關(guān)于平面無(wú)限延展性的教學(xué)思考

摘要：平面作為幾何公理體系中的一個(gè)基本概念是不加以定義的，高中數(shù)學(xué)立體幾何初步的教學(xué)是借助幾個(gè)基本事實(shí)，通過(guò)直線的無(wú)限延伸性來(lái)刻畫平面的無(wú)限延展性的.加強(qiáng)學(xué)生對(duì)平面無(wú)限延展性的理解，加深學(xué)生對(duì)空間無(wú)限性的感悟，對(duì)學(xué)生空間想象能力的提高、空間觀念的形成等有著極其重要的意義.本文中提供三種教學(xué)設(shè)計(jì)方法，引導(dǎo)學(xué)生逐步建立平面無(wú)限延展性的空間觀念，培養(yǎng)學(xué)生直觀想象、邏輯推理等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

關(guān)鍵詞：平面無(wú)限延展性；教學(xué)；空間想象能力；邏輯推理

人教版普通高中教科書《數(shù)學(xué)》（必修第二冊(cè)）“立體幾何初步”中，對(duì)于“平面”是這樣描述的：“生活中有一些物體給我們以平面的直觀感覺(jué)，如課桌面、黑板面、平靜的水面等，幾何里所說(shuō)的‘平面’就是從這樣的一些物體中抽象出來(lái)的.類似于直線向兩端無(wú)限延伸，平面是向四周無(wú)限延展的.”在幾何公理體系之中，“平面”作為一個(gè)基本概念是不加以定義的，而是通過(guò)公理建立基本概念之間的聯(lián)系來(lái)刻畫其本質(zhì)特征的.教材中的基本事實(shí)１—基本事實(shí)３，實(shí)際上是通過(guò)直線的“直”和“無(wú)限延伸”刻畫了平面的“平”和“無(wú)限延展”的本質(zhì)特征[1].在研究后面的定理時(shí)，都是沿著立體空間基本元素之間位置關(guān)系的邏輯鏈條尋找底層邏輯，逐步地回到公理，回歸到平面的基本性質(zhì)上.教學(xué)“平面”，常常局限在有限空間內(nèi)，多以“平行四邊形”的直觀性替代“平面”，難以拓展學(xué)生對(duì)平面的無(wú)限延展性的想象思維，不利于學(xué)生解題作圖能力的提升和空間想象等核心素養(yǎng)的培養(yǎng)，如何破解，本文中嘗試提供三種教學(xué)設(shè)計(jì)思路.

1 引導(dǎo)作圖，點(diǎn)線構(gòu)“面”

識(shí)圖能力、空間想象能力和動(dòng)手作圖能力對(duì)應(yīng)著學(xué)生頭腦中的輸入、加工和輸出過(guò)程，立體幾何部分的學(xué)習(xí)對(duì)這些能力的提升起著至關(guān)重要的作用.其中作圖是學(xué)生學(xué)習(xí)立體幾何部分的“第一大事”，在紙面上畫空間中的立體圖形，是培養(yǎng)直觀想象這一核心素養(yǎng)的重要契機(jī)[2].在有限的空間內(nèi)表現(xiàn)無(wú)限的平面，學(xué)生對(duì)此要做到會(huì)看、會(huì)想、會(huì)畫，通過(guò)添加輔助線等方法把相關(guān)幾何元素聯(lián)系起來(lái)，才能將抽象的、看不見的、陌生的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為具象的、可視的、熟悉的問(wèn)題.

例1正四棱錐PABCD中，求作平面PAB與平面PCD的交線，并說(shuō)明它與AB的位置關(guān)系.

如圖1，平面PAB與平面PCD有一個(gè)公共點(diǎn)P，容易聯(lián)想到基本事實(shí)3，學(xué)生頭腦中的想象可能如圖2所示，初步想像交線l的大致位置，從而感知直線l與已知線面的位置關(guān)系.

正四棱錐的兩個(gè)“三角形”平面，與常規(guī)“平行四邊形”不同，引導(dǎo)學(xué)生作圖，讓學(xué)生更深刻地體會(huì)圖形組合元素——點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系.作圖過(guò)程中，學(xué)生經(jīng)歷對(duì)無(wú)限延展平面的想象過(guò)程，感知直線l與已知線面的位置關(guān)系，進(jìn)而尋找證明它與AB平行的邏輯關(guān)系，找到它與AB平行的邏輯結(jié)構(gòu)，從而進(jìn)行邏輯推理.

例2如圖3所示的一塊木料中，棱BC平行于面A′C′，要經(jīng)過(guò)面A′C′內(nèi)的一點(diǎn)P和棱BC將木料鋸開，在木料表面應(yīng)該怎樣畫線？

學(xué)生想象，直線BC和點(diǎn)P可以確定一個(gè)平面，即為截面，需要找出所作截面與相關(guān)平面的交線.再根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理畫出線段EF，EB，F(xiàn)C以確定截面，如圖4.

本題作圖，體現(xiàn)了平面無(wú)限延展性的實(shí)際應(yīng)用，將看不見的、虛空的直線和平面運(yùn)用推論與定理轉(zhuǎn)化為可以看得見的、具象的線面關(guān)系，進(jìn)而能夠在有限的空間中表現(xiàn)出無(wú)限的平面，將抽象的空間可視化，讓學(xué)生在具體的情境中感悟其本質(zhì).

2 應(yīng)用性質(zhì)，邏輯推理

立體幾何是高考考查學(xué)生核心素養(yǎng)的重要載體.近幾年的高考中涉及到空間無(wú)限性的問(wèn)題，是在有限的紙面上刻畫無(wú)限空間，既能考查學(xué)生的直觀想象素養(yǎng)，也能考查學(xué)生對(duì)空間點(diǎn)、直線、平面之間位置關(guān)系的理解與掌握[3]，同時(shí)也為我們的教學(xué)打開了新的視角，提供了新的素材.

