基于改進(jìn)可變?nèi)莶罘ǖ慕Y(jié)構(gòu)可靠性分析方法

摘 要：HL-RF（Hasofer-Lind and Rackwitz-Fiessler）法在處理高非線性結(jié)構(gòu)功能函數(shù)時(shí)會(huì)出現(xiàn)振蕩、不收斂的問題?？勺?nèi)莶罘軌蛴行Ы鉀Q上述問題，但該方法的反射點(diǎn)選取缺乏方向引導(dǎo)性。針對(duì)此，該論文提出基于權(quán)重分析改進(jìn)反射基點(diǎn)的可變?nèi)莶罘?。該方法先?jì)算非最差點(diǎn)到標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)空間原點(diǎn)的距離，并增大距離原點(diǎn)更近的點(diǎn)的權(quán)重，由此增強(qiáng)反射基點(diǎn)的方向引導(dǎo)性，促使迭代點(diǎn)能更快靠近失效點(diǎn)。通過數(shù)值算例驗(yàn)證，本研究提出的方法能夠有效解決反射點(diǎn)缺乏方向引導(dǎo)性問題，并且在求解速度上具有顯著優(yōu)勢。

關(guān)鍵詞：可靠度；可變?nèi)莶罘?；?quán)重分析；距離；方向引導(dǎo)性

中圖分類號(hào)：O213.2" 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

文章編號(hào)：1000-4939（2025）01-0117-08

Reliability of flexible tolerance method based on weight analysis

XIA Yu，TANG Feng，YU Yingye，JING Chenggui

（School of Civil Engineering，Guangxi University of Science and Technology，545006 Liuzhou，China）

Abstract：The HL-RF（Hasofer-Lind and Rackwitz-Fiessler） method may cause oscillation and non-convergence when dealing with highly nonlinear structural function.The flexible tolerance method can solve the above problems effectively，but the selection of reflection points in this method is lack of direction guidance.For this reason，a flexible tolerance method based on weight analysis is proposed in this paper to improve the reflection base point.This method first calculates the distance from the non-worst squares to the origin of the standard normal space and increases the weight of the points closer to the origin.Thus，the direction guidance of the reflection base point is enhanced，and the iteration point can approach the failure point faster.Numerical examples show that the proposed method can effectively solve the problem of lack of direction guidance of reflection points，and has significant advantages in solving speed.

Key words：reliability；flexible tolerance method；weight analysis；distance；direction guidance

由于受到各種不確定性因素的影響，在實(shí)際工程中結(jié)構(gòu)的實(shí)際參數(shù)往往會(huì)跟設(shè)計(jì)參數(shù)存在一定的偏差，而這些偏差會(huì)對(duì)結(jié)構(gòu)的安全性與可靠性造成影響，所以如何對(duì)結(jié)構(gòu)進(jìn)行可靠性分析就顯得尤為重要［1-4］。一次二階矩法（first order reliability method，F(xiàn)ORM）是目前應(yīng)用最為廣泛的可靠性分析方法，其核心思想是把結(jié)構(gòu)失效概率的計(jì)算問題轉(zhuǎn)化為失效域內(nèi)聯(lián)合概率密度最大點(diǎn)的求解問題，該點(diǎn)也被稱為最有可能失效點(diǎn)（most probable point，MPP），從幾何意義上來講，該點(diǎn)也是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)空間下極限狀態(tài)面上距離原點(diǎn)最近的點(diǎn)，因此一次二階矩法實(shí)質(zhì)上是一種非線性約束優(yōu)化問題［5］。

