基于2022年甲卷圓錐曲線(xiàn)壓軸題的原創(chuàng)題命制

摘要：本文中以2022年甲卷圓錐曲線(xiàn)壓軸題為背景，命制了一道拋物線(xiàn)的原創(chuàng)題，并通過(guò)對(duì)原創(chuàng)題的題源——“坎迪定理”問(wèn)題進(jìn)行分析，對(duì)其在橢圓中的情形命制了一系列原創(chuàng)題，落實(shí)對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng).

關(guān)鍵詞：核心素養(yǎng);坎迪定理;定值;定直線(xiàn)

1 試題呈現(xiàn)與分析

原創(chuàng)題1拋物線(xiàn)G：y2=2px（pgt;0）的焦點(diǎn)為F，過(guò)點(diǎn)F的直線(xiàn)l1與G交于A，B兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F的直線(xiàn)l2與G交于C，D兩點(diǎn)，當(dāng)l1⊥l2時(shí)，|AB|+|CD|的最小值為8.

（1）求拋物線(xiàn)G的方程；

（2）設(shè)直線(xiàn)BC，AD與x軸的交點(diǎn)分別為M，N，若kBC=2kAD，證明：（從以下三個(gè)結(jié)論中選擇一個(gè)正確的填在橫線(xiàn)處，并給出證明）.

①1|NF|－1|MF|為定值；②kAC·kBD為定值；③直線(xiàn)AC，BD的交點(diǎn)在定直線(xiàn)上.

試題分析及命題背景2017年新課標(biāo)指出：命題的考查內(nèi)容應(yīng)圍繞數(shù)學(xué)內(nèi)容主線(xiàn)，聚焦學(xué)生對(duì)重要數(shù)學(xué)概念、定理、方法、思想的理解和應(yīng)用，強(qiáng)調(diào)基礎(chǔ)性、綜合性[1].本題是一道以?huà)佄锞€(xiàn)為載體，融合拋物線(xiàn)的定義及其標(biāo)準(zhǔn)方程、拋物線(xiàn)焦點(diǎn)弦問(wèn)題、蝴蝶定理、證明定點(diǎn)定值等知識(shí)為一體的圓錐曲線(xiàn)探索性原創(chuàng)題.試題的思維過(guò)程和運(yùn)算過(guò)程既體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想，又重點(diǎn)考查了學(xué)生邏輯推理與數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng)[1]，具有一定的難度和區(qū)分度，是一道很有“嚼頭”的好題！本題構(gòu)思源自于2017年全國(guó)Ⅰ卷理科第10題以及2022年甲卷理科第20題：

（1）（2017年全國(guó)Ⅰ卷理10）已知F為拋物線(xiàn)C：y2=4x的焦點(diǎn)，過(guò)F作兩條相互垂直的直線(xiàn)l1，l2，直線(xiàn)l1與C交于A，B兩點(diǎn)，直線(xiàn)l2與C交于D，E兩點(diǎn)，則|AB|+|DE|的最小值為（）.

A.16B.14C.12D.10

（2）（2022年甲卷理20）設(shè)拋物線(xiàn)C：y2=2px（pgt;0）的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)D（p，0），過(guò)F的直線(xiàn)交C于M，N兩點(diǎn).當(dāng)直線(xiàn)MD垂直于x軸時(shí)，|MF|=3.

①求C的方程；

②設(shè)直線(xiàn)MD，ND與C的另一個(gè)交點(diǎn)分別為A，B，記直線(xiàn)MN，AB的傾斜角分別為α，β，當(dāng)α－β取得最大值時(shí)，求直線(xiàn)AB的方程.

