基于疲勞強度分布的雙過渡P S N曲線研究

摘要： 以往研究發(fā)現，不同金屬材料的疲勞壽命分布隨著載荷水平的變化往往有不同的分布類型，而不同壽命對應的疲勞強度一般近似服從同一分布?；凇暗刃趶姸取备拍羁梢院喜⒉煌趬勖碌臄祿?，在假定總體樣本的疲勞強度服從正態(tài)分布的前提下，采用極大似然法進行參數估計。一些經典的模型如Strohmeyer模型，采用上述方法時往往在中周到高周或中周到低周的過渡段擬合效果不佳。對此，構建了一種含兩個過渡段的中高周S N曲線并給出了適用于工程設計的P S N曲線。對ZL101A鋁合金和BSM590結構鋼兩種材料分別開展含兩個過渡區(qū)的中高周疲勞試驗，對比Strohmeyer等模型發(fā)現：新提出的“雙過渡”S N曲線在中小樣本量下的擬合優(yōu)度更好；相較采用升降法計算得到的疲勞極限，采用基于疲勞強度分布擬合得到的疲勞極限偏差均在3%以內，而采用新提出的S N曲線的計算偏差均小于1%；在中周到高周區(qū)的過渡段對比Dixon mood方法計算得到的結果，采用提出的S N曲線在過渡段精度分別達到92.2%和99.9%。

關鍵詞： 應力 壽命曲線；疲勞強度；極大似然法；疲勞極限

DOI： 10.3969/j.issn.1001 2222.2025.01.010

中圖分類號：TK422.4" 文獻標志碼： B" 文章編號： 1001 2222（2025）01 0067 09

隨著航空、航天、汽車、船舶等行業(yè)向高溫、高速的使用環(huán)境快速發(fā)展，越來越多極端工況下的金屬材料部件需要考慮抗疲勞設計^［1］?！稒C械工程學科發(fā)展戰(zhàn)略報告（2021—2035）》中指出，在機械結構強度與壽命領域的研究前沿包含發(fā)展基于概率統(tǒng)計理論的壽命設計，以實現精準的壽命預測^［2］。

通過傳統(tǒng)的大樣本統(tǒng)計方法來獲取可靠的P S N曲線成本較大，根據GB/T 24176—2009《金屬材料 疲勞試驗 數據統(tǒng)計方案與分析方法》，要得到95%置信度下包含5%～95%失效概率的P S N曲線至少需要58個試樣^［3］。針對壽命分布假設的小樣本P S N曲線，過去主要做了以下研究。一類是基于大樣本統(tǒng)計的方法進行改進。凌靜等^［4］采用三參數非線性表達式和對數壽命服從正態(tài)分布的假設提出了一種基于小樣本P S N曲線的極大似然測定方法。傅惠民等^［5］基于異方差回歸分析理論實現了多母體聯(lián)合推斷的P S N小子樣測試方法。李洪雙等^［6］基于Bootstrap方法提出了一種估計任意置信度和任意可靠度下的C P S N曲線來改善小樣本疲勞測試數據估計方法。謝里陽等^［7］基于“疲勞失效跡線”與疲勞壽命分布的相關假設提出了樣本信息聚集原理，用于解決小樣本擬合P S N問題。此外還有基于Bootstrap方法建立的三參數P S N擬合方法和基于物理信息的神經網絡來構建小樣本P S N的方法等^{［8 10］}。另一類是基于貝葉斯方法等融合歷史信息與小樣本試驗數據進行統(tǒng)計推斷，例如呂箴等^［11］提出了一種結合歷史數據與當前數據的加權最小二乘法統(tǒng)計壽命分布的方法。除上述兩類方法外，還有將S N曲線的參數視為隨機變量的非嵌入式多項式展開的小子樣方法等。以往這些方法的共性為在壽命分布形式已知的情況下外推P S N曲線，通過數據聚集的方法考慮總體概率分布，能有效擴充數據。然而大量研究表明，不同金屬材料的疲勞壽命往往具有不同的分布類型，如對數正態(tài)分布、三參數威布爾分布，對于某些材料還可能會有混合分布等^{［12 16］}。因此這類方法在未能充分確定疲勞壽命分布類型時很難給出可靠的P S N曲線。

