廣義混合奇異元及應力強度因子分析

摘 要：采用位移法求解裂紋的應力強度因子，不方便引入裂紋邊上已知的應力邊界條件，模型有失理性與客觀。融合奇異元的思想，提出了用于分析含裂紋二維結(jié)構的應力強度因子的廣義混合奇異元列式，基于該列式的有限元模型兼顧了裂紋尖端力學參量的奇異性和裂紋邊應力邊界條件的引入。實例分析表明，該方法的應力強度因子結(jié)果收斂穩(wěn)定可靠。同時分析了應力邊界條件對數(shù)值結(jié)果的影響，結(jié)果表明考慮裂紋邊應力邊界條件時應力強度因子精度更高。

關鍵詞：奇異性；廣義混合奇異元；應力強度因子；裂紋；應力邊界條件

中圖分類號：O343.1" 文獻標志碼：A

文章編號：1000-4939（2025）01-0091-08

Generalized mixed singular element and stress intensity factor analysis

HE Li，QING Guanghui

（School of Aeronautical Engineering，Civil Aviation University of China，300300 Tianjin，China）

Abstract：The known stress boundary conditions cannot be introduced conveniently at the crack edge when solving the stress intensity factor of crack with the displacement method，so the model is unrealistic.Based on the singular element theory，a generalized mixed singular element sequence is proposed to analyze the stress intensity factors of two-dimensional structures with crack.The finite element model based on the singular element sequence takes into account the singularity of mechanical parameters at the crack tip and the introduction of stress boundary conditions at the crack edge.The results of examples show that the convergence of stress intensity factor is stable and reliable.The influence of stress boundary conditions on the numerical results is analyzed，and the results of stress intensity factor considering stress boundary conditions at the edge of crack are more accurate.

Key words：singularity；generalized mixed singular element；stress intensity factor；crack;stress boundary condition

針對裂紋尖端的應力奇異性特征，現(xiàn)有研究已提出多種奇異單元。段靜波等［1］總結(jié)了位移型、應力型和移動邊中節(jié)點型等常見奇異單元的優(yōu)缺點。BARSOUM［2］推導了三角形1/4點奇異單元的雅可比矩陣，并且證明這種單元同時具有r-1/2階奇異性和r-1階應變奇異性。CHEN等［3］提出了一種通過對奇異單元節(jié)點的應力強度因子進行線性插值，求得裂紋尖端應力強度因子的方法。LIN等［4］采用

1/4節(jié)點裂紋張開位移法和J積分法計算奇異單元的應力強度因子，對大范圍的平面裂紋擴展進行了有限元模擬。GRAY等［5］對1/4點裂紋尖端單元進行了修正，改進了標準的奇異單元。TAN等［6］通過將裂紋尖端附近的經(jīng)典線彈性場解與邊界元法的線彈性場解進行比較，得到了求解裂紋體剪切應力的簡單公式。NEJATI等［7］采用1/4點四面體單元，準確地模擬了裂紋尖端應力奇異性，應力強度因子的平均誤差為2%～3%。FAGEEHI等［8］在裂紋尖端周圍構造了1/4點奇異元，采用等效域積分方法計算裂紋擴展過程中的應力強度因子歷程，成功地模擬了帶孔板和不帶孔板的裂紋萌生和擴展過程。

上述文獻均采用位移有限元法進行求解。然而，位移法的變量場中僅含有位移變量，單元的應力結(jié)果只能通過應力恢復的方法求出。這種按單元來逐一計算應力的方法使得單元間的應力不連續(xù)。與之不同，混合法在結(jié)構分析中同時取節(jié)點位移和節(jié)點應力作為獨立場變量，同時選擇位移函數(shù)和應力函數(shù)作為基本未知函數(shù)，應力結(jié)果精度與位移結(jié)果精度相當。混合法中包含應力變量，在相同網(wǎng)格下往往可以得到比位移法精度更高的結(jié)果。另一方面，混合法便于應力邊界條件的引入，有限元模型更加理性客觀。然而，傳統(tǒng)混合有限元法［9］的系數(shù)矩陣主對角線上存在零元素，容易出現(xiàn)數(shù)值結(jié)果的震蕩。廣義混合法［10-11］避免了這樣的問題，數(shù)值結(jié)果穩(wěn)定性更好。QING等［12-13］結(jié)合最小勢能原理與 （Hellinger-Reissner，H-R）混合變分原理，推導出了廣義H-R混合變分原理，提出了非協(xié)調(diào)廣義混合有限元法。

前人通過位移法中的奇異單元充分描述了裂紋尖端的應力奇異性特征，但難以考慮到裂紋附近邊界上的應力情況對應力強度因子的影響。從理論上講，廣義混合法考慮了裂紋邊應力邊界條件，可以反映裂紋邊的真實應力情況。本研究在文獻［10-13］的基礎上，將奇異單元與廣義混合元法融合，提出了一種求解二維問題裂紋尖端應力強度因子的新方法，并分析考慮裂紋邊應力邊界條件對數(shù)值結(jié)果的影響。

