注重類比思維，聚焦核心素養(yǎng)

摘要：以“橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程”的教學(xué)為例，類比圓的學(xué)習(xí)幫助學(xué)生理解橢圓的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)，引導(dǎo)學(xué)生建立新舊知識之間的聯(lián)系，構(gòu)建數(shù)學(xué)知識框架，充分發(fā)揮學(xué)生學(xué)習(xí)的主體地位，注重教會學(xué)生學(xué)習(xí)，提升學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

關(guān)鍵詞：類比思維；數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)；橢圓

類比思維從兩個事物之間的相似性特征入手，結(jié)合具體的概念、特征來幫助學(xué)生認(rèn)識數(shù)學(xué)知識[1].在數(shù)學(xué)中，通常利用類比思維來探索新知識，從已學(xué)知識入手，抓住二者之間的相似性特征進行研究.此外，類比思維還有助于數(shù)學(xué)解題，在解題中起到化繁為簡、化難為易的作用.圓錐曲線章節(jié)是高中解析幾何部分的難點，教材更新之后，圓錐曲線在整個高中數(shù)學(xué)知識中的地位依舊是不動搖的，而且解析幾何的學(xué)習(xí)對于學(xué)生推理能力、幾何直觀、運算等能力的發(fā)展具有重要意義.

1 教學(xué)分析

1.1 教材分析

本節(jié)課是人教A版普通高中教科書數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊圓錐曲線章節(jié)“橢圓”第一課時的內(nèi)容，學(xué)生已經(jīng)經(jīng)歷了上一章節(jié)直線與圓的方程的學(xué)習(xí)，掌握了運用代數(shù)法建立直線方程的過程以及推導(dǎo)圓的方程的一般步驟.本節(jié)課學(xué)生要學(xué)會類比圓的知識內(nèi)容，學(xué)習(xí)橢圓的定義及其標(biāo)準(zhǔn)方程.本節(jié)作為章節(jié)起始課，其內(nèi)容具有全面性，在思想方面也具有一定的統(tǒng)領(lǐng)性，對后續(xù)的學(xué)習(xí)起到了一定的“先行組織者”作用，為后面學(xué)習(xí)雙曲線、拋物線提供基本思路和方法.

1.2 學(xué)情分析

學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了直線與圓的方程的相關(guān)內(nèi)容，已經(jīng)形成了一定的數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)基本思想以及類比推理的思想.從過去學(xué)生求解橢圓方程的掌握程度來看，學(xué)生通常只是機械地記憶橢圓定義，面對題目中所給條件不會變通，關(guān)于定點、定長一般找不準(zhǔn)確，從而導(dǎo)致出現(xiàn)錯誤.基于此，本文中用探究的形式類比圓的定義及其標(biāo)準(zhǔn)方程，讓學(xué)生自主理解橢圓定義并能推導(dǎo)出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

筆者并未述而不作，直接照搬書本知識，而是在橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)上做了改變，將新舊知識連接起來系統(tǒng)化，使得本節(jié)課學(xué)習(xí)方法的適用性更加廣泛，力求發(fā)展學(xué)生的邏輯推理等學(xué)科素養(yǎng).

1.3 教學(xué)目標(biāo)

（1）能夠通過動手實踐繪制橢圓軌跡，類比圓的概念定義橢圓，更加深刻地理解橢圓；類比圓的方程推導(dǎo)，探究橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo).

（2）經(jīng)歷橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)，了解建立曲線方程的基本方法，培養(yǎng)數(shù)學(xué)類比思維.

（3）在橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)及應(yīng)用中，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理、直觀想象及數(shù)學(xué)運算等素養(yǎng).

1.4 教學(xué)重難點

教學(xué)重點：掌握橢圓的定義及其標(biāo)準(zhǔn)方程.

教學(xué)難點：橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)過程及應(yīng)用.

2 教學(xué)過程

2.1 概念類比于圓，定義橢圓

以視頻形式，學(xué)生觀看生活中的橢圓及其繪制過程，隨后通過幾何直觀聯(lián)想初中學(xué)習(xí)的有關(guān)圓的知識，由圓拉長亦或是壓扁得到橢圓.回顧圓的概念，即圓是平面內(nèi)到一定點的距離等于定長的所有點組成的圖形，定點為圓心，定長為半徑；那么橢圓的概念則為平面內(nèi)到兩定點的距離之和等于定長的所有點組成的圖形，兩定點為焦點，兩焦點之間的距離為焦距.

