環(huán)形彈性桿扭轉(zhuǎn)失穩(wěn)特性的研究及應(yīng)用

摘 要：建立了環(huán)形彈性桿的有限元模型，研究其在連續(xù)扭轉(zhuǎn)作用下的力學(xué)響應(yīng)，分析環(huán)形彈性桿在不同約束條件下的多穩(wěn)態(tài)特性。靜力學(xué)模擬發(fā)現(xiàn)，承受扭矩的環(huán)形彈性桿在特定約束下發(fā)生突彈跳變，但失穩(wěn)后的環(huán)形彈性桿恢復(fù)為其初始形狀，因而存在循環(huán)失穩(wěn)的獨特現(xiàn)象；動力學(xué)分析表明，環(huán)形彈性桿抗扭的變形模態(tài)和突跳翻轉(zhuǎn)的時機不但依賴于其幾何及材料性質(zhì)，而且和扭轉(zhuǎn)速度相關(guān)。據(jù)此，提出了一種單自由度功能-結(jié)構(gòu)一體式機構(gòu)，可通過環(huán)形彈性桿的扭轉(zhuǎn)產(chǎn)生復(fù)雜的波浪形運動并被應(yīng)用于仿生機器魚的運動驅(qū)動中。與傳統(tǒng)的機構(gòu)相比，環(huán)形彈性桿機構(gòu)結(jié)構(gòu)簡單，易于控制，在軟體機器人設(shè)計中具有良好的應(yīng)用前景。

關(guān)鍵詞：環(huán)形彈性桿；扭轉(zhuǎn)失穩(wěn)；有限元；仿生機器魚

中圖分類號：TB122" 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A文章編號：1000-4939（2025）01-0174-08

Research and application of torsional buckling characteristics of ring-shaped elastic rod

XIE Qi，YUAN Weifeng

（Key Laboratory of Testing Technology for Manufacturing Process，Ministry of Education，

School of Manufacturing Science and Engineering，Southwest University of

Science and Technology，621010 Mianyang，China）

Abstract：In this article，finite element models of a ring-shaped elastic rod under continuous torsion and various constraints are established to study its response and multistability characteristics.In static simulation，the ring-shaped elastic rod buckles when subject to specific constraints but its shape turns back to its initial form after snap-through to exhibit a special phenomenon of cyclic instability.In dynamic modelling，the anti-torsion deformation and the critical snap-through moment of the elastic rod depend on not only its geometry and material properties，but also the torsion speed.Based on these findings，an integrated function-structure mechanism with single degree of freedom is proposed.The new type mechanism produces complex wave motion through the torsion of the ring-shaped elastic rod，so that it can be used in robotic fish.Compared with the conventional mechanism，the proposed ring-shaped elastic rod is of simple structure and easy-to-control，therefore it holds good promise to be applied in the design of soft robots.

Key words：ring-shaped elastic rod; torsional buckling; finite element; bionic robotic fish

彈性細(xì)桿平衡與穩(wěn)定性問題的研究可以追溯到13世紀(jì)，歷經(jīng)數(shù)個世紀(jì)的探索與研究，為后面彈性桿的研究奠定了理論基礎(chǔ)［1-3］。

研究者們探究了彈性細(xì)桿在不同邊界下的穩(wěn)定性問題。例如對約束于圓柱管內(nèi)的彈性桿端部施加力矩［4］、在細(xì)長桿的一端同時施加軸向拉力和扭矩［5］、在彈性桿一端扭轉(zhuǎn)后松弛［6］以及不同截面的彈性細(xì)桿在力和力矩作用下的螺旋平衡及其穩(wěn)定性［7-8］。且有相關(guān)研究證明了彈性桿動態(tài)轉(zhuǎn)變過程是減少了黏性能量的耗散，WADA［9］給出了這一現(xiàn)象的幾何解釋，為彈性桿在扭曲運輸提供了一個基本方案。

彈性桿模型廣泛應(yīng)用于生物科學(xué)和實際工程領(lǐng)域，例如石油鉆桿［10］、電纜線［11］蜷曲、生物大分子DNA的研究［12］等。蔡宗熙［10］將實驗與模擬相結(jié)合，從桿的幾何、材料特性以及相對速度方面，探究彈性桿在剛性基底上產(chǎn)生卷繞的形態(tài)。展闊杰等［13］考慮電纜線的自重并建立了相應(yīng)模型，通過求取解析解和數(shù)值解的方法得到更符合實際電纜的形態(tài)變化。BALAEFF等［14］改進(jìn)了經(jīng)典的彈性理論模型，該模型被應(yīng)用于由lac阻遏蛋白夾住的DNA環(huán)的測試案例研究。蕭業(yè)等［15］推導(dǎo)了DNA彈性細(xì)桿模型的Euler-Lagrange方程，通過實驗的對比，在合適的參數(shù)下，該模型能很好地模擬A-DNA和B-DNA的平衡模態(tài)。