1 廣義混合元列式

為了解決由于經(jīng)典混合元線性系統(tǒng)方程組非正定所導致的數(shù)值結(jié)果不穩(wěn)定的問題，前人提出了含參數(shù)廣義混合變分原理［10-13］

從圖5中可以看出，當α=0.1或0.9時，應力強度因子的收斂性和精確度均較差。當α=0.5時，在最密的網(wǎng)格模型f處發(fā)生了反向收斂的情況。當α=0.75時，隨著網(wǎng)格密度不斷加大，數(shù)值結(jié)果的誤差不斷變小，最后接近解析解：由網(wǎng)格模型a得到的應力強度因子誤差為13.32%，網(wǎng)格模型f的計算誤差為0.24%。圖5中的結(jié)果驗證了文獻［14］中提到的參數(shù)α取0.75時計算結(jié)果最為理想的結(jié)論，也證明了采用本研究提出的廣義混合奇異元法求解應力強度因子具有良好的收斂性，數(shù)值結(jié)果穩(wěn)定可靠。

3.2 考慮裂紋邊應力邊界條件對中心裂紋的影響

這里再次考慮圖2所示的中心裂紋薄板問題，計算不同a/W條件下的應力強度因子結(jié)果。模型（圖2a）參數(shù)：E=2×105MPa；υ=0.3；σ=100MPa；2H=240mm；2W=200mm；裂紋半長a分別取10、12、14、16、18、20mm，裂紋尖端附近的網(wǎng)格模型如圖6。考慮和不考慮裂紋邊應力邊界條件2種情況的應力強度因子結(jié)果及誤差列于表1中。

由表1可知：考慮裂紋邊應力邊界條件時得到的應力強度因子的誤差比未考慮時更小，說明通過本研究的方法考慮裂紋邊應力邊界條件可以提高應力強度因子的計算精度；無論是否考慮裂紋邊應力邊界條件，廣義混合奇異元法的計算誤差均在1%以內(nèi)，遠好于相同網(wǎng)格下的位移法的結(jié)果，說明廣義混合奇異元模型真實可靠。

3.3 考慮裂紋邊應力邊界條件對單邊裂紋的影響

如圖7（a）所示，平面內(nèi)長H=10mm、寬W=6mm的均質(zhì)薄板，左側(cè)含有長為a的水平單邊直裂紋，板兩端承受對稱的均勻拉應力σ=30MPa。設E=2×105MPa，υ=0.3。1/2模型及邊界條件如圖7（b）所示。

如圖7（b），模型底部無裂紋區(qū)域v=0，模型上邊界σxy=0，σyy=σ；底部裂紋邊上（不包括裂紋尖端的節(jié)點）的σxy=0，σyy=0；模型左側(cè)和右側(cè)邊界上σxy=0，σxx=0。對于該算例中的單邊裂紋，式（18）中的F取值如下［16］

下面在不同a/W條件下分別計算是否考慮裂紋邊應力邊界2種情況下的應力強度因子，a分別取0.6、1.2、1.8、2.4、3.0mm，裂紋尖端附近的網(wǎng)格模型如圖8所示。計算結(jié)果在表2中列出。

根據(jù)表2中可以得到與表1相似的結(jié)論，即考慮裂紋邊應力邊界條件時可以得到精度更高的應力強度因子結(jié)果。同時，在相同網(wǎng)格的條件下廣義混合奇異元法的結(jié)果總是優(yōu)于位移法。

3.4 考慮裂紋邊應力邊界條件對斜裂紋的影響

中心斜裂紋拉伸板（圖9a）幾何尺寸比為：a/W=0.4；H/W=2；裂紋傾斜角θ=45°。其應力強度因子的解析解根據(jù)文獻［17］得到。

模型的應力邊界條件如圖9（b）所示，模型上下邊界σxy=0，σyy=σ；中心處裂紋邊上（不包括裂紋尖端的節(jié)點）的σxy=0；左右側(cè)邊界上σxy=0，σxx=0。

該算例用到的網(wǎng)格模型的裂紋尖端局部示意圖如圖10所示。

文獻［5］給出了適用于斜裂紋裂尖奇異單元（圖11）的KI、KII計算公式

由表3可知，無論是KⅠ還是KⅡ，考慮裂紋邊應力邊界條件時的數(shù)值結(jié)果比未考慮時精度更高。

4 結(jié)束語

結(jié)合廣義混合法的理論，本研究提出了一種融合奇異元的廣義混合奇異元列式，基于該列式的有限元模型在求解二維問題的應力強度因子時可考慮裂尖力學量的奇異性和裂紋邊的應力邊界條件。實例分析表明，通過該方法得到的應力強度因子具有良好的收斂性，結(jié)果精度高。