教學(xué)說明：回顧圓的概念，由此類比推理出本節(jié)課橢圓的初步定義，讓學(xué)生感受新概念的生成源自于過去熟悉的舊概念，從特殊到一般進行演繹，發(fā)展學(xué)生邏輯推理的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的同時，也培養(yǎng)了學(xué)生類比推理的數(shù)學(xué)基本思想.學(xué)生在自我理解的基礎(chǔ)上，將新知識融入舊的知識體系中，使得新舊知識間建立起聯(lián)系，形成數(shù)學(xué)知識構(gòu)架.

2.2 親自動手操作，完善橢圓定義

給出定長長度，定點位置任意，便可繪制出幾何圖形——圓；隨后，以小組為單位進行合作，利用手中已有的作圖工具（長8.5 cm且打好結(jié)的無彈性細(xì)繩），每個小組繪制一個定長為8.5 cm的橢圓.巧妙利用現(xiàn)有學(xué)習(xí)用品作為教具，兩位同學(xué)分別取一只筆，任意選取位置作為兩定點，第三位同學(xué)則進行繪制，小組合作部分繪制過程如圖1所示.

若兩支筆之間的距離大于8.5 cm，細(xì)繩無法套上，則無法繪制出圖形；若兩支筆之間的距離正好等于8.5 cm，第三支筆放入只能沿繩的方向移動，則繪出的圖形近似于線段當(dāng)；若兩支筆之間的距離小于8.5 cm且兩支筆不重合時，第三支筆放入沿細(xì)繩移動，則繪出的圖形近似于橢圓.小組成果部分展示如圖2所示.

教學(xué)說明：學(xué)生通過動手實踐，體驗繪制橢圓的過程，感受形成橢圓所需滿足的條件，將代數(shù)條件具象化，以加深學(xué)生對于概念的理解，進一步完善橢圓概念.動起來的數(shù)學(xué)課堂，學(xué)生根據(jù)教師的指令動手操作，不僅能照顧到更多的學(xué)生，而且還能增添課堂的趣味性，提高學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性.

2.3 方法類比于圓，推導(dǎo)橢圓方程

問題上一章關(guān)于直線和圓的方程推導(dǎo)的一般步驟是什么？

建系—設(shè)點—列式—化簡.

橢圓同樣具有與圓一樣的對稱性，為了減少化簡過程中的運算量，以橢圓的兩條對稱軸為橫、縱坐標(biāo)軸建系，且兩個焦點位于橫軸上或者是縱軸上.同樣，為了簡便計算可巧行設(shè)點，以焦點位于x軸上為例，如圖3，設(shè)兩焦點坐標(biāo)分別為F1（－c，0），F(xiàn)2（c，0），橢圓上任意點M（x，y）與兩焦點的距離之和等于2a（2agt;2c）.

先利用勾股定理，用a，c，x，y表示|MF1|及|MF2|，再根據(jù)等量關(guān)系|MF1|+|MF2|=2a列出等式.通過化簡合并同類項得（a2-c2）x2+a2y2=a4－a2c2，最終化簡為x2a2+y2a2－c2=1，為了使橢圓方程看上去更加簡潔、美觀，設(shè)a2－c2=b2，得到教材上的橢圓方程x2a2+y2b2=1（agt;bgt;0）.

類比上述運算過程，學(xué)生自主推導(dǎo)焦點在y軸上的橢圓方程，見圖4.焦點為F1（0，－c），F(xiàn)2（0，c），a，b，c的意義同上，得到橢圓方程x2b2+y2a2=1（agt;bgt;0）.

綜合觀察兩個方程，得出結(jié)論，即x2，y2的分母相比，若x2的分母大，則焦點位于x軸上，反之則位于y軸上.

教學(xué)說明：類比推導(dǎo)圓的方程的一般步驟，引導(dǎo)學(xué)生自主探究推導(dǎo)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.橢圓作為圓錐曲線章節(jié)的起始課，起到了承上啟下的作用，學(xué)生可借鑒本堂課所講授的方法，為后續(xù)圓錐曲線的學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ).教師要真正做到，由教會學(xué)生知識向教會學(xué)生學(xué)習(xí)過渡，將新知與舊知巧妙建立聯(lián)系，在教學(xué)活動中潛移默化地滲透邏輯推理素養(yǎng).