HL-RF（Hasofer-Lind and Rackwitz-Fiessler）法［6-7］是求解MPP最為常用的一種方法，但是該方法在求解高非線性函數(shù)時(shí)會(huì)出現(xiàn)迭代振蕩甚至不收斂的情況。對(duì)此，貢金鑫［8］使用有限步長迭代法進(jìn)行改進(jìn)，提高了算法的收斂性，但是該方法在解決高非線性問題時(shí)仍然存在迂回振蕩的問題。楊迪雄［9］利用混沌理論進(jìn)行分析，提出了混沌控制（chaos control）法，該方法格式簡單，易于實(shí)現(xiàn)，但計(jì)算效率相對(duì)較低；對(duì)此，孟增等［10］對(duì)混沌控制法的迭代方向進(jìn)行了修正，提高了計(jì)算效率；而后李彬［11］又從多目標(biāo)優(yōu)化的角度研究了影響一次二階矩方法收斂性的根本原因，建立了改進(jìn)的自適應(yīng)混沌控制算法，進(jìn)一步提高了計(jì)算效率。肖寧聰?shù)龋?2］提出了一種考慮權(quán)重、點(diǎn)間距以及點(diǎn)對(duì)極限狀態(tài)函數(shù)貼合程度的選點(diǎn)方法，保證了響應(yīng)面擬合過程中對(duì)點(diǎn)的需求。

隨著對(duì)可靠度研究的深入，可變?nèi)莶罘ǖ幕A(chǔ)方法單純形法也逐漸被眾多專家學(xué)者所關(guān)注?？卒J睿等［13］針對(duì)單純形法的反射方向進(jìn)行了研究，并提出映射單純形的新方法。改進(jìn)后的單純形法適應(yīng)范圍更廣，收斂速度也有所加快。牛銘等［14］針對(duì)反射中心進(jìn)行重新定位，使得經(jīng)過改進(jìn)后反射點(diǎn)的反射方向，更加靠近函數(shù)最優(yōu)值方向，提高了搜索效率。以上算法均為針對(duì)單純形法進(jìn)行的改進(jìn)，單純形法是一種無約束條件的問題的求解方法，無法用于可靠度問題的求解。將單純形法進(jìn)行理論拓展可得可變?nèi)莶罘?，該方法能夠有效?duì)可靠度求解這類有約束條件的問題進(jìn)行準(zhǔn)確求解。但可變?nèi)莶罘椒ㄒ泊嬖谙鄳?yīng)的問題，即反射基點(diǎn)缺乏方向引導(dǎo)性，導(dǎo)致計(jì)算速度較慢。

本研究基于可靠度指標(biāo)β的幾何意義與前面學(xué)者所作研究，提出了一種基于權(quán)重分析的可變?nèi)莶罘?，通過對(duì)迭代過程中反射點(diǎn)選取策略的改進(jìn)，以此提升該方法的計(jì)算速度。另外本研究就可變?nèi)莶罘ǖ挠?jì)算精度也進(jìn)行了分析，并與HL-RF方法、CC算法計(jì)算結(jié)果進(jìn)行了對(duì)比，結(jié)果表明該方法與傳統(tǒng)可變?nèi)莶罘ㄏ啾?，提高了?jì)算效率與計(jì)算速度。

1 單純形法基本原理

單純形法［15］（simplex method）是一種用于無約束條件下最優(yōu)化問題的求解方法。該方法理論簡單，在實(shí)際工程中應(yīng)用場景比較廣泛，但需要計(jì)算的功能函數(shù)值較多，因此并不適用于過多變量的情況。在n

維空間中，由n+1個(gè)不同的點(diǎn)組成的各邊長度完全相同的多面體，稱為正單純形［16］，如圖1所示。xh、xp和xl組成的正三角形就是二維空間中的正單純形，對(duì)比3個(gè)點(diǎn)的函數(shù)值可以得到g（xh）＞g（xp）＞g（xl），由此可以確定最優(yōu)點(diǎn)xl、次優(yōu)點(diǎn)xp以及最差點(diǎn)xh。單純形法中存在3個(gè)計(jì)算過程，可以簡要概括為反射、延伸以及收縮。