研究發(fā)現，在高周疲勞范圍內疲勞強度分布基本服從正態(tài)分布^{［13 18］}。張艷斌等^［17］基于疲勞強度分布的統(tǒng)計方法結合線性損傷原理將中周區(qū)的數據點進行聚集，得到了小樣本P S N曲線。S. HANAKI等^{［18 20］}基于“等效疲勞強度”的概念提出了對中高周區(qū)數據進行聚集的方法，采用最小二乘法擬合JSMS標準中多種S N曲線，發(fā)現與常規(guī)Probit分析最接近的S N曲線為Strohmeyer模型。試驗結果在中周到高周和低周到高周過渡區(qū)的壽命分散性增加，一方面，單純的線性模型不能直接拓展到中周到高周的過渡區(qū)，包含過渡區(qū)的線性S N曲線的斜率會更加平坦，另一方面，相關研究表明，S N曲線的擬合精度會隨著靠近過渡區(qū)而增加^［21］，因此，在獲取S N曲線時需要將低周到中周的過渡區(qū)考慮在內。

為了進一步提高模型精度和對材料疲勞極限的預測精度，本研究提出了一種表述包含兩個過渡區(qū)的中高周疲勞S N曲線，并基于疲勞強度分布假設采用極大似然法得出了適用于工程設計的小樣本高置信度P S N曲線。

1 雙過渡S N曲線提出

在國家標準GB/T 24176—2009《金屬材料 疲勞試驗 數據統(tǒng)計方案與分析方法》中，最常用的S N曲線是在中壽命區(qū)對數應力與對數壽命為線性關系的冪函數^［3］：

S=aNb。（1）

式中：S為應力；N為循環(huán)次數；a和b為與材料相關的未知參數。將兩邊同時取對數即為ISO 12107—2012等標準中常用的Basquin曲線^［19］：

lgN=A1+B1lgS。（2）

式中：A1和B1為與材料相關的未知參數。根據相關研究，由Basquin拓展到低周區(qū)的形式^［21］為

lg（N－D11）=A2+B2lgS。（3）

考慮到對數壽命內取值范圍，令D1=－D11，則

lg（N+D1）=A2+B2lgS。（4）

類似的方法拓展到高周區(qū)的形式為

lgN=A3+B3lg（S－S0）。（5）

式中：S0為疲勞極限，這里拓展到高周區(qū)的形式即Strohmeyer曲線。令A31=－A3/B3，B31=1/B3，將S0視作隨機變量E，有：

lg（S－E）=A31+B31lgN。（6）

因此本研究在建立S N模型時主要考慮了3個因素（如圖1）：首先，試樣的壽命應當隨著應力減少而增加，其變化過程近似服從雙對數下的線性關系；其次，在某個應力水平下試樣壽命可以達到理論上的無限壽命；最后，在中周區(qū)域分別與低周區(qū)域和高周區(qū)域的過渡區(qū)有曲線過渡段。

由式（2）可以得到：

lgS－B*lgN=A*。（7）

式中：B=1/B，A=－A/B。由于lgS－BlgN在中周區(qū)計算結果為常數項，因此符合材料在中周對數應力幅值和對數壽命為線性關系的基本規(guī)律。令B=（B1+B31）/（1－B2），A=（lgC+A2+A31）/（1－B2），代入式（7），有：

lgS－（B1+B31）（1－B2）lgN=（lgC+A2+A31）（1－B2）。（8）

改寫為

lgS－B1lgN=lgC+A2+A31+B2lgS+B31lgN。（9）

聯(lián)立式（4）、式（6）和式（9），有：

lgS－B1lgN=lgC+lg（N+D1）+lg（S－E）。（10）

根據式（10），本研究給出的雙過渡S N曲線方程如下：

1（N－D1）（S－E）exp（lgS－B1lgN）=C。（11）

式中：E為與疲勞極限相關的未知參數，E＞0；D1為與低周過渡區(qū)相關的未知位置參數，D1＞0；B1為形狀參數，B1＜0；C為未知常量。根據《航空金屬材料疲勞性能手冊》中的鋁合金LY12CZ疲勞試驗數據與統(tǒng)計結果^［22］，按照本研究給出的方法擬合S N曲線，結果見圖2。