無論是否考慮裂紋邊應力邊界條件，基于廣義混合奇異元法得到的應力強度因子誤差均在1%左右，好于相同網(wǎng)格下的位移法結(jié)果。而在考慮裂紋邊應力邊界條件后的結(jié)果更加優(yōu)于未考慮應力邊界條件的結(jié)果，主要原因是廣義混合奇異元法可以反映裂紋邊的真實應力情況，有限元模型更加理性客觀。

比較有限元模型的自由度數(shù)，由于混合法包含了應力變量，所以在網(wǎng)格模型相同的情況下，混合法的自由度數(shù)比位移法多，因此求解速度比位移法慢。雖然現(xiàn)代計算機技術的發(fā)展水平已經(jīng)不再是制約具有諸多優(yōu)點的混合法得到廣泛應用的因素，但是研究探索提高混合法計算效率的新方法是非常有意義的工作。

參考文獻：

［1］ 段靜波，李道奎，雷勇軍.斷裂力學分析的奇異有限元法研究綜述［J］.機械強度，2012，34（2）：262-269.

DUAN Jingbo，LI Daokui，LEI Yongjun.Advances in singular finite element method for fracture mechanics analysis［J］.Journal of mechanical strength，2012，34（2）：262-269（in Chinese）.

［2］ BARSOUM R S.Triangular quarter-point elements as elastic and perfectly-plastic crack tip elements［J］.International journal for numerical methods in engineering，1977，11（1）：85-98.

［3］ CHEN L S，KUANG J H.A modified linear extrapolation formula for determination of stress intensity factors［J］.International journal of fracture，1992，54（1）：R3-R8.

［4］ LIN X B，SMITH R A.An improved numerical technique for simulating the growth of planar fatigue cracks［J］.Fatigue amp; fracture of engineering materials amp; structures，1997，20（10）：1363-1373.

［5］ GRAY L J，PHAN A V，PAULINO G H，et al.Improved quarter-point crack tip element［J］.Engineering fracture mechanics，2003，70（2）：269-283.

［6］ TAN C L，WANG X.The use of quarter-point crack-tip elements for T-stress determination in boundary element method analysis［J］.Engineering fracture mechanics，2003，70（15）：2247-2252.

［7］ NEJATI M，PALUSZNY A，ZIMMERMAN R W.On the use of quarter-point tetrahedral finite elements in linear elastic fracture mechanics［J］.Engineering fracture mechanics，2015，144：194-221.

［8］ FAGEEHI Y A，ALSHOAIBI A M.Nonplanar crack growth simulation of multiple cracks using finite element method［J］.Advances in materials science and engineering，2020，2020（1）：8379695.

［9］ HERRMANN L R.Elasticity equations for incompressible and nearly incompressible materials by a variational theorem［J］.AIAA journal，1965，3（10）：1896-1900.

［10］榮廷玉.彈性力學廣義混合變分原理及有限元廣義混合法［J］.固體力學學報，1988，9（2）：153-164.

RONG Tingyu.Generalized mixed variational principles in elasticity and the finite element method［J］.Chinese journal of solid mechanics，1988，9（2）：153-164（in Chinese）.

［11］黨發(fā)寧，榮廷玉，孫訓方.用有限元廣義混合法分析不可壓縮或幾乎不可壓縮彈性體［J］.力學季刊，2000，21（3）：299-303.

DANG Faning，RONG Tingyu，SUN Xunfang.Application of generalized mixed finite element method to research on incompressible and nearly incompressible elasticity［J］.Chinese quarterly of mechanics，2000，21（3）：299-303（in Chinese）.

［12］QING G H，MAO J H，LIU Y H.Generalized mixed finite element method for 3D elasticity problems［J］.Acta mechanica Sinica，2018，34（2）：371-380.

［13］QING G H，TIAN J.Highly accurate symplectic element based on two variational principles［J］.Acta mechanica Sinica，2018，34（1）：151-161.

［14］FELIPPA C A.Parametrized multifield variational principles in elasticity：I.Mixed functionals［J］.Communications in applied numerical methods，1989，5（2）：79-88.

［15］朱伯芳.有限元法原理與應用［M］.北京：中國水利水電出版社，2018.

［16］中國航空研究院.應力強度因子手冊［M］.北京：科學出版社，1981

［17］MURAKAMI Y，KEER L M.Stress intensity factors handbook［M］.New York：Pergamon，1987.

［18］解德，錢勤，李長安.斷裂力學中的數(shù)值計算方法及工程應用［M］.北京：科學出版社，2009.

（編輯 呂茵）