如若g（xDh）lt;g（xl），說明探索方向正確，進(jìn)行延伸過程，反之則進(jìn)行收縮過程。

2）延伸。反射過程的成功意味著所取的探索方向與步長正確，沿著該方向繼續(xù)拓展探索步長，得到xRh為

xRh=xc+γ（xc－xh）

（2）

3）收縮。反射過程的失敗有可能是探索步長過長，考慮縮短探索步長，得到xSh為

xSh=xc+δ（xc－xh）

（3）

其中，α、γ、δ 分別取1、2、0.5。單純形法可以通過以上3個(gè)計(jì)算過程對(duì)無約束條件下的優(yōu)化問題進(jìn)行求解，而結(jié)構(gòu)可靠度的求解計(jì)算則屬于有約束條件的優(yōu)化問題求解。由此對(duì)單純形法理論進(jìn)行拓展，以結(jié)構(gòu)功能函數(shù)值作為選點(diǎn)依據(jù)，以到標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)空間下原點(diǎn)的距離作為點(diǎn)的取舍指標(biāo)，便可以推得可變?nèi)莶罘ā?/p>

2 可變?nèi)莶罘ɑ驹?/p>

可變?nèi)莶罘ǎ?5］（flexible tolerance method）由單純形法的理論基礎(chǔ)拓展而來，該方法仍然需要通過各點(diǎn)的函數(shù)值來確定迭代方向，但是能夠?qū)τ屑s束條件的優(yōu)化問題進(jìn)行有效求解，并且可以避免梯度類求解算法中因梯度方向錯(cuò)誤而出現(xiàn)的迭代振蕩、不收斂的情況。

與單純形法計(jì)算過程類似，可變?nèi)莶罘ǖ挠?jì)算過程也分為反射、延伸以及收縮3個(gè)過程。不同的是，可變?nèi)莶罘ㄔ谟?jì)算過程中需要遵循嚴(yán)格的取點(diǎn)依據(jù)，即取點(diǎn)要限制在近乎可行域與可行域范圍內(nèi)。

根據(jù)功能函數(shù)值的大小將整個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)空間劃分為可行域、近乎可行域以及不可行域，如圖2所示。可行域指的是極限狀態(tài)面自身所占據(jù)的空間，此域內(nèi)所有的點(diǎn)都坐落在極限狀態(tài)面上，是能夠用于準(zhǔn)確計(jì)算可靠度指標(biāo)的點(diǎn)，所以是可行點(diǎn)；近乎可行域指的是圍繞在極限狀態(tài)面周圍一小部分空間，此域內(nèi)的點(diǎn)基本坐落在極限狀態(tài)面周邊，其功能函數(shù)值很小，所以將其視為近乎可行點(diǎn)；而不可行域則指的是距離極限狀態(tài)面有一定距離，其域內(nèi)的點(diǎn)功能函數(shù)值較大，對(duì)于可靠度指標(biāo)求解意義不大。

根據(jù)結(jié)構(gòu)可靠度的幾何意義，可靠度指標(biāo)β為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)空間下坐標(biāo)原點(diǎn)O到極限狀態(tài)面之間的最短距離，由此將結(jié)構(gòu)可靠度指標(biāo)轉(zhuǎn)化為如下的數(shù)學(xué)模型。

其中，φk表示的是容許誤差準(zhǔn)則，簡稱為容差準(zhǔn)則，是單純形頂點(diǎn)的函數(shù)，即φk=φk（xk1，xk2，…，xkn），在整個(gè)探索過程中φk不依賴于功能函數(shù)值，也不依賴于約束值，是一個(gè)遞減的正函數(shù)，如式（7）所示，該準(zhǔn)則也可以作為結(jié)束準(zhǔn)則。滿足該準(zhǔn)則的就是可行點(diǎn)或近乎可行點(diǎn)，不滿足該準(zhǔn)則的就是不可行點(diǎn)，而不可行點(diǎn)在后續(xù)計(jì)算中需要通過其他計(jì)算方法進(jìn)行極小化處理將其逼近至近乎可行域內(nèi)，本研究中采用的是單純形法的極小化處理方式。在可變?nèi)莶罘ㄓ?jì)算開始之前φk被賦予一個(gè)相對(duì)寬松的標(biāo)準(zhǔn)，隨著后期計(jì)算步驟的增加與精度的提高，容差標(biāo)準(zhǔn)也逐步降低以縮小近乎可行域的范圍，加強(qiáng)對(duì)點(diǎn)的約束。由于該容差準(zhǔn)則的具體數(shù)值會(huì)隨著計(jì)算的進(jìn)行不斷減少，因此該準(zhǔn)則也被稱為可變?nèi)莶顪?zhǔn)則。