為了方便后續(xù)計算在“疲勞強度分布假設”下的應力，在滿足E≠0的條件下求解方程（11），不妨令D=D1，B=B1，并將S改寫為N的函數：

S=E－N^－BC（N+D）+1。（12）

應力幅值在S N曲線的分布有以下兩點假設：

①不同循環(huán)次數下的應力分布近似相同；

②應力分布服從正態(tài)分布、對數正態(tài)分布或威布爾分布。

如圖3所示，假設某次疲勞試驗中循環(huán)次數為Ni，應力幅值S是對應Ni的隨機變量，服從正態(tài)分布。根據“應力分布假設”，對于不同循環(huán)次數下的疲勞試驗有σS1=σS2=…=σSn=σS，σSi為某個循環(huán)次數對應的應力幅值的標準差，σS為總體應力幅值的標準差。不同壽命下的應力分布具有相似的分位點，因此對應的密度函數如式（13）所示。

f（S，Ni，μi，σS）=1σS2πexp（－（Si－μi）22σ2S）。（13）

式中：μi=S（Ni）。

2 試驗方法及結果

2.1 試驗對象及基本力學性能

ZL101A鋁合金與BSM590結構鋼的化學成分如表1和表2所示。由拉伸試驗得到室溫時兩種材料的拉伸屈服強度Sy、抗拉強度Su，如表3所示。

用于疲勞試驗數據處理的試樣如圖4所示，試驗根據GB/T 3075—2021《金屬材料" 疲勞試驗 軸向力控制方法》進行試樣尺寸設計^［23］。由于試樣表面微小的劃痕都可能發(fā)展為裂紋擴展源，因此在兩種試樣加工完成后均進行了精細拋光。

2.2 試驗方法及結果

根據GB/T 3075—2021《金屬材料 疲勞試驗 軸向力控制方法》和GB/T 26076—2010《金屬薄板（帶） 軸向力控制疲勞試驗方法》，進行了在室溫環(huán)境下的疲勞試驗^{［23 24］}。疲勞試驗采用QBG100疲勞試驗機（見圖5），試驗頻率為95 Hz。試驗分為中等樣本與小樣本兩組：ZL101A疲勞試驗為中等樣本，共使用37個試樣，其中15個試樣用于升降法試驗；BSM590疲勞試驗為小樣本，共使用25個試樣，其中10個試樣用于升降法試驗。試驗結果如圖6所示。

不同于傳統(tǒng)的成組法試驗流程，為了保證試驗數據含低周到中周及中周到高周的過渡區(qū)的數據，試驗時先采用單點試驗法確定本輪試驗的壽命分布范圍，然后從接近中周區(qū)中部的試驗開始成組試驗，逐步向高載荷水平（或低載荷水平）接近的同時計算該組試驗的變異系數，根據變異系數的變化來判斷試驗是否結束，如圖7所示。

3 參數估計方法與擬合結果

3.1 應力分布假設下的極大似然法

假設應力的分布形式為正態(tài)分布，采用極大似然法求解曲線中未知參數的關鍵是構建似然函數L，使得事件發(fā)生的概率最大。根據參與擬合數據是否含有截斷數據分為兩種似然函數，其中不含截斷數據時的似然函數如下：

L（S，Ni，μi，σS）=∏ni=1f（S，Ni，μi，σS）。（14）

根據W. NELSON^［25］的工作，在擬合含截斷數據的S N曲線時應當考慮截斷數據的影響，采用含有截斷數據時的似然函數如下：

L（S，Ni，μi，σS）=∏ni=1［f（S，Ni，μi，σS）］^δi［1－F（S，Ni，μi，σS）］^1－δi。（15）

式中：F（S，Ni，μi，σS）為對應的分布函數；S為服從正態(tài)分布的應力幅值；Ni為疲勞試驗的循環(huán)次數；μi為循環(huán)次數均值；σS為應力標準差；δi為計數量，當試樣通過試驗時（截斷數據）δi=1，當試樣提前斷裂或失效時δi=0。針對所提出的模型，聯(lián)立式（12）式（13）構建如下對數似然函數：

