例析隔板法在處理排列組合問題時的應(yīng)用

計數(shù)中的分配或分組問題，一直是排列組合中的一個重點與難點，也是組合應(yīng)用中的典型問題之一。其中，利用隔板法來處理對應(yīng)的分配或分組問題，成為高中排列組合的重要方法之一，它主要用于解決相同元素（或具有相同特征或相同地位等）的分配問題。根據(jù)問題的創(chuàng)設(shè)場景與應(yīng)用類型，隔板法可分為三種比較常見的題型：①標(biāo)準(zhǔn)型;②多分型;③少分型。其中后兩種題型根據(jù)具體的問題場景，加以合理轉(zhuǎn)化與應(yīng)用，最終都是化為“標(biāo)準(zhǔn)型”來解題。

一、“標(biāo)準(zhǔn)型”隔板法

“標(biāo)準(zhǔn)型”隔板法的模型是：將n個相同的元素分成m份（n，m為正整數(shù)），每份至少1個元素，可以用m-1塊隔板，插入到n個元素排成一排的n-1個空隙中，共有Cm-1n-1種分法。

例1某校將6個三好學(xué)生名額分配到高三年級的3個班，每班至少1個名額，則不同的分配方案有（）。

A.15種B.20種

C.10種D.30種

解析：該問題是相同元素（三好學(xué)生）的分組分配問題，適合采用“標(biāo)準(zhǔn)型”隔板法來處理。由于6個名額之間有5個空，隔2塊板就可以分成3份，每份至少一個名額，所以共有C25=10（種）分配方案。

故選C。

點評：借助“標(biāo)準(zhǔn)型”隔板法解決實際應(yīng)用問題時，需要同時滿足以下三個要求：①被分配的n個元素?zé)o差別;②n個元素分給m個不同的對象（ngt;m）;③每個對象至少分1個元素。

例2某校有10個優(yōu)秀學(xué)生名額，要求分配到高一、高二、高三，每個年級至少1個名額，則不同的分配方案有（）。

A.135種B.36種

C.75種D.120種

解析：因為題目中的“學(xué)生名額”是相同元素，所以該問題是相同元素的分組分配問題，適合“標(biāo)準(zhǔn)型”隔板法來解決。由于10個名額之間有9個空，隔2塊板就可以分成3份，每份至少1個名額，所以共有C29=36（種）分配方案。

故選B。

點評：在采用“標(biāo)準(zhǔn)型”隔板法解決實際應(yīng)用問題時，關(guān)鍵在于確定問題是否屬于相同元素的分組分配問題，當(dāng)適用該標(biāo)準(zhǔn)時，可以直接采用公式Cm-1n-1（n為元素個數(shù)，m為分組的組數(shù)）來分析與計算。

二、“多分型”隔板法

“多分型”隔板法的模型是在“標(biāo)準(zhǔn)型”隔板法的基礎(chǔ)上，同時允許某個對象至少分k個元素（kgt;1），可以優(yōu)先安排某個對象分k-1個元素，這樣就轉(zhuǎn)化為每個對象至少分1個元素了，同時被分配的元素變?yōu)閚-（k-1）個，由此轉(zhuǎn)化為“標(biāo)準(zhǔn)型”隔板法去解決。

例3某學(xué)校決定把12個參觀航天博物館的名額給三（1）班、三（2）班、三（3）班、三（4）班。要求每個班分配的名額不比班級序號少，即三（1）班至少1個名額，三（2）班至少2個名額，…，則不同的分配方案有（）。

A.8種B.10種

C.165種D.495種

解析：根據(jù)題意，先在編號為2，3，4的3個班級中分別分配1，2，3個名額（共6個），編號為1的班級里不分配，符合“多分型”隔板法的模型;再將剩下的6個名額分配4個班級里，每個班級里至少1個名額，由隔板法可得，符合題目要求的分配方案共有C35=10（種）。

故選B。

點評：借助“多分型”隔板法解決實際應(yīng)用問題時，需要同時滿足以下三個要求：①被分配的n個元素?zé)o差別;②n個元素分給m個不同的對象（ngt;m）;③允許某個對象至少分k個元素（kgt;1）。