其中：m為結(jié)構(gòu)功能函數(shù)的個(gè)數(shù)；r=n-m代表目標(biāo)函數(shù)在原問題中的自由度數(shù)；t為容差準(zhǔn)則的步長。下面構(gòu)建初始單純形并開始計(jì)算。

1）將g（x）作為目標(biāo)函數(shù)，選取初始點(diǎn)作為初始單純形的一個(gè)頂點(diǎn)，并計(jì)算單純形剩余頂點(diǎn)的坐標(biāo)，匯聚成矩陣的形式，即

其中，s為初始單純形的邊長。

2）計(jì)算上述n+1個(gè)單純形頂點(diǎn)的函數(shù)值，通過式（7）計(jì)算容差準(zhǔn)則，根據(jù)式（5）判斷是否滿足容差準(zhǔn)則φk，若不滿足容差準(zhǔn)則，進(jìn)行極小化處理直至滿足容差準(zhǔn)則，選擇極好點(diǎn)xl與極差點(diǎn)xh，并根據(jù)式（2）計(jì)算反射基點(diǎn)。

3）反射過程。取xl與xp的中點(diǎn)xc與xh連線，進(jìn)行反射得到xDh，并計(jì)算函數(shù)值g（xDh），通過式（7）計(jì)算容差準(zhǔn)則，根據(jù)式（5）判斷其是否滿足容差準(zhǔn)則φk要求，若不滿足要求則進(jìn)行極小化處理后轉(zhuǎn)至步驟4），若滿足要求直接轉(zhuǎn)至步驟4）。

4）判斷g（xDh）的大小，若g（xDh）≤g（xl），則轉(zhuǎn)至步驟5），若g（xl）lt;g（xDh）lt;g（xh），則由xDh代替xh，若g（xDh）≥g（xh）則轉(zhuǎn)至步驟7）。

5）延伸過程。拓展探索步長得到xRh，并計(jì)算函數(shù)值g（xDh），通過式（7）計(jì)算容差準(zhǔn)則，根據(jù)式（5）判斷其是否滿足容差準(zhǔn)則φk要求，若不滿足要求則進(jìn)行極小化處理后轉(zhuǎn)至步驟6），若滿足轉(zhuǎn)至步驟6）。

6）若g（xRh）lt;g（xDh），則由xRh代替xh，否則由xDh代替xh。

7）收縮過程?？s短探索步長得到xSh，并計(jì)算函數(shù)值g（xDh），判斷其是否滿足容差準(zhǔn)則φk要求，若不滿足要求則進(jìn)行極小化處理后求得其函數(shù)值，若滿足則直接求得其函數(shù)值，若g（xSh）lt;g（xh），則由xSh代替xh，否則轉(zhuǎn)至步驟8）。

8）若經(jīng)過收縮之后的點(diǎn)仍無法滿足計(jì)算要求，則說明該單純形構(gòu)型需要重新構(gòu)建，除了最優(yōu)點(diǎn)外的所有點(diǎn)都沿著本點(diǎn)到最優(yōu)點(diǎn)的方向移動(dòng)一半距離，即xi=xl+0.5（xi－xl），轉(zhuǎn)至步驟9）。

9）若容差準(zhǔn)則φk小于最小容差準(zhǔn)則φ′時(shí)，迭代停止，否則k=k+1，轉(zhuǎn)至步驟2）。

通過上述反射、延伸以及收縮步驟對(duì)單純形頂點(diǎn)不斷進(jìn)行更新替換，最終使其收縮至很小的范圍內(nèi)，當(dāng)單純形的尺寸收縮到一定范圍內(nèi)也就是達(dá)到收斂準(zhǔn)則之后，停止計(jì)算。