lg（L（S，Ni，μi，σS））=－12∑ni=1lg2π－∑ni=1lgσS－∑ni=1［SiE－Ni^－B/C（D+Ni）+1］22σS2。（16）

對式（16）中需要估計的參數求偏導并令其恒等于0，得出以下參數求解方程：

lg（L（S，Ni，μi，σS））σS=－nσS+∑ni=1［SiE－Ni^－B/C（D+Ni）+1］2σS2，（17）

lg（L（S，Ni，μi，σS））B=∑ni=1ENi^－BlgNi［Si－E－Ni^－B/C（D+Ni）+1］－σ2SC（D+Ni）［－Ni^－BC（D+Ni）+1］2，（18）

lg（L（S，Ni，μi，σS））C=∑ni=1ENi^－B［Si－E－Ni^－B/C（D+Ni）+1］－σ2S（D+Ni）［－Ni^－B（D+Ni）+C］2，（19）

lg（L（S，Ni，μi，σS））D=∑ni=1ENi^－B［Si－E－Ni^－B/C（D+Ni）+1］σ2SC［Ni^－B－C（D+Ni）］2，（20）

lg（L（S，Ni，μi，σS））E=∑ni=1［Si－E－Ni^－B/C（D+Ni）+1］σ2S［－Ni^－BC（D+Ni）+1］2。（21）

聯(lián)立等式（17）至式（21）并使得各偏導項等于0，可求得未知參量。需要注意的是，σS，－B，C，D，E的取值均大于0。根據ISO 12107—2012中推薦的方法，曲線的擬合優(yōu)度可以采用決定系數（coefficient of determination）R2來量化^［19］：

R2=∑ni=1（lgi－lg）2∑ni=1（lgYi－lg）2。（22）

式中：Yi為實際壽命值；i為某應力水平對應的壽命的預測值；為實際壽命的平均值。為了更準確地評估擬合結果對異常數據的敏感性，常采用均方根誤差（root mean square error，RMSE）進行計算：

RMSE=1n∑ni=1（i－Yi）2。（23）

3.2 引用多個數據的擬合結果驗證

為了驗證所提出S N曲線方程的有效性與實用性，采用前述方法對如表4中32組數據進行參數擬合。

雙過渡S N曲線、Strohmeyer曲線和Basquin曲線對以上數據的擬合結果如圖8所示。從R2計算結果來看，擬合精度由大到小依次為雙過渡S N曲線，Strohmeyer曲線，Basquin曲線。從RMSE計算結果來看，誤差由大到小依次為Basquin曲線，Strohmeyer曲線，雙過渡S N曲線，即雙過渡S N

曲線對數據的整體解釋性更好。從疲勞極限預測精度的整體計算結果來看，雙過渡S N曲線的預測精度要好于Strohmeyer曲線。從樣本數量變化來看，隨著數據樣本量的增加，數據的擬合精度結果趨于穩(wěn)定。

4 試驗數據擬合及結果驗證

4.1 不同曲線的擬合情況對比

為了驗證所提出的S N曲線在基于應力分布假設下的擬合方法的實用性，基于ZL101A和BSM590試驗結果進行曲線擬合。結合ISO 12107—2012中推薦使用的Basquin曲線和Strohmeyer曲線，分別基于應力分布假設的極大似然法進行擬合，并與新提出的曲線進行對比，結果如圖9所示。曲線的參數估計結果如表5所示，相關的擬合優(yōu)度與疲勞極限預測精度如表6所示。

對于中等樣本ZL101A試驗數據的擬合結果，從擬合曲線的趨勢來看，本研究提出的S N曲線比Basquin曲線和Strohmeyer曲線更能反映數據的變化趨勢，其決定系數R2為0.76；從疲勞極限的預測精度來看，新提出的S N曲線對疲勞極限的預測精度要稍好于Strohmeyer曲線。對于小樣本BSM590試驗數據的擬合結果，從擬合曲線的趨勢來看，本研究提出的S N曲線比Strohmeyer曲線更能反映數據的變化趨勢，其決定系數R2為0.88；從疲勞極限的預測精度來看，Strohmeyer模型的預測精度要稍差于新提出的S N曲線?？傮w來看，新提出的S N曲線對疲勞極限的預測精度和擬合優(yōu)度在中、小樣本的數據量上均表現較好，主要是因為新提出的曲線參數量要多于其他模型，因而在曲線的過渡段變化更靈活。