通過模仿魚類的外形及運動方式，可以減少傳統(tǒng)的剛性機構(gòu)噪聲大、效率低、耗能高等弊端，因此仿生機器魚的研究成為許多研究者們關(guān)注的熱點領(lǐng)域［16-17］。例如：SUZUMORI等［18］設(shè)計了一種通過氣壓驅(qū)動的橡膠制動器，并開發(fā)了一種形狀類似蝠鲼的軟體機器人； KATZSCHMANN等［19］制作了由液壓驅(qū)動的軟體機器魚，以水為傳動液的閉路驅(qū)動系統(tǒng)來驅(qū)動軟體，水通過體內(nèi)通道的循環(huán)控制著魚的尾鰭推進(jìn)力和偏航運動；范增等［20］仿照魟魚的運動機制提出胸鰭波動與擺動融合推進(jìn)方式，該方式可改善機器魚的游動性能。

在現(xiàn)有研究中，大多關(guān)注的是長直類彈性細(xì)桿在不同邊界條件下的失穩(wěn)與穩(wěn)定性研究。

本研究基于環(huán)形結(jié)構(gòu)的彈性桿在扭轉(zhuǎn)作用下具有突彈跳變現(xiàn)象，并利用ABAQUS有限元軟件建立模型，分別對環(huán)形彈性桿的初始形狀、扭轉(zhuǎn)速度及截面幾何的失穩(wěn)響應(yīng)進(jìn)行了分析；根據(jù)環(huán)形彈性桿的失穩(wěn)特性提出了一種單自由度的柔性驅(qū)動機構(gòu)，設(shè)計并制造了一種柔性仿生機器魚原理樣機，該研究為水下機器人的研究提供一種簡易的柔性傳動方式。

1 環(huán)形彈性桿的突彈跳變

1.1 模型

在實際觀測中發(fā)現(xiàn)，橡皮筋在扭轉(zhuǎn)作用下會發(fā)生突彈跳變現(xiàn)象（圖1a）。兩手分別持橡皮筋的兩端，一端連續(xù)、緩慢地扭轉(zhuǎn)橡皮筋，另一端會出現(xiàn)周期性的突跳現(xiàn)象?；谠摪l(fā)現(xiàn)，建立了相應(yīng)的理論模型（圖1b），驅(qū)動端和釋放端的距離固定，其中驅(qū)動端對彈性桿施加連續(xù)的角位移，彈性桿因此產(chǎn)生扭轉(zhuǎn)。

基于理論模型，在ABAQUS模塊中構(gòu)建了有限元模型（圖1c）：環(huán)形彈性桿分為2段，2段的彈性桿用連接梁連接，連接梁的作用是為了便于計算和給定邊界條件；其中環(huán)形彈性桿采用C3D8R實體單元，連接梁采用B31梁單元。將彈性桿的截面與梁端綁定在一起，定義主表面為梁端上的節(jié)點，從表面為彈性桿的截面，共需定義4對綁定關(guān)系。設(shè)置兩端連接梁的距離固定且只能轉(zhuǎn)動，其中一端施加連續(xù)均勻的角位移。在計算的過程中發(fā)現(xiàn)，彈性桿的4個截面網(wǎng)格容易發(fā)生面外的變形，從而影響計算的結(jié)果，為了計算時更易收斂，將垂直于4個截面方向上平移設(shè)為0。在該有限元分析模型中所使用的材料參數(shù)如表1所示，彈性桿的楊氏模量為2.4MPa，泊松比為0.47。通過查閱相關(guān)資料，彈性桿的材料阻力α和結(jié)構(gòu)阻尼β設(shè)置為0.01 N·s·mm-1。

1.2 結(jié)果分析

為探究環(huán)形彈性桿在扭轉(zhuǎn)作用下的運動狀態(tài)，首先設(shè)置相應(yīng)的模型參數(shù)：假設(shè)環(huán)形彈性桿中心線的初始形狀為圓形（周長L=2πR0），彈性桿的截面設(shè)置為邊長a的正方形，設(shè)置a/R0為0.06。