3 可變?nèi)莶罘ǖ母倪M(jìn)

可變?nèi)莶罘ɡ^承了單純形法的優(yōu)點(diǎn)，計(jì)算簡便、無需求導(dǎo)，但是傳統(tǒng)可變?nèi)莶罘ㄓ?jì)算過程中，因?yàn)榛诜瓷?、延伸、收縮的基點(diǎn)是除極差點(diǎn)外剩余點(diǎn)的中心點(diǎn)，并不能很好的起到一個(gè)方向?qū)蜃饔?，所以在?jì)算過程中存在計(jì)算速度慢，步驟冗雜的情況，由此提出基于權(quán)重分析的可變?nèi)莶罘ǎ╢lexible tolerance method weighted，F(xiàn)TMW）。

在對(duì)反射點(diǎn)的選取過程中使用權(quán)重分析的方法，對(duì)該點(diǎn)的選取方式進(jìn)行了改進(jìn)，使得選取的反射基點(diǎn)具有一定的方向?qū)蜃饔?。在?duì)基點(diǎn)的權(quán)重分析中，主要考慮2個(gè)影響較大的因素，其一是剩余點(diǎn)到極限狀態(tài)面的距離，其二則是剩余點(diǎn)到驗(yàn)算點(diǎn)的距離。根據(jù)這2個(gè)因素，假設(shè)新的基點(diǎn)的計(jì)算公式為

xc=p11n－1（w1x1+w2x2+…+wnxn）+p21n－1（v1x1+v2x2+…+vnxn），

n≠h（12）

其中：p1與p2分別代表2個(gè)權(quán)重，p1是點(diǎn)到極限狀態(tài)面的權(quán)重，p2是點(diǎn)到最有可能失效點(diǎn)的權(quán)重，兩個(gè)比重的和為1；wi與vi代表的是不同權(quán)重下各點(diǎn)之間的權(quán)重配比。由于在可變?nèi)莶罘ㄓ?jì)算首步，單純形各個(gè)頂點(diǎn)就進(jìn)行了極小化處理，都滿足容差準(zhǔn)則，即各個(gè)頂點(diǎn)基本都處于極限狀態(tài)面附近，如圖3所示。

該權(quán)重從本質(zhì)上來講是用于衡量點(diǎn)與極限狀態(tài)面的距離，而可變?nèi)莶罘ㄖ械娜莶顪?zhǔn)則也能夠保證所取點(diǎn)的位置不會(huì)在不可行區(qū)域內(nèi)，因此只需要重點(diǎn)分析各點(diǎn)到驗(yàn)算點(diǎn)距離的權(quán)重即可。式（12）可以寫為

xc=1n－1（v1x1+v2x2+…+vnxn），n≠h（13）

由于MPP點(diǎn)在計(jì)算過程中屬于未知點(diǎn)，因此通過分析單純形各頂點(diǎn)到該點(diǎn)的距離難以實(shí)現(xiàn)。但是在容差準(zhǔn)則強(qiáng)有力的約束下，單純形各頂點(diǎn)是緊靠在極限狀態(tài)面上的。根據(jù)結(jié)構(gòu)可靠度的幾何意義，可靠度指標(biāo)β為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)空間下坐標(biāo)原點(diǎn)O到極限狀態(tài)面之間的最短距離，即各個(gè)頂點(diǎn)距離原點(diǎn)O的距離越小，也就代表著該頂點(diǎn)更靠近MPP點(diǎn)。那么該頂點(diǎn)便應(yīng)當(dāng)給予更高的權(quán)重，以使得經(jīng)過xc點(diǎn)反射、延伸之后的點(diǎn)能更靠近MPP點(diǎn)，如圖 4所示，由此可得vi的權(quán)重計(jì)算方法為

vi=minβiβi （14）

根據(jù)式（12）與式（13）可以對(duì)傳統(tǒng)可變?nèi)莶罘ㄖ衳c點(diǎn)的選取策略進(jìn)行改進(jìn)。改進(jìn)后的可變?nèi)莶罘ㄔ谶x取新點(diǎn)代替最差點(diǎn)的過程中，xc點(diǎn)能實(shí)現(xiàn)更好的方向?qū)蜃饔谩?/p>