例4把20個相同的小球放到三個編號為1，2，3的盒子里，且每個盒子內(nèi)的小球數(shù)要多于盒子的編號數(shù)，則不同的放法共有______種。

解析：根據(jù)題意，先在1號盒子里放1個球，在2號盒子里放2個球，在3號盒子里放3個球，符合“多分型”隔板法的模型。因此，原問題可以轉(zhuǎn)化為將剩下的14個小球，分組分配放入3個盒子，每個盒子至少放1個小球的問題。將剩下的14個小球排成一排，有13個空位，在13個空位中任選2個，插入擋板，由隔板法可得，符合題目要求的不同放法共有C213=13×12/2=78（種）。

故填78。

點評：在采用“多分型”隔板法解決實際應(yīng)用問題時，先根據(jù)“多分”條件，合理剔除其中需要多分的元素，在剩下的元素中，再通過“標(biāo)準(zhǔn)型”隔板法來分析，從而直接采用公式Cm-1n-k-1（n為元素個數(shù)，k為需要剔除的多分的元素個數(shù)，m為分組的組數(shù)）進行計算。

三、“少分型”隔板法

“少分型”隔板法的模型是在“標(biāo)準(zhǔn)型”隔板法的基礎(chǔ)上，同時允許有對象分到0個元素，可以先“借”1個元素安排給可為0的對象，這樣就轉(zhuǎn)化為每個對象至少1個元素了，同時被分配的元素也變?yōu)閚+1個，從而可用“標(biāo)準(zhǔn)型”隔板法去解決。

例5將20個完全相同的小球放進三個不同的盒子，允許有盒子為空，但球必須放完，則不同的放法有（）。

A.190種B.231種

C.690種D.1140種

解析：依題意，每個盒子可以為空，可以先給每個盒子從外部借1個元素，總共就借了3個元素了，然后將23個元素分配給三個盒子且每個盒子至少分一個，符合“少分型”隔板法的模型。由此轉(zhuǎn)化成“標(biāo)準(zhǔn)型”模型，則符合題目要求的放法共有C222=231（種）。

故選B。

點評：借助“少分型”隔板法解決實際應(yīng)用問題時，需要同時滿足以下三個要求：①被分配的n個元素?zé)o差別;②n個元素分給m個不同的對象（ngt;m）;③允許有對象分到0個元素。

例6不定方程x+y+z=12的非負(fù)整數(shù)解的個數(shù)為______。

解析：依題意，因為x+y+z=12，且x，y，z∈N，所以有0≤x≤12，0≤y≤12，0≤z≤12，所以1≤x+1≤13，1≤y+1≤13，1≤z+1≤13。不定方程x+y+z=12可變?yōu)椴欢ǚ匠蹋▁+1）+（y+1）+（z+1）=15，相當(dāng)于15個1被分成3部分，符合“少分型”隔板法的模型，進而每一部分至少有1個1，直接轉(zhuǎn)化為“標(biāo)準(zhǔn)型”隔板法來應(yīng)用。所以不定方程x+y+z=12的非負(fù)整數(shù)解的個數(shù)為C214=91。

故填91。

點評：在采用“少分型”隔板法解決實際應(yīng)用問題，特別是以上各組條件統(tǒng)一的“少分型”應(yīng)用問題時，可以直接將問題轉(zhuǎn)化為m組元素均可為0時的“標(biāo)準(zhǔn)型”隔板法問題，可以直接采用公式Cm-1n+m-1（n為元素個數(shù)，m為分組的組數(shù)）來分析與計算。

總之，我們在遇到“相同元素有序分組”模型時，都可以采用隔板法來分析與處理。只是在實際解題與應(yīng)用過程中，要分清隔板法應(yīng)用的基本類型，區(qū)分“標(biāo)準(zhǔn)型”“多分型”“少分型”的基本特征，以及相應(yīng)之間的聯(lián)系與區(qū)別，合理變形與化歸，巧妙轉(zhuǎn)化與應(yīng)用，進而合理采用隔板法這一特殊的技巧來分析，最終實現(xiàn)問題的突破與求解。

（責(zé)任編輯王福華）