此外，在過渡區(qū)拐點處的實際載荷應當采用Dixon mood所提出的方法進行計算，這里截斷數據的截斷位置為Basquin曲線的拐點Nd。因此Nd所對應的實際載荷水平可以采用如圖10所示的方式進行計算，ZL101A數據的計算結果為Nd1=10 986 800，載荷水平Sd1=72.3 MPa；同理，BSM590數據的計算結果為Nd2=1 373 410，載荷水平Sd2=264 MPa。對于Strohmeyer模型，在ZL101A材料和BSM590材料的曲線拐點處的載荷計算偏差分別為7.3%和0.7%；對于本研究提出的模型，在ZL101A材料和BSM590材料的曲線拐點處的載荷計算偏差分別為4.8%和0.1%。上述結果表明，本研究所提出的S N曲線在過渡段的表現優(yōu)于Strohmeyer模型，疲勞極限的預測偏差也更??；擬合精度在小樣本中的表現更好。

4.2 新S N曲線的P S N擬合結果驗證

基于應力分布假設采用極大似然法來擬合新提出的P S N曲線。對于中等數量試驗的ZL101A樣本，一共有29個數據點參與擬合，最佳擬合所計算出的σS=10.8。利用這一分析結果，可以根據每個給定循環(huán)次數疲勞強度分布的百分位數繪制P S N曲線，如圖11a所示。在參與擬合的失效數據點中，29個失效點中有21個（72.4%）位于第10和第90百分位（80%的范圍），29個失效點中有24個（82.8%）位于第5和第95百分位（90%的范圍），28個點（96.6%）位于第1和第99百分位（98%范圍）。對于小樣本試驗的BSM590樣本，一共有15個數據點參與擬合，最佳擬合所計算出的σS=7.9。利用這一分析結果，可以根據每個給定循環(huán)次數的疲勞強度分布的百分位數繪制P S N曲線，如圖11b所示。在參與擬合的失效數據點中，15個失效點中有12個（80%）位于第10和第90百分位（80%的范圍），15個失效點中有13個（86.7%）位于

第5和第95百分位（90%的范圍），14個點（93.3%）位于第1和第99百分位（98%范圍）。因此百分位帶與試驗數據吻合較好。

為保證疲勞強度分布假設的準確性，國標GB/T 4882—2001《數據的統(tǒng)計處理和解釋 正態(tài)性檢驗》對于數據量在8～50時推薦采用Shapiro Wilk檢驗^［34］。對擬合結果進行正態(tài)檢驗，殘差統(tǒng)計結果見圖12。

對于ZL101A中等樣本數據，樣本量n=29且給定α=0.05時的p分位數為0.63，由于計算得到的檢驗統(tǒng)計量W為0.97，大于該p分位值，因此在顯著水平α=0.05時不拒絕原假設。同理，計算BSM590小樣本數據時在顯著水平α=0.05時計算得到的p分位數為0.16，且檢驗統(tǒng)計量W為0.87，不拒絕原假設。根據上述分析結果可知，采用本方法在中等樣本數據（ZL101A）中應用所得到的置信度95%下的P S N曲線在失效率為5%～95%范圍所使用的試樣數僅為常規(guī)成組法的50%，而更小樣本（BSM590）使用試樣數僅為常規(guī)成組法的26%。

5 結論

a） 提出的方法在中等樣本數據（ZL101A）中應用所得到的95%置信度下的P S N曲線在失效率為5%～95%范圍所使用的試樣數僅為常規(guī)成組法的50%；

b） 從超過30種引用數據中，雙過渡S N曲線方程計算所得到的疲勞極限偏差精度要高于Strohmeyer方程；在兩種實測驗證數據中，兩種曲線的疲勞極限預測精度均在3%以內，其中計算偏差最小的是本研究所提出的S N曲線，其結果偏差均小于1%；

c） 新提出的S N曲線在超過30種引用數據中的擬合精度均優(yōu)于Strohmeyer和Basquin方程；其中對于實測數據，中樣本的R2為0.76，遠大于其他兩種方程的擬合結果（0.68和0.66），而小樣本的R2為0.88，結果優(yōu)于其他兩種方程（0.85和0.83），有很好的工程應用價值。

參考文獻：

［1］ 張金豹，胡錚，張金樂，等.疲勞S N曲線預測模型進展綜述［J］．科學技術與工程，2023，23（13）：5390 5411.