原創(chuàng)題的解答過(guò)程如下：

解：（1）易知Fp2，0，l1，l2的斜率都存在且不為0.由l1⊥l2，設(shè)l1：x=my+p2，聯(lián)立y2=2px，整理得y2－2pmy－p2=0.設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則y1+y2=2pm，y1y2=－p2，所以|AB|=m2+1×（y1+y2）2－4y1·y2=m2+1·4p2m2+4p2=2p（m2+1）.設(shè)C（x3，y3），D（x4，y4），l2：x=－1my+p2，用－1m替換|AB|中的m，于是得|CD|=2p1+1m2，所以|AB|+|CD|=2p2+m2+1m2≥2p（2+2）=8，當(dāng)且僅當(dāng)m2=1m2，即m=±1時(shí)等號(hào)成立.故p=1，拋物線(xiàn)G的方程為y2=2x.

評(píng)注：其中本題第（1）問(wèn)是將2017年高考題改編成逆命題，轉(zhuǎn)化為求拋物線(xiàn)方程，難度不大，只要求出兩直線(xiàn)的焦點(diǎn)弦長(zhǎng)再利用基本不等式求解即可.

（2）由（1）知，G：y2=2x，F(xiàn)12，0.

若選①，kBC=y2－y3x2－x3=y2－y3y222－y232=2y2+y3，lBC：y－y2=2y2+y3（x－x2），令y=0，得x=－y22－y2y32+y222=－y2y32，則M－y2y32，0.同理N－y1y42，0.由（1）知y1y2=－p2=－1，則y2=－1y1.同理y3=－1y4.

由kBC=2kAD，得2×2y1+y4=2y2+y3，則y1+y4=2（y2+y3）=－21y1+1y4=－2（y1+y4）y1y4，解得y1y4=－2，從而y2y3=1y1y4=－12，所以N（1，0），M14，0，|NF|=12，|MF|=14，故1|NF|－1|MF|=-2為定值.

若選②，同①過(guò)程可得y1y2=y3y4=－1，y1y4=－2，y2y3=－12，所以kAC·kBD=2y1+y3·2y2+y4=4y1y2+y1y4+y2y3+y3y4=-89為定值.

若選③，同①過(guò)程可得kBC=2y2+y3，則lBC：y－y2=2y2+y3x－y222，整理得lBC：y=2y2+y3x+y2y3y2+y3.同理，得lAD：y=2y1+y4x+y1y4y1+y4.同①過(guò)程可得，y1y4=－2，y2y3=－12，則lBC：y=2y2+y3x－12（y2+y3），lAD：y=1y2+y3x－1y2+y3，聯(lián)立得x=－12，y=-32（y2+y3），故直線(xiàn)AC，BD的交點(diǎn)在定直線(xiàn)x=－12上.

評(píng)注：本題第（2）問(wèn)如果直接設(shè)y=kx－12消y后求解，運(yùn)算量會(huì)非常大，而直接利用拋物線(xiàn)方程化簡(jiǎn)kBC及kAD可以簡(jiǎn)化運(yùn)算，無(wú)論選擇選項(xiàng)①還是選項(xiàng)②，都需要利用kBC=2kAD及y1y2=y3y4=－1求出y1y4及y2y3，選項(xiàng)③在求出BC及AD方程后，不要著急聯(lián)立方程，同樣需要先找到y(tǒng)1+y4以及y2+y3的關(guān)系式，并求出y1y4及y2y3后再求出交點(diǎn)坐標(biāo).

2 原創(chuàng)題的背景溯源

坎迪定理設(shè)AB是二次曲線(xiàn)的任意一條弦，M為AB上任意一點(diǎn)，過(guò)M作任意兩條弦CD和EF，連ED，CF交直線(xiàn)AB于點(diǎn)P和Q.（1）若P，Q位于點(diǎn)M兩側(cè)，則1|AM|－1|BM|=1|PM|－1|QM|；

（2）若P，Q位于點(diǎn)M的同一側(cè)，|AM|lt;|BM|，則1|AM|－1|BM|=1|PM|+1|QM|[2].（限于篇幅，證明方法讀者可自行查閱文獻(xiàn)[2].）

