考慮彈簧型不完美界面的一維正交準(zhǔn)晶有效彈性性能研究

摘 要：基于彈簧型不完美界面的Mori-Tanaka方法，研究了一維正交準(zhǔn)晶復(fù)合材料有效彈性性能問題。給出了聲子場、相位子場與聲子-相位耦合場有效彈性常數(shù)的顯式表達(dá)式。特別地，詳細(xì)討論了夾雜的長徑比與體積分?jǐn)?shù)對準(zhǔn)晶復(fù)合材料有效彈性常數(shù)的影響。結(jié)果表明，考慮不完美界面使有效彈性常數(shù)一定程度上變小了。

關(guān)鍵詞：彈簧型不完美界面；一維正交準(zhǔn)晶；Mori-Tanaka方法；夾雜

中圖分類號：O343" 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

文章編號：1000-4939（2025）01-0149-08

Study on the effective elastic properties of one-dimensional

orthogonal quasicrystals considering spring-type imperfect interfaces

WU Yurun1， LI Lu1， LI Lianhe1，2，3

（1.School of Mathematics and Science，Inner Mongolia Normal University，010022 Hohhot，China;

2.Inner Mongolia Applied mathematics Center，010022 Hohhot，China; 3.Key Laboratory of Infinite Dimensional Hamiltonian System and Its Algorithm Application，Ministry of Education，010022 Hohhot，China）

Abstract：The Mori-Tanaka method based on spring-type imperfect interface used to study the effective elastic properties of one-dimensional orthogonal quasicrystal composite materials.Explicit expressions for the effective elastic constants of phonon field，phason field，and phonon-phason coupling field are given.The effects of the aspect ratio and volume fraction of inclusions on the effective elastic constants of quasicrystal composite materials are discussed in detail.The results indicate that considering imperfect interfaces reduces the effective elastic constants to some extent.

Key words：spring-type imperfect interfaces; one-dimensional orthogonal quasicrystal; the Mori-Tanaka method; inclusions

SHECHTMAN等［1］在20世紀(jì)80年代通過觀察急冷的鋁錳合金電子衍射圖像，意外地發(fā)現(xiàn)了準(zhǔn)晶體。準(zhǔn)晶體具有良好的力學(xué)性能［2-4］，如高硬度、低塑性、耐磨、低孔隙度和低摩擦系數(shù)等，被廣泛用作絕熱材料、貯氫材料、表面涂層以及增強(qiáng)復(fù)合材料等。

準(zhǔn)晶彈性理論的研究至今已取得了許多重要的研究成果［5-8］。其中，準(zhǔn)晶的裂紋、位錯和夾雜等問題引起了國內(nèi)外眾多學(xué)者和專家的廣泛關(guān)注［9-15］。張亮亮［16］考慮了壓電效應(yīng)的一維準(zhǔn)晶材料的基本解、Green函數(shù)解以及單裂紋問題。FAN［17］計算了含橢球粒子的一維正交準(zhǔn)晶復(fù)合材料的Eshelby張量和有效剛度。SLADEK等［18］對靜態(tài)和動態(tài)載荷下一維正交準(zhǔn)晶板的彎曲問題進(jìn)行了分析。趙雪芬等［19］探討了在非周期平面上一維正交準(zhǔn)晶彈性有限摩擦接觸問題。因此，對于準(zhǔn)晶夾雜問題的研究無論在工程材料領(lǐng)域還是物理領(lǐng)域都有著非常重要的作用。張之國［20］討論了一維和二維準(zhǔn)晶中位錯、夾雜以及接觸問題。翟婷等［21］研究了在點(diǎn)熱源作用下，無限大十二次對稱二維準(zhǔn)晶基體和圓形彈性夾雜界面之間含多條裂紋的問題。GUO等［22］考慮了含橢球夾雜的無限大一維六方壓電準(zhǔn)晶反平面問題。GAO等［23］分析了在無限均勻負(fù)載下嵌入球狀夾雜的無限大二維準(zhǔn)晶，為深入探討準(zhǔn)晶復(fù)合材料提供了理論基礎(chǔ)。