首先，采用靜態(tài)RIKS方法進(jìn)行分析，該方法與一般的位移增量法和載荷增量法不同之處在于引入了一個弧長參數(shù)，通過控制弧長來實現(xiàn)增量步從而獲得位移-載荷的關(guān)系。此外，RIKS方法對塌陷、屈曲、跳躍等非線性問題有很好的求解效果。圖2（a）是分析得出的位移-載荷曲線。從圖中可以看出，隨著驅(qū)動端的轉(zhuǎn)角θq增加，釋放端的轉(zhuǎn)角位移θs無明顯變化，且在曲線末尾端經(jīng)過數(shù)次回復(fù)，始終沒有出現(xiàn)突跳的過程。經(jīng)過分析，這是由于環(huán)形結(jié)構(gòu)的彈性桿，發(fā)生失穩(wěn)后的模態(tài)恢復(fù)為其初始形狀，這種現(xiàn)象導(dǎo)致其失穩(wěn)變形的路徑追蹤困難。為了更好地解釋環(huán)形彈性桿的突跳現(xiàn)象，將采用動力學(xué)分析方法進(jìn)行研究分析。

動力學(xué)分析由于引入了慣性力，從而可以得出環(huán)形彈性桿發(fā)生突跳的過程。圖2（b）展示了動力學(xué)分析中驅(qū)動端與釋放端位移θ隨時間t變化的曲線圖。隨著驅(qū)動端角位移均勻連續(xù)的輸入，釋放端角位移呈現(xiàn)周期性變化，當(dāng)時間到達(dá)一定閾值時，角位移突然跳到2π。該結(jié)果表明環(huán)形結(jié)構(gòu)的彈性桿模型將連續(xù)均勻的輸入轉(zhuǎn)化為周期性的脈沖輸出，與實際情況相符。

此外，由有限元分析結(jié)果表明，環(huán)形彈性桿在扭轉(zhuǎn)失穩(wěn)下會發(fā)生平面外的變形。

圖3為環(huán)形彈性桿的形變圖。由圖3可知，

當(dāng)驅(qū)動端轉(zhuǎn)過不同角度時，彈性桿翹曲的幅度不同。受此啟發(fā)，本研究提出了一種柔性驅(qū)動機構(gòu)的設(shè)計方法，并將其應(yīng)用于柔性機器魚的設(shè)計中，該機器魚的運動與鰩魚的運動類似。

2 參數(shù)分析與討論

環(huán)形彈性桿在扭轉(zhuǎn)作用下會發(fā)生循環(huán)失穩(wěn)，其突跳的時機與環(huán)形彈性桿的幾何與材料性質(zhì)有關(guān)。此外，環(huán)形彈性桿在扭轉(zhuǎn)失穩(wěn)的過程中，會發(fā)生平面外的翹曲。為了定性地分析環(huán)形彈性桿失穩(wěn)過程，考慮了彈性桿的截面幾何、角位移加載速度以及初始形狀對突跳失穩(wěn)的動態(tài)響應(yīng)。

2.1 不同截面幾何的動態(tài)響應(yīng)

環(huán)形彈性桿的粗細(xì)是影響彈性桿剛度的重要參數(shù)，本節(jié)分析了圓截面和方截面的環(huán)形彈性桿的扭轉(zhuǎn)失穩(wěn)特性。設(shè)置環(huán)形彈性桿中心線的初始形狀為圓形（周長L=2πR0），驅(qū)動端轉(zhuǎn)速為1 rad·s－1。r為圓截面半徑，a為方截面邊長。r/R0和a/R0表示環(huán)形彈性桿的粗細(xì)。

圖4是不同截面幾何的動態(tài)響應(yīng)圖，圖4（a）、圖4（b）分別是截面為圓形和方形的環(huán)形彈性桿在不同粗細(xì)的情況下的分析結(jié)果對比圖。從圖4中可以觀察到：①方截面和圓截面有類似的規(guī)律；②在r/R0值為0.04和0.05時，2種截面的環(huán)形彈性桿在驅(qū)動端達(dá)到一定值時，釋放端的角位移突跳到2π后沒有立刻回到0，而出現(xiàn)了停留；③其他情況下，隨著驅(qū)動端角度的增加到一定值時，環(huán)形彈性桿釋放端的角度突跳到2π后立刻回到0。