基于上述定理，可以命制出如下一系列題目：

原創(chuàng)題2已知點(diǎn)P（1，0），過(guò)原點(diǎn)且斜率為k1（k1≠0）的直線(xiàn)交橢圓E：x24+y23=1于A，B兩點(diǎn)，延長(zhǎng)AP，BP分別交橢圓E于C，D兩點(diǎn)，若CD的斜率為k2，證明：（1）|AP||CP|+|BP||DP|為定值；（2）k1k2為定值；（3）直線(xiàn)CD過(guò)定點(diǎn)；（4）直線(xiàn)AB，CD的交點(diǎn)在定直線(xiàn)上.

證明：（1）設(shè)A（x1，y1），C（x3，y3），AP=λPC（λ≠－1），則1=x1+λx31+λ，y1+λy3=0，又x214+y213=1，λ2x234+λ2y233=λ2，可得（x1+λx3）（x1－λx3）4+（y1+λy3）（y1－λy3）3=（1+λ）（1－λ），所以可得x1－λx3=4（1－λ），又x1+λx3=1+λ，解得x1=52－32λ，x3=52－32λ.設(shè)B（x2，y2），D（x4，y4），BP=μPD（μ≠－1），同理得x2=52－32μ，x4=52－32μ，則x1+x2=5－32（λ+μ）.又A，B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，則x1+x2=0，

y1+y2=0，所以32（λ+μ）=5.

故|AP||CP|+|BP||DP|=λ+μ=103為定值.

（2）由（1），知k2=y3-y4x3-x4=-y1λ--y2μ-32λ--32μ=λy2－μy132λ－32μ=λy2－μy1x2－x1=λy2+μy2x2+x2=（λ+μ）2·y2x2=53k1，故k1k2=35為定值.

（3）設(shè)直線(xiàn)CD與x軸的交點(diǎn)為（m，0），由（1）知，y3x3－m=y4x4－m，即y4（x3－m）=y3（x4－m），也即m（y4－y3）=x3y4－x4y3，則m=-x3y4－x4y3y3－y4.故m=x3y4－x4y3y4－y3=x45y1λ－x35y2μy1λ－y2μ=μx4y1+λx3y1μy1+λy1=μx4+λx3μ+λ=5μ2-32+5λ2-32λ+μ=52-3λ+μ=85.

所以直線(xiàn)CD過(guò)定點(diǎn)85，0.

（4）由（2）（3）知lCD：y=k2x－85，lAB：y=k1x=35k2x，聯(lián)立解得x=4，故AB，CD的交點(diǎn)在定直線(xiàn)x=4上.

原創(chuàng)題3已知點(diǎn)M－12，0，N（1，0），過(guò)點(diǎn)M且斜率為k1（k1≠0）的直線(xiàn)交橢圓E：x24+y23=1于A，B兩點(diǎn)，延長(zhǎng)AN，BN分別交橢圓于C，D兩點(diǎn)，若CD的斜率為k2，證明：（1）k1k2為定值；（2）直線(xiàn)CD過(guò)定點(diǎn).

證明：（1）設(shè)A（x1，y1），C（x3，y3），AN=λNC（λ≠－1），同原創(chuàng)題2（1）可得1=x1+λx31+λ，y1+λy3=0，x1=52-32λ，x3=52-32λ.

設(shè)B（x2，y2），D（x4，y4），BN=μN(yùn)D（μ≠－1），同理得，1=x2+μx41+μ，y2+μy4=0，x2=52-32μ，x4=52-32μ.

同原創(chuàng)題2（2），可得k2=λy2－μy1x2－x1.

于是k2=－23x1－52y2+23x2－52y1x2－x1=53·y2－y1x2－x1-23·x1y2－x2y1x2－x1.又k1=y1x1+12=y2x2+12，整理得x1y2－x2y1=－12（y2－y1），所以k2=53k1+13·y2－y1x2－x1=2k1.故k1k2=12為定值.