在實(shí)際工程應(yīng)用中，復(fù)合材料的界面缺陷和損傷會對其降解產(chǎn)生影響。因此，夾雜和基體之間的界面完美結(jié)合的條件往往不足以模擬界面的物理力學(xué)行為。在評估準(zhǔn)晶復(fù)合材料的有效彈性性能時，需要綜合考慮界面的性質(zhì)和結(jié)構(gòu)。近年來，許多學(xué)者對考慮不完美界面的復(fù)合材料有效彈性性能問題展開了深入研究。KOUTSAWA［24-25］提出了一種新的Mori-Tanaka方法，可以有效地預(yù)測含有彈簧型不完美界面的多鐵復(fù)合材料的有效磁電彈性，為研究含界面的準(zhǔn)晶復(fù)合材料有效彈性性能提供了新思路。BUDIANSK［26］分析了含有不完美界面的電彈性橢球體夾雜在壓電復(fù)合材料中的應(yīng)用。

本研究基于彈簧型不完美界面假設(shè)和Mori-Tanaka理論，給出含彈簧型不完美界面的一維正交準(zhǔn)晶復(fù)合材料有效彈性常數(shù)的顯式表達(dá)式，在此基礎(chǔ)上討論夾雜的長徑比與體積分?jǐn)?shù)對準(zhǔn)晶復(fù)合材料有效彈性性能的影響。

1 基本方程

假定一維正交準(zhǔn)晶在x1－x2平面上呈周期性，x3軸為準(zhǔn)周期軸。根據(jù)準(zhǔn)晶線彈性理論［27-28］，在不考慮體力的情況時。

3 數(shù)值算例

在本節(jié)中，對含彈簧型不完美界面的一維正交準(zhǔn)晶復(fù)合材料有效彈性常數(shù)進(jìn)行了數(shù)值計算，基體、夾雜和界面的彈性常數(shù)如表1所示。

下面采用Mori-Tanaka方法與改進(jìn)自洽法探討夾雜體積分?jǐn)?shù)對準(zhǔn)晶復(fù)合材料有效彈性常數(shù)的影響。

圖2（a）～圖2（b）為聲子場有效彈性常數(shù)隨夾雜體積分?jǐn)?shù)變化的2種方法對比圖。在這種情況下，假設(shè)夾雜的長徑比為1，夾雜半徑為500μm，界面的厚度為0.02μm。從圖中可以看出，隨著夾雜體積分?jǐn)?shù)的增大，LEff1122、LEff1133、LEff2323與LEff1212都呈現(xiàn)出單調(diào)遞減的趨勢，并且這2種方法的結(jié)果吻合較好。

圖2（c）為聲子-相位耦合場有效彈性常數(shù)隨夾雜體積分?jǐn)?shù)的變化趨勢圖。隨著夾雜體積分?jǐn)?shù)的增加，有效彈性常數(shù)LEff3341與LEff3143均逐漸減小。

圖2（d）體現(xiàn)了夾雜體積分?jǐn)?shù)對相位子場有效彈性常數(shù)的影響。LEff4343與LEff4141隨著夾雜體積分?jǐn)?shù)的增大而單調(diào)遞減，具有相同的變化規(guī)律。

由此看來，當(dāng)夾雜的體積分?jǐn)?shù)為0時，準(zhǔn)晶復(fù)合材料的有效彈性常數(shù)近似于基體的彈性常數(shù)。當(dāng)夾雜的體積分?jǐn)?shù)逐漸增大時，準(zhǔn)晶復(fù)合材料的有效彈性常數(shù)趨近于夾雜的彈性常數(shù)。由于這2種方法的結(jié)果具有一致性，因此可驗證Mori-Tanaka方法的有效性。

圖3（a）～圖3（b）為聲子場有效彈性常數(shù)隨夾雜長徑比的變化趨勢圖。在這種情況下，設(shè)夾雜的長徑比與體積分?jǐn)?shù)分別為1和0.5，假設(shè)界面的厚度為0.02μm。因此，這時的夾雜形狀是球體。