圖4中結(jié)果表明，當(dāng)環(huán)形彈性桿的粗細(xì)不同時，其發(fā)生突跳的時機也不同，環(huán)形彈性桿發(fā)生扭轉(zhuǎn)失穩(wěn)的過程也不相同。因此，可以通過調(diào)節(jié)環(huán)形彈性桿的截面幾何，來獲得不同的運動形態(tài)。

2.2 不同驅(qū)動端轉(zhuǎn)速的動態(tài)響應(yīng)

驅(qū)動端扭轉(zhuǎn)的速度對環(huán)形彈性桿發(fā)生突跳失穩(wěn)的時機有一定的影響。如圖5所示，在同一環(huán)形彈性桿的情況下，當(dāng)驅(qū)動端的轉(zhuǎn)速不同時，環(huán)形彈性桿發(fā)生突跳失穩(wěn)的時機也不同。因此，對驅(qū)動端不同轉(zhuǎn)速的動態(tài)響應(yīng)進(jìn)行分析具有十分重要的意義。

設(shè)置環(huán)形彈性桿中心線的初始形狀為圓形（周長L=2πR0），選取釋放端的角度第一次突跳到2π時驅(qū)動端的轉(zhuǎn)角θL（稱θL為臨界角），分析其變化規(guī)律。由圖6可知，5條曲線代表了不同粗細(xì)的環(huán)形彈性桿，整體曲線呈上升趨勢。這表明同一種幾何結(jié)構(gòu)下的環(huán)形彈性桿在發(fā)生扭轉(zhuǎn)時，扭轉(zhuǎn)的轉(zhuǎn)速越快，環(huán)形彈性桿突跳翻轉(zhuǎn)時驅(qū)動端轉(zhuǎn)過的角度越大。同時，從前面得知環(huán)形彈性桿的粗細(xì)會對于扭轉(zhuǎn)失穩(wěn)的過程有一定影響，但從圖6可以看出，同轉(zhuǎn)速下不同r/R0的環(huán)形彈性桿的突跳時機沒有呈現(xiàn)一定的規(guī)律。

2.3 不同初始形狀的動態(tài)響應(yīng)

環(huán)形彈性桿扭轉(zhuǎn)失穩(wěn)的過程中會發(fā)生平面外的翹曲，翹曲的幅度與環(huán)形彈性桿的初始形狀有關(guān)，對于圓截面和方截面有類似的規(guī)律，這里取彈性桿的截面形狀為圓形、驅(qū)動端轉(zhuǎn)速為1rad·s－1、r/R0為0.03時，對環(huán)形彈性桿的初始形狀進(jìn)行討論。

假設(shè)環(huán)形彈性桿中心線的初始形狀為圓形（周長L=2πR0），周長L固定不變，控制伸縮端沿x方向的運動，從而改變環(huán)形彈性桿兩端的距離2b，定義b/R0的比值用來描述環(huán)形彈性桿的形狀。

圖7（a）是環(huán)形彈性桿在不同的初始形狀下，釋放端隨驅(qū)動端的動態(tài)響應(yīng)圖。從圖中可以看出，b/R0不同時，環(huán)形彈性桿發(fā)生突跳失穩(wěn)的時機也不同。圖7（b）描述了在第一個突跳周期內(nèi)，不同彈性桿環(huán)形結(jié)構(gòu)下的形變圖，從圖中可以得出：初始形狀的不同時，環(huán)形彈性桿在扭轉(zhuǎn)下翹曲的幅度不同。當(dāng)b/R0的值過小時，彈性桿運動會出現(xiàn)交叉現(xiàn)象，過大時，翹曲的幅度不明顯；隨著b/R0的值增大時，翹曲的幅度減小。

因此，在設(shè)計軟體機器人時可以通過調(diào)節(jié)環(huán)形彈性桿的初始形狀，來獲得不同的運動形態(tài)。

3 軟體機器人中的應(yīng)用

通過模仿魚類的外形和運動方式，可以減少傳統(tǒng)的剛性機構(gòu)噪聲大、結(jié)構(gòu)復(fù)雜等弊端［16-17］。在海洋中有一種身體扁平的軟骨魚刺鰩，如圖8（a）所示。刺鰩在游動時，依靠體盤的波動來驅(qū)動身體。這類魚的游動速度不快，但能量利用率較高，體盤在慢速波動時也能推動著身軀運動，增加了推進(jìn)效率。環(huán)形彈性桿在持續(xù)扭轉(zhuǎn)情況下發(fā)生循環(huán)失穩(wěn)，其變形與刺鰩體盤邊緣的運動類似，均呈現(xiàn)波浪形變化。因此，設(shè)想將環(huán)形彈性桿作為一種柔性的驅(qū)動機構(gòu)，應(yīng)用于一種柔性仿生機器魚的設(shè)計。