4 算例分析

本研究算例中混沌控制算法的混沌控制因子取值為0.1。文中各種計(jì)算方法采用均值點(diǎn)作為初始迭代點(diǎn)。由于本研究方法以及可變?nèi)莶罘ㄩ_始計(jì)算時(shí)，以其中一個(gè)正單純性的頂點(diǎn)為初始點(diǎn)，其他頂點(diǎn)屬于算法中輔助計(jì)算的點(diǎn)，所以在此僅展示迭代初始點(diǎn)在可變?nèi)莶罘ㄒ约氨狙芯糠椒ㄏ虑蠼饪煽慷戎笜?biāo)時(shí)的迭代路徑。

4.1 算例1：高非線性數(shù)值算例

假設(shè)功能函數(shù)形式為

g=x31+x32－4

其中，隨機(jī)變量相互獨(dú)立，為x1～N（3.0，1.0）和x2～N（2.9，1.0）。

圖5為不同計(jì)算方法求解可靠度指標(biāo)時(shí)的迭代路徑圖。通過該圖可以發(fā)現(xiàn)，該算例為一高非線性功能函數(shù)，HL-RF算法出現(xiàn)迭代振蕩不收斂的情況；CC算法能夠穩(wěn)定收斂，但其迭代路徑近乎一條直線，其迭代效率較低，通過144次才完成收斂計(jì)算；可變?nèi)莶罘ㄓ捎谌狈Ψ较蛞龑?dǎo)性，在2種計(jì)算精度下的迭代次數(shù)分別為87次與78次，迭代效率較低，且迭代次數(shù)隨計(jì)算精度的增加而增加；而本研究方法基于對(duì)反射點(diǎn)的修正，加強(qiáng)了其方向引導(dǎo)性，使得迭代次數(shù)大幅度降低，在2種精度下的計(jì)算迭代次數(shù)分別為80次與39次。證明改進(jìn)之后的計(jì)算方法能夠有效減少計(jì)算次數(shù)，加快計(jì)算速度。

4.2 算例2：高非線性數(shù)值算例

假設(shè)功能函數(shù)為

g=x1－1.7x2+1.5（x1+1.7x2）2－5

其中，隨機(jī)變量相互獨(dú)立，均服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，求解該算例的可靠度指標(biāo)。

圖6為不同計(jì)算方法求解可靠度指標(biāo)時(shí)的迭代路徑圖。從該圖中能夠發(fā)現(xiàn)，該算例也是一高非線性功能函數(shù)，HL-RF算法仍然振蕩不收斂；CC算法也開始出現(xiàn)振蕩現(xiàn)象，最終無法正常收斂；而可變?nèi)莶罘ㄈ钥赏瓿墒諗坑?jì)算，在2種不同計(jì)算精度下的迭代次數(shù)分別為58次與41次。本研究方法基于權(quán)重分析對(duì)反射基點(diǎn)進(jìn)行改進(jìn)，改進(jìn)后的方法在不同精度下的迭代次數(shù)分別為39次與26次，與傳統(tǒng)的可變?nèi)莶罘ㄏ啾?，本研究方法提高了?jì)算速度。

4.3 算例3：指數(shù)型功能函數(shù)

g=exp［k（1+x1－x2）］+

exp［k（5－5x1－x2）］－1

其中：x1、x2均服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布且相互獨(dú)立；k為一參數(shù)，用來調(diào)節(jié)該功能函數(shù)的非線性程度，k的值越大，該功能函數(shù)的非線性程度越大。

