基于列舉法厘清雞兔同籠問題數(shù)量關系

執(zhí)教《雞兔同籠》時，教師可以聚焦列舉法，引導學生厘清雞和兔只數(shù)的變化導致的腿數(shù)量的變化，進而理解假設法等解決問題的方法，實現(xiàn)解決問題能力與抽象思維的同步提升。

基于列舉法梳理數(shù)量關系。用列舉法解決雞兔同籠問題相對容易理解，能有效提高學生的課堂參與度，幫助學生實現(xiàn)從直觀到抽象的思維過渡。教學時，筆者從小數(shù)據入手，讓學生用列舉法自主解決問題：雞兔同籠，共有9個頭、22條腿，雞兔各有幾只？同時，筆者為學生提供了寫有樣例的表格支架。學生借助表格用逐一列舉的方法很快找到了答案：有7只雞、2只兔。筆者根據學生的匯報整理出如下表格。

答案出現(xiàn)后，筆者沒有讓學生停止列舉，而是讓他們經歷完全列舉的過程，驗證正確答案只有這一種。

基于列舉結果明晰數(shù)量關系。逐一列舉后，筆者引導學生觀察表格中的數(shù)據。學生發(fā)現(xiàn)減少雞的數(shù)量或增加兔的數(shù)量，腿的數(shù)量會增加；反之，腿的數(shù)量會減少。學生還發(fā)現(xiàn)每增加1只兔就增加2條腿。筆者引導學生逆向思考，說一說如果腿的數(shù)量增加了，說明哪個數(shù)量增加了；如果腿的數(shù)量減少了，又是什么情況。學生結合列舉過程中的數(shù)據比較分析，明晰了每調整1只雞（兔），腿的數(shù)量與調整前相比就相差2條。

在此基礎上，筆者出示問題：雞兔同籠，共有50個頭、140條腿，雞兔各有幾只？因為數(shù)據較大，學生感覺到完全列舉工作量很大，筆者引導學生分小組探究列舉的優(yōu)化辦法。匯報環(huán)節(jié)，學生提出多種使解題過程更加簡便的列舉方法。比如，有的學生采用“跳躍式列舉法”：假設有50只雞、0只兔，則腿有100條，這與題目要求相差40條，嘗試10只10只地跳躍式調整，不斷逼近正確答案，最終得出雞有30只、兔有20只。有的學生采用“中間數(shù)列舉法”：根據50÷2=25（只），假設雞和兔都是25只，用“2×25+4×25”計算出腿數(shù)150條，發(fā)現(xiàn)它比題目要求多出10條，很接近準確值，之后通過減少兔、增加雞找到正確答案。

基于數(shù)量關系拓展解題方法。匯報中，筆者發(fā)現(xiàn)有的學生將列舉與計算相結合解題：假設50只都是雞，則腿數(shù)為100條，少了40條，腿數(shù)少是因為雞的數(shù)量多了、兔的數(shù)量少了，所以要減少雞的數(shù)量、增加兔的數(shù)量，又因為每減少1只雞（增加1只兔）就增加2條腿，所以只要看40里有幾個2就可以得出兔的數(shù)量，由“40÷2=20”得出兔有20只，進而得出雞有30只。筆者點撥：“我們把列舉中用到的算式提取出來，就是解決雞兔同籠問題的假設法，請你在假設都是兔的情況下嘗試列算式解決問題?！睂W生先用“4×50=200”計算出腿有200條，再用“200-140=60”計算出假設的總腿數(shù)與題目要求相比多出60條，然后用“60÷（4-2）=30”計算出需要調整的兔的數(shù)量是30只，這說明雞的數(shù)量是30只，最后用“50-30=20”計算出兔的實際數(shù)量是20只。學生通過列舉法的優(yōu)化過程，不僅鞏固、運用了完全列舉中發(fā)現(xiàn)的數(shù)量關系，還理解了假設法的計算原理，總結出假設法的計算方法。在此基礎上，筆者引導學生根據“兔的腿數(shù)+雞的腿數(shù)=總腿數(shù)”，列方程解答這類問題。

文字編輯"劉佳