題，學(xué)生不僅學(xué)會運用數(shù)學(xué)知識解決問題，還能將其應(yīng)用于現(xiàn)實決策中.例如，通過計算一天中有100人次摸球后攤主的收益期望，學(xué)生能推斷出攤主長期是否盈利.這一數(shù)學(xué)抽象能力的培養(yǎng)，使學(xué)生能夠在現(xiàn)實生活中做出理性的決策，提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)的實際應(yīng)用價值.

3 城市規(guī)劃與交通設(shè)計的社會生活情境

例3（數(shù)學(xué)抽象水平三）城市發(fā)展過程中，擁堵問題是常見的挑戰(zhàn)之一.為了解決這一問題，某城市計劃對現(xiàn)有的穿城公路MON進(jìn)行交通分流，以期緩解擁堵.據(jù)了解，公路MON的走向為：MO段為東西向，當(dāng)公路到達(dá)城市中心O時，ON段的走向轉(zhuǎn)為東北方向.現(xiàn)計劃在MO上設(shè)立一個出入口A，在ON上設(shè)立一個出入口B，二者連接形成一條城市高架路L，如圖1.假設(shè)L的AB段為直線，且為了減少對城市的影響，要求市中心O到AB段的距離為10 km.根據(jù)這些信息，回答以下問題：

（1）求兩出入點A，B之間的最小距離；

（2）公路MO段上有一古建筑群C，其距離市中心O為30 km，為保護(hù)古建筑群，現(xiàn)準(zhǔn)備設(shè)立一個以C為圓心，半徑為5 km的圓形保護(hù)區(qū)，試問如何在市中心O和古建筑群之間設(shè)計出入口A，使高架道路及其延伸段不經(jīng)過保護(hù)區(qū)？

試題分析：試題中關(guān)于公路、出入口位置和高架道路的設(shè)置，借助數(shù)學(xué)模型（如直線和圓）來描述復(fù)雜的實際問題，這要求學(xué)生將現(xiàn)實中的城市道路情境抽象為幾何問題.通過對A，B兩個出入口的距離和位置的優(yōu)化分析，學(xué)生需要運用距離公式、幾何性質(zhì)等數(shù)學(xué)工具進(jìn)行精確的計算，從而解決實際交通中的分流問題.這種抽象能力的培養(yǎng)，有助于學(xué)生在面對類似的交通設(shè)計問題時，能夠建立起數(shù)學(xué)模型，提煉出關(guān)鍵的幾何關(guān)系并做出合理的規(guī)劃方案.題目還涉及古建筑群的保護(hù)，這與社會生活中的環(huán)境保護(hù)、文化遺產(chǎn)維護(hù)息息相關(guān).通過設(shè)立保護(hù)區(qū)，學(xué)生需要分析如何設(shè)計高架道路的路徑，避免穿越保護(hù)區(qū).這部分要求學(xué)生不僅要理解圓形保護(hù)區(qū)的幾何性質(zhì)，還要綜合考慮高架道路的延展性，并通過數(shù)學(xué)計算找到不經(jīng)過保護(hù)區(qū)的道路設(shè)計.這種情境下，學(xué)生要把抽象的幾何關(guān)系應(yīng)用到實際問題中，鍛煉處理復(fù)雜情境的數(shù)學(xué)建模和推理能力.

4 命題啟示

4.1 命題時應(yīng)圍繞生活化情境，培養(yǎng)學(xué)生從實際問題中提煉數(shù)學(xué)模型的能力在命題時，要通過引入生活化情境來增強(qiáng)題目的現(xiàn)實性和學(xué)生的參與感.例如，圓周率記憶的試題，通過智力挑戰(zhàn)活動，引導(dǎo)學(xué)生在實際情境中理解函數(shù)的定義域、值域等概念；城市規(guī)劃的高架道路設(shè)計問題，要求學(xué)生利用幾何知識解決道路規(guī)劃與建筑保護(hù)的實際問題；街頭的摸球概率問題，則通過常見的摸獎游戲情境，引導(dǎo)學(xué)生理解隨機(jī)事件和概率計算.這些題目能夠幫助學(xué)生在生活經(jīng)驗中提煉數(shù)學(xué)問題，促使他們將實際問題抽象為數(shù)學(xué)模型，鍛煉數(shù)學(xué)應(yīng)用能力.因此，命題時要注重生活場景的貼近性，設(shè)計出能反映實際問題的數(shù)學(xué)情境，從而培養(yǎng)學(xué)生在面對生活中的復(fù)雜問題時，具備抽象、歸納和解決問題的能力.在教學(xué)實際中，教師也應(yīng)通過類似的題目設(shè)計，引導(dǎo)學(xué)生從現(xiàn)實中發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)模型，提升他們的數(shù)學(xué)思維與應(yīng)用能力［1］.

4.2 命題時應(yīng)強(qiáng)化綜合性考查，培養(yǎng)學(xué)生綜合運用多種數(shù)學(xué)工具的能力在命題時應(yīng)注重知識的綜合性和跨領(lǐng)域應(yīng)用.例如，城市高架道路設(shè)計題涉及幾何分析與優(yōu)化設(shè)計，學(xué)生需綜合幾何性質(zhì)、距離計算來完成題目要求；街頭摸球游戲通過概率計算結(jié)合經(jīng)濟(jì)收益分析，考查學(xué)生在生活情境中如何應(yīng)用概率知識解決問題.這些題目強(qiáng)調(diào)不同數(shù)學(xué)領(lǐng)域的融合，要求學(xué)生能夠靈活運用多種數(shù)學(xué)工具和方法.通過這樣的命題設(shè)計，不僅考查了學(xué)生對數(shù)學(xué)知識點的掌握情況，還幫助他們在復(fù)雜情境下提升統(tǒng)籌思維與綜合解決問題的能力.命題時應(yīng)借助這種跨學(xué)科、綜合性的設(shè)計，讓學(xué)生在復(fù)雜的背景下能綜合運用函數(shù)、幾何、概率等多種知識，推動他們將分散的知識融入一個整體思維框架中，形成系統(tǒng)化的解決能力，進(jìn)而培養(yǎng)更高層次的數(shù)學(xué)素養(yǎng)［2］.

參考文獻(xiàn)：

[1]錢詩玥.高中生數(shù)學(xué)抽象能力調(diào)查研究——以高一學(xué)生為例[D].揚州：揚州大學(xué)，2023.

[2]李智怡.不同情境問題下初二學(xué)生數(shù)學(xué)抽象能力的調(diào)查研究[D].上海：華東師范大學(xué)，2023.