如圖7所示，計(jì)算該功能函數(shù)的可靠度指標(biāo)，初始迭代點(diǎn)選擇坐標(biāo)原點(diǎn)。由于該算例的可靠度指標(biāo)會(huì)隨著參數(shù)k的變化而變化，所以該算例將直接給出不同參數(shù)下的計(jì)算結(jié)果。

圖8為k=0.5時(shí)各種計(jì)算方法的迭代路徑圖。從圖中可以發(fā)現(xiàn)，該功能函數(shù)為高非線性功能函數(shù)，HL-RF發(fā)生了振蕩，沒有完成收斂計(jì)算；CC算法的迭代路徑近乎一條曲線，計(jì)算效率較低；傳統(tǒng)可變?nèi)莶罘ǖ某跏嫉椒ㄥe(cuò)誤，導(dǎo)致算法出現(xiàn)較大的波動(dòng)；本研究方法通過對(duì)非最差點(diǎn)外點(diǎn)計(jì)算相對(duì)應(yīng)的權(quán)重，改進(jìn)了反射基點(diǎn)，修正之后的計(jì)算方法穩(wěn)定性得到加強(qiáng)，能夠逐步穩(wěn)定向著MPP收斂。

圖9為k=5時(shí)各種計(jì)算方法的迭代路徑圖。從圖中可以看到，該功能函數(shù)隨著k值的增大，非線性程度進(jìn)一步增加，HL-RF無法完成收斂計(jì)算；CC算法也出現(xiàn)了提前收斂的情況，無法得到最終的可靠度指標(biāo)；可變?nèi)莶罘椒ㄔ谟?jì)算初期，反射基點(diǎn)選取存在問題，導(dǎo)致首次迭代的偏差過大，后續(xù)經(jīng)過迭代完成收斂，計(jì)算效率較低；本研究提出的計(jì)算方法在計(jì)算初期就將迅速、穩(wěn)定地逼近MPP，減少了迭代次數(shù)，提升了計(jì)算速度。

在該部分共計(jì)算了6種不同參數(shù)下功能函數(shù)的可靠度指標(biāo)，并將結(jié)果列在表3中。從該表中匯總的計(jì)算信息可以發(fā)現(xiàn)，本研究改進(jìn)的計(jì)算方法能夠準(zhǔn)確求解可靠度指標(biāo)，并且在迭代次數(shù)上要優(yōu)于可變?nèi)莶罘?。說明本研究中針對(duì)反射點(diǎn)的改進(jìn)方案是成功的，在計(jì)算后期能夠起到正確的方向引導(dǎo)作用，改進(jìn)后的算法提升了計(jì)算效率。隨著功能函數(shù)非線性程度的增大，CC算法開始出現(xiàn)提前收斂的情況，但本研究提出的計(jì)算方法仍能進(jìn)行可靠度求解，證明了本研究方法在處理高非線性功能函數(shù)時(shí)的有效性。

5 結(jié) 論

在面對(duì)高非線性功能函數(shù)時(shí)，傳統(tǒng)的HL-RF方法已無法計(jì)算，CC算法要進(jìn)行大量的迭代計(jì)算才能得出結(jié)果，甚至有可能會(huì)提前收斂。這2種方法在面對(duì)高非線性函數(shù)時(shí)無法通過梯度信息有效選取迭代方向?？勺?nèi)莶罘椒ù嬖诜瓷浠c(diǎn)缺乏方向引導(dǎo)性的問題。本研究方法從非梯度迭代理念的角度出發(fā)，改進(jìn)了反射基點(diǎn)的選取策略，通過對(duì)最差點(diǎn)的反射、延伸、收縮，逐步選取合適點(diǎn)代替最差點(diǎn)，最終達(dá)到收斂。數(shù)值算例證明了本研究方法的合理性，計(jì)算結(jié)果表明本研究方法收斂更加穩(wěn)定、迅速，是一種針對(duì)高非線性功能函數(shù)求解可靠度指標(biāo)時(shí)值得考慮的方法。

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（編輯 李坤璐）