聚焦思維提升的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)路徑設(shè)計(jì)

促進(jìn)學(xué)生思維發(fā)展是數(shù)學(xué)教學(xué)的核心任務(wù)之一。筆者以人教版數(shù)學(xué)四年級(jí)數(shù)學(xué)廣角《雞兔同籠》教學(xué)為例，闡述如何基于“課前預(yù)學(xué)、交流促學(xué)、適時(shí)導(dǎo)學(xué)、反饋展學(xué)”的學(xué)習(xí)路徑展開教學(xué)，逐步提升學(xué)生的思維。

一、課前預(yù)學(xué)，激活思維

課前自主學(xué)習(xí)是激活學(xué)生思維的有效手段。筆者設(shè)計(jì)預(yù)學(xué)單作為學(xué)生課前自主學(xué)習(xí)的支架，激活學(xué)生的思維，引導(dǎo)他們生成多元的解決問題方法。

預(yù)學(xué)單分為“我的目標(biāo)”和“我的研究”兩部分內(nèi)容?！拔业哪繕?biāo)”旨在明確預(yù)學(xué)任務(wù)和目標(biāo)：研讀教材第99頁，了解“雞兔同籠”問題；至少學(xué)會(huì)一種解決“雞兔同籠”問題的方法?！拔业难芯俊毕冉o出問題情境“籠子里有若干只雞和兔。從上面數(shù)，有8個(gè)頭；從下面數(shù)，有26條腿。雞和兔各有幾只？”，然后提出以下兩個(gè)問題。

問題1：你能嘗試用下面兩種方法解決問題嗎？

方法1：畫圖

如果用1個(gè)圓圈表示1個(gè)頭，我來畫一畫腿。（學(xué)生一般用表示兔）

方法2：列表

問題2：你還有別的方法嗎？把你的思路和結(jié)果記錄下來。

課堂上，筆者展示部分學(xué)生的預(yù)學(xué)單，并讓他們匯報(bào)自己的想法。一名學(xué)生說：“根據(jù)總腿數(shù)是26條以及雞有2條腿，我畫出13個(gè)頭，但是題目告訴我們只有8個(gè)頭，因此需要調(diào)整，而1只兔比1只雞多2條腿，多出來5個(gè)頭也就是多出來10條腿，把10條腿分別加在其中5個(gè)頭下面，也就是把5只雞變成5只兔，還剩下3只雞。經(jīng)過檢驗(yàn)，5只兔和3只雞正好是8個(gè)頭和26條腿。”筆者點(diǎn)撥：“你把26條腿全部假設(shè)成雞的腿，然后根據(jù)頭數(shù)進(jìn)行調(diào)整。你很會(huì)思考！”另一名學(xué)生說：“雞和兔共8只，我先平均分，分別畫4只雞和4只兔，發(fā)現(xiàn)一共有24條腿，腿數(shù)少了2條，需要調(diào)整。把1只雞變成1只兔就能增加2條腿，使腿數(shù)與題意相符，因此我的結(jié)論是籠子里有5只兔和3只雞?！惫P者點(diǎn)評(píng)：“你用平均分頭數(shù)的方法解決問題，并通過雞和兔的腿數(shù)關(guān)系很快找到了正確答案?！崩^而，有學(xué)生發(fā)現(xiàn)：如果籠子里的8只動(dòng)物全部是兔，就有32條腿，而題目說明有26條腿，多了6條腿，把1只兔變成1只雞就可減少2條腿，因此把3只兔變成雞就能把多的6條腿減去，從而得到3只雞和5只兔的正確答案。

學(xué)生利用數(shù)形結(jié)合的思想方法，從不同的角度思考，獨(dú)立解決了問題，他們即使不能快速得出最優(yōu)答案，也在推理過程中發(fā)展了數(shù)學(xué)思維。

二、交流促學(xué)，打通思路

思維發(fā)展是數(shù)學(xué)教學(xué)的核心。教師通過互動(dòng)交流引發(fā)學(xué)生的共鳴、質(zhì)疑、辯駁，有利于打通學(xué)生的思路，深化學(xué)生的認(rèn)知，提高他們的邏輯思維能力和辯證思維能力。

學(xué)生匯報(bào)畫圖法后，筆者讓他們交流列表法。一名學(xué)生說：“我采用的是一一列舉的方法，假設(shè)籠子里全部是兔，就填0只雞、8只兔，因?yàn)?只雞有2條腿，1只兔有4條腿，所以共有32條腿，這與題意不符；接著調(diào)整為1只雞、7只兔，計(jì)算出共有30條腿，這也不符合題意；再調(diào)整為2只雞、6只兔……只有當(dāng)雞是3只、兔是5只時(shí)符合26條腿的條件?！惫P者引導(dǎo)：“還有其他想法嗎？”學(xué)生思考后提出不同的想法：“我發(fā)現(xiàn)增加1只雞、減少1只兔，腿數(shù)就減少2條，于是我先填1只雞、7只兔，共30條腿；為了減少腿數(shù)，我又填2只雞、6只兔，共28條腿；繼續(xù)減少腿數(shù)，填3只雞、5只兔，就有26條腿，這與題目條件相符?！敝链?，學(xué)生的思維被打開。筆者拋出問題：“為什么這名同學(xué)沒有繼續(xù)往后寫呢？”其他學(xué)生馬上回答：“因?yàn)樗呀?jīng)找到了規(guī)律，繼續(xù)往后寫只會(huì)比26條腿少，不會(huì)再出現(xiàn)26條腿的情況?！惫P者點(diǎn)撥：“也就是說，根據(jù)這種規(guī)律，不會(huì)出現(xiàn)第2種答案?？磥砹斜頃r(shí)我們要邊觀察邊思考，只要找到了規(guī)律，就可以更簡便地解決問題?！贝藭r(shí)，一名學(xué)生提出不同的想法：“我只列舉了3種。如果雞有1只，兔就有7只，總腿數(shù)是30條，不符合條件。于是，我一次調(diào)整到雞有4只、兔有4只，此時(shí)總腿數(shù)是24條，這與26條相差2條。因?yàn)殡u變成兔可增加2條腿，所以我把雞減少1只、兔增加1只，得出3只雞和5只兔共有26條腿?！?/p>