圖8（b）為機器魚結(jié)構(gòu)示意圖，該機器魚包括浮力軀干、固定環(huán)、柔性薄膜、彈性桿、滑塊和聯(lián)軸器。浮力軀干、固定環(huán)、滑塊和聯(lián)軸器可通過3D打印制成。其中浮力軀干內(nèi)部安置雙出軸電機和相應(yīng)的控制單元；聯(lián)軸器用于連接電機伸出軸和彈性桿；滑塊可限制驅(qū)動端與釋放端的距離，且在釋放端約束彈性桿，使其只能轉(zhuǎn)動。固定環(huán)和柔性薄膜邊緣相連，彈性桿從所有的固定環(huán)中穿過。當(dāng)電機軸連續(xù)轉(zhuǎn)動時，扭矩通過環(huán)形彈性桿傳遞，彈性桿上下翹曲，通過固定環(huán)帶動柔性薄膜在水中波動，從而產(chǎn)生推力，實現(xiàn)柔性機器魚的運動。制作的柔性機器魚在第1個運動周期中的形態(tài)如圖9所示，隨著電機的持續(xù)轉(zhuǎn)動，環(huán)形彈性桿產(chǎn)生變形，狀如波浪。

本實驗在尺寸為1200mm×700mm×800mm的玻璃缸中進(jìn)行測試，利用攝像機對機器魚的運動狀態(tài)進(jìn)行攝像記錄。實驗中柔性機器魚的運動狀態(tài)和軌跡如圖10所示，0～5s時是起步階段，機器魚從靜止開始加速并到達(dá)勻速狀態(tài)；5～20s間，其以一定的速度向前運動，運動過程平穩(wěn)，噪聲低。

根據(jù)前面的分析可知，影響環(huán)形彈性桿扭轉(zhuǎn)的動態(tài)響應(yīng)參數(shù)有彈性桿的截面幾何、驅(qū)動端的轉(zhuǎn)速及彈性桿的初始形狀。在實驗中，保持彈性桿的截面幾何不變，通過改變電機的轉(zhuǎn)速以及機器魚的翼型對柔性機器魚在水下運動的狀態(tài)進(jìn)行定性分析。因此固定電機與尾端滑塊之間的距離，本實驗設(shè)計并制作了3種不同翼型的試驗機器魚樣機，如圖11所示，通過測量電機與尾端滑塊之間的距離a和翼型的寬度bi，測得翼型1的尺寸為 240mm×240mm，b1/a為1，翼型2的尺寸為240mm×360mm，b2/a為1.5，翼型3的尺寸為240mm×480mm，b3/a為2。

首先控制電機的轉(zhuǎn)速探究其對機器魚向前游動速率及運動狀態(tài)的影響。所選擇的減速電機的量程是96r/min；在試驗過程中發(fā)現(xiàn)，電機轉(zhuǎn)速對該柔性機器魚的運動有很大的影響，在一定程度范圍內(nèi)，當(dāng)電機的轉(zhuǎn)速慢時，機器魚邊緣的彈性條翹曲的幅度有很大的變化；轉(zhuǎn)速慢時，彈性桿做周期性的失穩(wěn)的頻率低，但其上下翹曲的幅度大，轉(zhuǎn)速增大時，彈性桿做周期性的失穩(wěn)的頻率快，但彈性桿上下翹曲的幅度減小。

圖12為翼型1、翼型2及翼型3在不同的電機轉(zhuǎn)速下機器魚的運動速率。

機器魚向前運動的方向為x方向，方點曲線表示電機轉(zhuǎn)速相對慢時的運動曲線，圓點曲線表示電機轉(zhuǎn)速相對快時的運動曲線。由圖12可知，

慢速電機相對于快速電機而言，機器魚的運動速率反而更大，柔性機器魚的向前運動的速率提高。該結(jié)果也可以說明本研究設(shè)計的柔性機器魚的運動特點，即適當(dāng)慢速更能使機器魚向前運動的速率更快。機器魚在水下運動時，相對于剛性的傳動機構(gòu)（如螺旋槳），對周圍的擾動更小，更安靜。