2.4 巧用類比思維，感悟新知解題

定長相等，且存在定點重合的圓和橢圓為一對相關(guān)曲線，現(xiàn)有一對相關(guān)曲線，其中圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（x+1）2+y2=16，橢圓與y軸相交于點M，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

教學(xué)說明：檢驗學(xué)生對于圓與橢圓的聯(lián)系與區(qū)別，此題文字雖少，但卻字字都蘊含著解題信息.學(xué)生需讀懂“相關(guān)曲線”，再結(jié)合所給圓的標(biāo)準(zhǔn)方程提煉出求解橢圓方程所需的關(guān)鍵信息.此外，此題并未給出對應(yīng)的圖形信息，需要學(xué)生由數(shù)變形，數(shù)形結(jié)合，以達(dá)到培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理和直觀想象核心素養(yǎng).

2.5 課堂總結(jié)提升，布置探究問題

（1）本節(jié)課的收獲有哪些？運用了哪些數(shù)學(xué)思想方法解題？

（2）推導(dǎo)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的一般步驟是什么？

（3）思考：課上每個小組繪制的橢圓，并非一模一樣，其形狀大小為什么存在一定的差異，下節(jié)課我們一起來揭秘.

3 教學(xué)反思

3.1 注重教會學(xué)生學(xué)習(xí)

涂榮豹教授構(gòu)建的“數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計原理”是一個完整的邏輯體系，其核心是“教學(xué)生學(xué)會思考”[2].新課改下的教學(xué)觀，教學(xué)從“教會學(xué)生知識”轉(zhuǎn)向“教會學(xué)生學(xué)習(xí)”，當(dāng)下的教學(xué)不再停留在知識表層，而更多的是培養(yǎng)學(xué)生的自主學(xué)習(xí)以及獨立思考的能力.本節(jié)課主要是基于邏輯推理素養(yǎng)的培養(yǎng)設(shè)計教學(xué)活動，以學(xué)生熟悉的特殊圓錐曲線——圓作為新課導(dǎo)入.因為在課前讓學(xué)生建立起圓與橢圓的聯(lián)系，在給出橢圓的定義及推導(dǎo)標(biāo)準(zhǔn)方程的過程中，引導(dǎo)學(xué)生們類比圓的學(xué)習(xí)，嘗試自主探究，以此培養(yǎng)學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力以及從特殊到一般的推理能力.課堂上給予學(xué)生更多的思考空間，教給學(xué)生一定的學(xué)習(xí)方法，教會學(xué)生如何去學(xué)習(xí)、如何去思考.

3.2 注重邏輯推理素養(yǎng)的培養(yǎng)

推理能力不僅是一種數(shù)學(xué)的實踐能力，更是一種數(shù)學(xué)的思維能力.邏輯推理的培養(yǎng)在于平日的不斷累積，并非一蹴而就.橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)，既是本節(jié)課的重點，也是難點，更是提升學(xué)生邏輯推理素養(yǎng)不可錯失的良機，其中需要突破的關(guān)鍵點在于，類比上一章節(jié)圓的方程的推導(dǎo)過程，形成橢圓方程的推導(dǎo).經(jīng)歷從特殊到一般的邏輯推理過程，即便在對橢圓方程記憶模糊的情況之下，也能夠自主進行簡易的推導(dǎo)演算，從根源上去掌握知識點.邏輯推理素養(yǎng)的培養(yǎng)，其中也滲透著一定的數(shù)學(xué)思維，數(shù)學(xué)思維方法的條理和脈絡(luò)是數(shù)學(xué)思想.橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程推導(dǎo)過程中運用的類比思想，最終形成數(shù)學(xué)思維應(yīng)用于生活，用數(shù)學(xué)的思維去思考生活實際問題.這也驗證了我們一直所強調(diào)的一句話：生活離不開數(shù)學(xué)，數(shù)學(xué)離不開生活，數(shù)學(xué)知識源于生活而最終服務(wù)于生活.

參考文獻：

[1]夏衛(wèi)東.例談高中數(shù)學(xué)教學(xué)中類比思維的有效運用[J].數(shù)理天地（高中版），2023（23）：7880.

[2]李鋒雷.“教學(xué)生學(xué)會思考”的案例分析[J].中國數(shù)學(xué)教育，2022（6）：4045.