［2］ 國家自然科學基金會.機械工程學科發(fā)展戰(zhàn)略報告（2021—2035）［M］．北京：科學出版社，2021：173 184.

［3］ 中國鋼鐵工業(yè)協(xié)會.金屬材料 疲勞試驗 數據統(tǒng)計方案與分析方法：GB/T 24176—2009［S］．北京：中國標準出版社，2009.

［4］ 凌靜，高鎮(zhèn)同.P S N曲線測定的最大似然法［J］．航空學報，1992（5）：247 252.

［5］ 傅惠民，劉成瑞.S N曲線和P S N曲線小子樣測試方法［J］．機械強度，2006（4）：552 555.

［6］ 李洪雙，呂震宙.P S N曲線的Bootstrap置信帶［J］．機械強度，2007，132（4）：642 646.

［7］ 謝里陽，劉建中.樣本信息聚集原理與P S N曲線擬合方法［J］．機械工程學報，2013，49（15）：96 104.

［8］ 劉瀟然，孫秦.非嵌入多項式混沌法在P S N曲線擬合中的應用［J］．應用力學學報，2021，38（3）：1252 1257.

［9］ 趙永翔，王金諾，高慶.估計三種常用疲勞應力 壽命模型P S N曲線的統(tǒng)一經典極大似然法［J］．應用力學學報，2001（1）：83 90.

［10］ DONG C，YAZHI L，KE L，et al.A physics informed neural network approach to fatigue life prediction using small quantity of samples［J］．International Journal of Fatigue，2023，166：107270.

［11］ 呂箴，姚衛(wèi)星.小樣本疲勞壽命分析問題研究進展［J］．力學與實踐，2008（5）：9 15.

［12］ 趙丙峰，廖鼎，朱順鵬，等.機械結構概率疲勞壽命預測研究進展［J］．機械工程學報，2021，57（16）：173 184.

［13］ HE L，AKEBONO H，KATO M，et al.Fatigue life prediction method for AISI 316 stainless steel under variable amplitude loading considering low amplitude loading below the endurance limit in the ultrahigh cycle regime［J］．International Journal of Fatigue，2017，101：18 26.

［14］ SAKAI T，OKADA K.Statistical fatigue properties of SCM435 steel in ultra long life regime based on JSMS database on fatigue strength of metallic materials［J］．International Journal of Fatigue，2002，28（11）：1486 1492.

［15］ MAENNIG W.Statistical planning and evaluation of fatigue tests：A survey of recent results［J］．International Journal of Fracture，1975，11（1）：123 129.

［16］ PASCUAL F G，MEEKER W Q.Estimating fatigue curves with the random fatigue limit mode［J］．Technometrics，1999，41（4）：277 289.

［17］ 張艷斌，魯連濤，張繼旺，等.基于小樣本耐久強度區(qū)的疲勞失效數據推定車軸鋼的疲勞強度分布［J］．機械，2008（9）：11 15.

［18］ HANAKI S，YAMASHITA M，UCHIDA H，et al.On stochastic evaluation of S N data based on fatigue strength distribution［J］．International Journal of Fatigue，2009，32（3）：605 609.

［19］ International Organization for Standardization.Metallic materials：fatigue testing：statistical planning and analysis of data：ISO 12107—2012［S］．［S.l.］：ISO，2012.

［20］ STROMEYER C E.The determination of fatigue limits under alternating stress conditions［J］．Proceedings of the Royal Society of London，Series A：Containing Papers of a Mathematical and Physical Character，1914，90（620）：411 425.

［21］ MARTIN A，HINKELMANN K，ESDERTS A.Zur auswertung von schwingfestigkeitsversuchen im zeitfestigkeitsbereich teil 1：wie zuverlssig knnen 50% whlerlinien aus experimentellen daten geschtzt werden［J］．Materials Testing，2011，53（9）：502 512.

［22］ 高鎮(zhèn)同.航空金屬材料疲勞性能手冊［M］．北京：北京航空材料研究所，1981.