此外，在慢速與快速的情況下，翼型1、翼型2及翼型3的機器魚呈現(xiàn)相同的規(guī)律，即本試驗所設(shè)計的機器魚在翼型2的尺寸下的運動速率最大，翼型3的運動速率最?。▓D13）。

雖然增大機器魚的翼型可以提高其運動速率，但是翼型太小或者太大都不利于機器魚的運動，在b2/a為1.5時，機器魚的運動速率明顯優(yōu)于其他2種翼型。通過本研究分析得知：彈性桿的初始形狀b / R0過小時，對應(yīng)的實驗中機器魚的翼型b2/a越大，彈性桿翹曲的幅度越大，同時模擬中也出現(xiàn)了纏繞的現(xiàn)象，結(jié)合實驗來看，對于機器魚的運動是不利的；彈性桿的初始形狀b / R0過大時，對應(yīng)的實驗中機器魚的翼型b2/a越小，彈性桿翹曲的幅度不明顯，當(dāng)機器魚在水中運動時，翼面與水之間的作用也會減弱，同樣也不利于機器魚的運動。因此，實驗中才會出現(xiàn)翼型2的機器魚在水中運動的速率最大，運動狀態(tài)最好。

機器魚樣機實驗驗證了彈性桿作為驅(qū)動結(jié)構(gòu)的可行性。另一方面，若要仿生刺鰩體盤波浪式的復(fù)雜運動，傳統(tǒng)機械方式所涉及到的機構(gòu)往往部件多，結(jié)構(gòu)復(fù)雜，控制難度大，而本研究設(shè)計的機器魚結(jié)構(gòu)簡單，具有單自由度控制的優(yōu)點。相對于螺旋槳機構(gòu)，波動推進(jìn)方式的效率更高、噪音更低，應(yīng)用于水下定點觀測時，機動性更好，具有生物親近性，不易傷害其他生物；另外，采用螺旋槳推進(jìn)時，為防航行器側(cè)滾，需要在結(jié)構(gòu)設(shè)計中考慮平衡螺旋槳的反力矩，本機器魚在結(jié)構(gòu)設(shè)計中則不需要考慮側(cè)滾。

4 結(jié) 論

本研究建立了環(huán)形彈性桿受扭矩作用發(fā)生失穩(wěn)的有限元模型，并對彈性桿扭轉(zhuǎn)失穩(wěn)特性進(jìn)行了數(shù)值分析，探究彈性桿的截面幾何、驅(qū)動端轉(zhuǎn)速以及初始形狀對于彈性桿扭轉(zhuǎn)失穩(wěn)的影響。根據(jù)環(huán)形彈性桿的失穩(wěn)特性提出了一種單自由度的柔性驅(qū)動機構(gòu)，設(shè)計并制造了一種柔性仿生機器魚原理樣機。結(jié)論如下。

1）環(huán)形結(jié)構(gòu)的彈性桿在一定扭轉(zhuǎn)載荷下會有突跳失穩(wěn)的現(xiàn)象。結(jié)合靜態(tài)與動態(tài)分析結(jié)果發(fā)現(xiàn)，扭轉(zhuǎn)失穩(wěn)后的環(huán)形彈性桿會恢復(fù)為其初始形狀，在連續(xù)的轉(zhuǎn)動下存在循環(huán)失穩(wěn)的獨特現(xiàn)象。

2）環(huán)形彈性桿的截面為圓形或方形時，在驅(qū)動端施加連續(xù)扭矩，釋放端都會出現(xiàn)周期性的突彈跳變現(xiàn)象。不同長徑比的環(huán)形彈性桿，其失穩(wěn)的模態(tài)也不盡相同；同時，彈性桿的幾何尺寸相同時，驅(qū)動端轉(zhuǎn)速越大，臨界驅(qū)動角越大。

3）環(huán)形彈性桿在扭轉(zhuǎn)失穩(wěn)過程中會發(fā)生面外的翹曲，環(huán)形彈性桿的初始形狀對翹曲的幅度有影響。b/R0的值越大，翹曲的幅度越小。

4） 機器魚原理樣機驗證了以環(huán)狀彈性桿為驅(qū)動機構(gòu)產(chǎn)生波浪運動的可行性，該機構(gòu)在機器人領(lǐng)域具有廣闊的應(yīng)用前景。

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（編輯 張璐）