例3平面α過(guò)正方體ABCDA1B1C1D1的頂點(diǎn)A，α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD=m，α∩平面ABB1A1=n，求m，n所成角的正弦值.

本題將線面以及面面的位置關(guān)系置于一個(gè)確定的幾何體中，借助于異面直線所成的角，考查線面與線線位置關(guān)系.α是無(wú)限空間中的一個(gè)未知平面，但是根據(jù)其與已知空間元素的位置關(guān)系，可以在正方體內(nèi)部利用兩個(gè)平面平行的判定定理，找到與之平行的平面A1BD（如圖5），因其與平面ABCD和平面ABB1A1分別相交，從而可以借助交線BD和A1B來(lái)解決問(wèn)題.

例4已知正方體的棱長(zhǎng)為１，每條棱所在直線與平面α所成的角相等，求α截此正方體所得截面面積的最大值.

我們知道正方體的12條棱是三組平行的棱，要使得每條棱所在直線與平面α所成的角相等，只需保證平面α與3條共頂點(diǎn)的棱（這里選取如圖6所示的OA，OB，OC三條棱）所成的角相等即可，則易知平面α與平面ABC平行.為了找到面積最大的截面，可如圖6所示沿著過(guò)點(diǎn)O的體對(duì)角線平行移動(dòng)平面ABC.建立移動(dòng)過(guò)程中截面面積的表達(dá)式，即可求出截面面積的最大值.

例3與例4這兩道高考真題都將視線從有限的幾何體轉(zhuǎn)向無(wú)限的立體空間，都充分體現(xiàn)了平面無(wú)限延展性的應(yīng)用魅力.在解決這兩個(gè)問(wèn)題時(shí)，都要在對(duì)平面α本質(zhì)特征和已知點(diǎn)、線、面位置關(guān)系充分理解的基礎(chǔ)上，尋找題目情境中的具象性與確定性，將問(wèn)題可視化、具象化，從而回歸到最本質(zhì)的、熟悉的對(duì)空間圖形性質(zhì)的研究上.學(xué)生在這樣的問(wèn)題解決過(guò)程中，定會(huì)進(jìn)一步加深對(duì)空間無(wú)限性的感悟.

3 拓展方法，一題多解

平面的無(wú)限延展性可以為我們提供一種新的解題方法，開闊解題思路.

例5將如圖7所示的木質(zhì)正四棱錐模型PABCD切割成三個(gè)小四棱錐：過(guò)點(diǎn)A作一個(gè)平面分別與棱PB，PC，PD交于點(diǎn)E，F(xiàn)，G，得到四棱錐PAEFG，再將剩下的幾何體沿平面ACF切開，得到另外兩個(gè)小四棱錐.若PEPB=35，PFPC=12，求PGPD的值.

這道題除了可以用向量來(lái)解決之外，我們還可以通過(guò)強(qiáng)調(diào)平面AEFG和平面ABCD有一個(gè)公共點(diǎn)A，引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)想基本事實(shí)3，從而可以得知平面AEFG和平面ABCD必有唯一一條經(jīng)過(guò)點(diǎn)A的公共直線，只要找到這條直線，就有可能找到解決問(wèn)題的方法.由條件易知直線EF與直線CB必相交，設(shè)交點(diǎn)為M；同樣地，AM與CD必相交，設(shè)交點(diǎn)為K.于是可得K，A，M三點(diǎn)都在平面AEFG和平面ABCD的公共直線上（如圖8所示）.再借助相似三角形的性質(zhì)得到相關(guān)線段長(zhǎng)度的數(shù)量關(guān)系，從而解決問(wèn)題.

解析：如圖9，延長(zhǎng)FE和CB，設(shè)直線FE和CB相交于點(diǎn)M，由于平面AEFG和平面ABCD有一個(gè)公共點(diǎn)A，則這兩個(gè)平面必有唯一一條過(guò)點(diǎn)A的公共直線.又EF∩CB=M，所以點(diǎn)M也是這兩個(gè)平面的公共點(diǎn)，故平面AEFG∩平面ABCD=AM.根據(jù)題意可知，F(xiàn)G與CD必相交，設(shè)CD∩FG=K，則點(diǎn)K必在直線AM上.故可得△AMB∽△KAD.

取PB的中點(diǎn)N，連接FN，則可得FN=12BC，△NFE∽△BME.

易知NE=35PB－12PB=110PB，BE=25PB.

所以NFMB=NEBE=14，則MB=4NF=2BC.

由△AMB∽△KAD，可知ABKD=MBAD=2，所以AB=2KD.

取PD的中點(diǎn)Q，連接QF，則QF=12AB=KD，從而△QFG∽△DKG.

所以QGDG=QFKD=1，即G是QD的中點(diǎn)，則PGPD=34.

打破固有幾何體的空間局限，利用好平面的無(wú)限延展性，可以將目光放得更遠(yuǎn)，既能培養(yǎng)學(xué)生的動(dòng)手作圖能力，促進(jìn)學(xué)生對(duì)空間幾何元素之間位置關(guān)系的理解與掌握，也能促進(jìn)學(xué)生直觀想象素養(yǎng)和邏輯推理能力等的形成.學(xué)生通過(guò)直觀感知、動(dòng)手作圖、邏輯推理、計(jì)算驗(yàn)證，實(shí)現(xiàn)由表及里、從感性到理性的認(rèn)識(shí)，在不斷深化對(duì)點(diǎn)、線、面位置關(guān)系認(rèn)識(shí)的過(guò)程中逐步建立空間觀念.

參考文獻(xiàn)：

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