［23］ 中國鋼鐵工業(yè)協(xié)會.金屬材料 疲勞試驗 軸向力控制方法：GB/T 3075—2021［S］．北京：中國標準出版社，2021.

［24］ 中國鋼鐵工業(yè)協(xié)會.金屬薄板（帶） 軸向力控制疲勞試驗方法：GB/T 26076—2010［S］．北京：中國標準出版社，2011.

［25］ NELSON W.Analysis of residuals from censored data［J］．Technometrics，1973，15（4）：697 715.

［26］ 王遠霏，孫海榮，朱忠尹，等.A6005A T6鋁合金焊接接頭P S N疲勞壽命研究［J］．焊接技術，2018，47（12）：41 46.

［27］ 李騁，張國棟，許超，等.確定高周應力疲勞S N曲線的方法研究［J］．燃氣渦輪試驗與研究，2008（2）：39 43.

［28］ SHEN C.The statistical analysis of fatigue data［D］．Tucson：The University of Arizona，1994.

［29］ ZOU Q，ZHAO J，WEN J.Robust quantile regression analysis for probabilistic modelling of S N curves［J］．International Journal of Fatigue，2023，167：107326.

［30］ TADDESSE A T，ZHU S P，LIAO D，et al.Combined notch and size effect modeling of metallic materials for LCF using plasticity reformulated critical distance theory［J］．Journal of Materials Research and Technology，2022，18：470 484.

［31］ ZENG F，YANG Y，QIAN G.Fatigue properties and S N curve estimating of 316 L stainless steel prepared by SLM［J］．International Journal of Fatigue，2022，162：106946.

［32］ RICE R C，JACKSON J L，BAKUCKAS J，et al.Metallic materials properties development and standardization：MMPDS 08［S］．［S.l.］：Battelle Memorial Institute，2013.

［33］ CASTILLO E，MUNIZ CALVENTE M，FERNN DEZ CANTELI A，et al.Fatigue assessment strategy using bayesian techniques［J］．Materials，2019，12（19）：3239.

［34］ 全國統(tǒng)計方法應用標準化技術委員會.數據的統(tǒng)計處理和解釋 正態(tài)性檢驗：GB/T 4882—2001［S］．北京：中國標準出版社，2001.

Double Transition P S N Curve Based on Fatigue Strength Distribution

JING Guoxi^1，2，SU Yue^1，2，TAO Shuai^1，2，SONG Yali3，TU Danhong3，SUN Tengteng^1，2

（1.School of Mechanical Engineering，Hebei University of Technology，Tianjin 300401，China;

2.Tianjin Key Laboratory of Power Transmission and Safety Technology for New Energy Vehicles，Tianjin 300130，China;

3.China Shipbuilding POWER Engineering Institute Co.，Ltd.，Shanghai 201306，China）

Abstract： Previous studies have found that the fatigue life distributions of different metallic materials tend to have different types of distributions with changes in load levels， while the fatigue strengths corresponding to different lifetimes generally follow the same distribution. Based on the concept of equivalent fatigue strength， the data could be combined under different fatigue lifetimes， and the parameter estimation was carried out by the great likelihood method under the assumption that the fatigue strength of overall samples followed normal distribution. Some classical models， such as the Strohmeyer model， often exhibited poor fitting in the transitional segments from medium to high cycles or from medium to low cycles when using the above method. To address this issue， a middle high cycle S N curve with two transition segments was constructed， and a P S N curve suitable for engineering design was provided. Fatigue tests incorporating two transition zones were conducted on ZL101A aluminum alloy and BSM590 structural steel， and comparisons with Strohmeyer model revealed that the newly proposed dual transition S N curve provided the better fitting goodness with medium and small sample sizes. Compared to the fatigue limit calculated using the lifting method， the deviations of fatigue limits derived from the fatigue strength distribution fitting were all within 3%， while the calculation deviations of the newly proposed S N curve were all less than 1%. In the transitional segment from medium to high cycles， compared with the results calculated using the Dixon mood method， the accuracy of the proposed S N curve reached 92.2% and 99.9%， respectively.

Key words： stress life curve;fatigue strength;maximum likelihood method;fatigue limit

［編輯： 袁曉燕］