（2）設(shè)直線(xiàn)CD與x軸的交點(diǎn)為（t，0），同原創(chuàng)題2（3）得t=x3y4－x4y3y4－y3=μx4y1－λx3y2μy1－λy2=52-32（y1－y2）μy1－λy2.

而μy1－λy2=2x2－52y1－3－2x1－52y2－3=2（x1y2－x2y1）3-5（y2－y1）3=2（y1－y2），則t=52-32（y1－y2）2（y1－y2）=74，故直線(xiàn)CD過(guò)定點(diǎn)74，0.

評(píng)注：原創(chuàng)題2和原創(chuàng)題3將拋物線(xiàn)中的斜率比值問(wèn)題推廣到橢圓中，利用定比點(diǎn)差法可以大大減少常規(guī)聯(lián)立方法的運(yùn)算量，而雙曲線(xiàn)的證明情況與橢圓類(lèi)似，限于篇幅，這里不再給出證明.

3 小結(jié)

原創(chuàng)題1曾作為本校高二年級(jí)的一道月考?jí)狠S題，從得分率來(lái)看，大部分學(xué)生能夠解答第（1）問(wèn)，但能夠拿滿(mǎn)分的學(xué)生不多，其原因在于忽略了基本不等式的取等條件；第（2）問(wèn)拿滿(mǎn)分的學(xué)生不到5%，學(xué)生存在不同層度的困難，有近三分之一的學(xué)生因?yàn)轭}干較為復(fù)雜，產(chǎn)生畏難情緒而空白；接近20%的學(xué)生，由于第（1）問(wèn)設(shè)直線(xiàn)方程為斜截式，從而導(dǎo)致第（2）問(wèn)運(yùn)算量增大而計(jì)算出錯(cuò)；選擇①②的學(xué)生最多，但大部分在求出M，N兩點(diǎn)坐標(biāo)或者列出kAC·kBD的關(guān)系式后，不會(huì)利用第（1）問(wèn)的韋達(dá)式找到A，B，C，D四點(diǎn)坐標(biāo)的聯(lián)系.

通過(guò)測(cè)試結(jié)果可知，學(xué)生在處理這一類(lèi)含有多點(diǎn)坐標(biāo)的雙直線(xiàn)問(wèn)題存在的最大困難在于聯(lián)立方程后，不會(huì)利用韋達(dá)定理以及題干條件處理不同點(diǎn)的坐標(biāo)關(guān)系；另外，學(xué)生的抗壓能力也需要增強(qiáng)，在面對(duì)開(kāi)放性或創(chuàng)新性題目時(shí)，要能靜下心來(lái)分析.

因此，設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)原創(chuàng)題或改編數(shù)學(xué)題目對(duì)于提高教師的教學(xué)能力、命題能力與科研水平都具有重要意義，并有效提高課堂教學(xué)效率.通過(guò)對(duì)原創(chuàng)題及其變式題不斷地尋根探源，學(xué)生不僅僅能夠解決眼前的一道高考題，更重要的是能夠收獲一類(lèi)習(xí)題的“森林”！“他山之石，可以攻玉”，教師也可以從一些參考書(shū)或高考試題中選擇合適的題目進(jìn)行變式拓展，給學(xué)生呈現(xiàn)探究性的數(shù)學(xué)習(xí)題，激發(fā)他們的求知欲，在引導(dǎo)他們觀(guān)察、思考、合作、探究的過(guò)程中培養(yǎng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，深入貫徹習(xí)近平總書(shū)記提出的立德樹(shù)人的教育理念！

參考文獻(xiàn)：

[1]陳泳，羅輝芳.八省聯(lián)考單選壓軸第七題的背景探究及應(yīng)用[J].理科考試研究，2021（23）：2225.

[2]段惠民，饒慶生.坎迪定理在圓錐曲線(xiàn)上的推廣[J].中學(xué)數(shù)學(xué)研究，2007（3）：15.