從圖中可以看出，隨著夾雜長徑比的增大，LEff1111增大，而LEff3333減小，在a3/a1≥10后，有效彈性常數(shù)的值趨于穩(wěn)定。LEff2323和LEff3131變化趨勢是相同的，都是隨著夾雜長徑比增大呈現(xiàn)先增大后減小的趨勢，當(dāng)a3/a1≥10時，曲線較為平緩。

圖3（c）給出了聲子-相位耦合場有效彈性常數(shù)隨夾雜長徑比變化的曲線。如圖所示，隨著夾雜長徑比的增大，LEff1141顯著增大，而LEff3341呈現(xiàn)減小的趨勢，當(dāng)a3/a1≥10后，有效彈性常數(shù)的變化幅度不明顯。

圖3（d）表示相位子場有效彈性常數(shù)隨夾雜長徑比變化的趨勢。隨著夾雜長徑比的增大，LEff4343增幅并不明顯，曲線較為平緩，而LEff4242隨夾雜長徑比的增加逐漸遞減，這說明夾雜的形狀對準(zhǔn)晶復(fù)合材料相位子場有效彈性常數(shù)的影響較小。

總之，準(zhǔn)晶聲子場、相位子場和聲子-相位耦合場有效彈性常數(shù)均會受到夾雜長徑比的影響，在a3/a1≥10后，一維正交準(zhǔn)晶復(fù)合材料有效彈性常數(shù)的變化趨于穩(wěn)定。比較在不完美界面和完美界面的情況下2條有效彈性常數(shù)的曲線，可以發(fā)現(xiàn)不完美界面的存在降低了有效彈性常數(shù)的數(shù)值。

圖4（a）～圖4（b）體現(xiàn)了夾雜體積分?jǐn)?shù)對聲子場有效彈性常數(shù)的影響。在這種情況下，假設(shè)夾雜的長徑比為1，夾雜半徑為500μm，界面的厚度為0.02μm。因此，在這種情況下考慮的夾雜形狀是球體。由圖可知，隨著夾雜體積分?jǐn)?shù)的增大，LEff1122與LEff1133變化顯著且具有一致的變化規(guī)律，LEff3131與LEff1212均隨著夾雜體積分?jǐn)?shù)的增大而單調(diào)遞減。

圖4（c）為聲子-相位耦合場有效彈性常數(shù)隨夾雜體積分?jǐn)?shù)的變化趨勢圖。如圖所示，LEff2342與LEff3143均隨著夾雜體積分?jǐn)?shù)的增大而減小，具有相同的變化趨勢，并且有效彈性常數(shù)值變化劇烈。

圖4（d）呈現(xiàn)了相位子場有效彈性常數(shù)與夾雜體積分?jǐn)?shù)的關(guān)系。隨著夾雜體積分?jǐn)?shù)的增加，LEff4343與LEff4141均呈現(xiàn)單調(diào)遞減的趨勢，可見夾雜體積分?jǐn)?shù)對相位子場有效彈性常數(shù)具有顯著的影響。

綜上所述，當(dāng)夾雜的體積分?jǐn)?shù)逐漸趨近于0時，準(zhǔn)晶復(fù)合材料的有效彈性常數(shù)近似于基體的彈性常數(shù)。隨著夾雜的體積分?jǐn)?shù)逐漸增大趨近于1時，準(zhǔn)晶復(fù)合材料的有效彈性常數(shù)將逐漸逼近夾雜的彈性常數(shù)。

4 結(jié) 論

本研究分析了含有彈簧型不完美界面的一維正交準(zhǔn)晶復(fù)合材料有效彈性性能。基于Mori-Tanaka理論和彈簧型不完美界面的假設(shè)，求解出了聲子場、相位子場與聲子-相位耦合場的有效彈性常數(shù)。本研究給出了含彈簧型不完美界面的一維正交準(zhǔn)晶復(fù)合材料的數(shù)值算例，結(jié)果表明，考慮不完美界面的準(zhǔn)晶復(fù)合材料有效彈性常數(shù)會受到夾雜長徑比與體積分?jǐn)?shù)的影響，彈簧型不完美界面的存在使準(zhǔn)晶復(fù)合材料的有效彈性常數(shù)減小。

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（編輯 張璐）