學(xué)生通過交流體會(huì)到列表解決問題的靈活性，發(fā)現(xiàn)只要找到假設(shè)結(jié)果與題目條件之間的關(guān)系，就能根據(jù)規(guī)律快速得出正確答案。

三、適時(shí)導(dǎo)學(xué)，深化思維

數(shù)學(xué)教學(xué)要注重學(xué)思融合，教師要根據(jù)學(xué)情適時(shí)拋出關(guān)鍵任務(wù)或問題，給予學(xué)生盡可能多的表達(dá)想法、展示思路的機(jī)會(huì)，從而深化他們的思維。

為幫助學(xué)生實(shí)現(xiàn)從畫圖、列表解決問題到用假設(shè)法解決問題的過渡，筆者展示了用假設(shè)法解決問題的學(xué)生的預(yù)學(xué)單，并讓學(xué)生分享解題思路。學(xué)生匯報(bào)：“假設(shè)籠子里全部是雞，我用8個(gè)圓代表8只動(dòng)物的頭。1只雞有2條腿，我在每個(gè)頭下面畫2條腿，一共畫了16條腿，這與題目條件相比少了10條腿。于是我在雞的頭下面繼續(xù)畫腿，每只雞下面要添2條腿，因?yàn)?0÷2=5（只），所以要在5只雞下面添腿，這樣把5只雞變成兔，兔就有5只，雞就有3只?！痹谒膯l(fā)下，一名學(xué)生提出疑問：“繼續(xù)在雞的頭下面畫腿時(shí)，為什么每次畫2條？”另一名學(xué)生解釋：“因?yàn)榧僭O(shè)全部是雞，1只雞有2條腿，而1只兔有4條腿，把1只雞變成1只兔就要增加2條腿。”一名學(xué)生追問：“缺少的10條腿是怎么加的？可以講得清楚一點(diǎn)嗎？”筆者提醒學(xué)生利用學(xué)具在黑板上邊演示邊講解。學(xué)生這樣講解：“先畫雞，即在每個(gè)頭下面畫2條腿，這時(shí)缺少10條腿。把1只雞變成1只兔，就能增加2條腿。我們先加2條腿，把1只雞變成1只兔。繼續(xù)增加腿，我們可以發(fā)現(xiàn)，要加10條腿，就要把5只雞變成5只兔?！弊詈螅P者小結(jié)：“先假設(shè)8只都是雞，算出總腿數(shù)，然后找到假設(shè)總腿數(shù)與題目中總腿數(shù)的差，最后通過1只雞與1只兔的腿數(shù)差為2，即4-2=2（條），發(fā)現(xiàn)缺少的10條腿正好可以使假設(shè)的5只雞變成5只兔，即10÷2=5（只），從而解決這個(gè)問題。我們把這種方法叫作‘假設(shè)法’。”

以上教學(xué)體現(xiàn)了以學(xué)生為主體，筆者適時(shí)引導(dǎo)學(xué)生以畫圖法為基礎(chǔ)，用數(shù)學(xué)語言表達(dá)與交流，抽象出假設(shè)法解題的關(guān)鍵點(diǎn)，從而使假設(shè)法的理解和掌握水到渠成。

四、反饋展學(xué)，延伸思維

課堂尾聲是學(xué)生思維提升的關(guān)鍵階段，筆者在這一教學(xué)階段著重引導(dǎo)學(xué)生建立知識(shí)點(diǎn)之間、學(xué)習(xí)方法之間的內(nèi)在聯(lián)系，促進(jìn)學(xué)生思維延伸。

學(xué)生建立假設(shè)法的模型后，筆者引導(dǎo)：“回顧一下，畫圖法和假設(shè)法有沒有相互聯(lián)系的地方？”學(xué)生通過觀察，發(fā)現(xiàn)假設(shè)法是在畫圖的基礎(chǔ)上形成的。筆者指著板書拋出問題：“你能看出假設(shè)法和列表法之間有什么聯(lián)系嗎？”學(xué)生思考后提出：“當(dāng)雞是0只、兔是8只時(shí)，就是假設(shè)法的一種情況。”一名學(xué)生補(bǔ)充：“我發(fā)現(xiàn)表中兔最開始是0只，它由0只到5只的增加過程反映的就是假設(shè)法中的一個(gè)算式“10÷2=5（只）”，假設(shè)法中的算式“4-2=2（條）”反映的就是表中腿數(shù)的變化規(guī)律——每次減少2條腿?！?/p>

通過三種方法的勾連，學(xué)生不僅直觀地找到了假設(shè)法與畫圖法、列表法的內(nèi)在聯(lián)系，還感悟到從特殊到一般的推理方式。

文字編輯"劉佳