基于運算一致性的多位數(shù)乘法教學探析

2022年版數(shù)學課程標準提出“感悟運算一致性”的要求，并且在第二學段“數(shù)與運算”的內(nèi)容要求中強調(diào)“探索并掌握多位數(shù)的乘除法，感悟從未知到已知的轉(zhuǎn)化”。《三位數(shù)乘兩位數(shù)》是整數(shù)乘法的最后一個學習內(nèi)容，與之前學習的整數(shù)乘法相比，三位數(shù)乘兩位數(shù)的因數(shù)位數(shù)增加了，計算過程更加復雜。教師如何基于運算一致性展開教學，落實相關(guān)目標要求呢？

一、明確方向，遷移一致的算理與算法

筆者認為，運算一致性體現(xiàn)在運算意義的一致性和算理算法的一致性兩個方面。從算理算法來說，探究三位數(shù)乘兩位數(shù)運算的重要思路是“將未知轉(zhuǎn)化為已知”，即遷移運用之前學習整數(shù)乘法的經(jīng)驗自主探究新知。

教學時，筆者先在學習任務(wù)單上呈現(xiàn)“143×6”“74×36”兩道筆算題，引導學生思考先算哪一步、積是多少、積表示什么意思，再算哪一步、積是多少、積表示什么意思，嘗試有條理地說出計算過程和道理。學生筆算后匯報：計算143×6，第一步算3×6，積是18，表示18個一；第二步算4×6，積是24，表示24個十；第三步算1×6，積是6，表示6個百。筆者用課件同步出示豎式計算過程，以及“18個一+24個十+6個百=18+240+600=858”。對74×36的計算，師生也做了類似的交流。學生在筆者引導下發(fā)現(xiàn)：無論是三位數(shù)乘一位數(shù)，還是兩位數(shù)乘兩位數(shù)，都是將數(shù)拆分后用表內(nèi)乘法分別計算各個計數(shù)單位上數(shù)字相乘的結(jié)果，然后合起來得到最終結(jié)果，豎式記錄了“拆、算、合”的過程。學生還通過進一步觀察，發(fā)現(xiàn)三位數(shù)乘一位數(shù)與兩位數(shù)乘兩位數(shù)的豎式記錄形式相似、運算本質(zhì)相通，都是通過“拆、算、合”的過程把相同計數(shù)單位的個數(shù)合并。

這樣設(shè)計教學有兩個意圖：一是喚醒學生已有的三位數(shù)乘一位數(shù)、兩位數(shù)乘兩位數(shù)的計算經(jīng)驗，讓他們有條理地說出每步計算的意義，鍛煉數(shù)學語言表達能力；二是通過豎式與橫式的比較讓算理可視化，使學生感知整數(shù)乘法算理算法的一致性，為學習三位數(shù)乘兩位數(shù)提供經(jīng)驗支撐和方法鋪墊。

二、構(gòu)建模型，理解多位數(shù)乘法的一致性

通過前一個學習環(huán)節(jié)，學生自然產(chǎn)生了探究三位數(shù)乘兩位數(shù)的學習需求，筆者出示如下學習任務(wù)單，讓學生嘗試自主解決問題。

學習任務(wù)單

例1"李叔叔從某市乘火車去北京用了12小時，火車每小時行145千米。該市到北京有多少千米？

①我會計算：145×12=

②在長方形里（圖略）分一分、畫一畫，解釋這樣計算的道理。

學生獨立完成學習任務(wù)單后，筆者拋出三個問題：①說一說你是怎樣計算的；②結(jié)合長方形面積圖，說一說你這樣計算的道理；③說一說你是怎么想到這樣計算的。學生先小組討論，然后全班交流。匯報時，一名學生說：“我們小組認為145×12就是求12個145是多少。我們把12分成10和2，先算出2個145是290，再算出10個145是1450，最后把1450和290合起來得出1740，即12個145是1740”。另一名學生回答：“我們組用豎式計算，具體過程如圖1?！?/p>

筆者追問：“你能說說每一步計算表示什么意思嗎？這里的5為什么要寫在9的下面？”學生借助長方形面積圖（如圖2所示）說明：“145由1個百、4個十和5個一組成，12就是1個十和2個一，第一步先算出‘2×5’個一是10個一，就是10，再算出‘2×4’個十是8個十，就是80，然后算出‘2×1’個百是200；第二步算十位，先算出1個十乘5個一得50，因此5要寫在十位上，接著算出10個40是400，因此4要寫在百位上，然后算出10個100是1000，因此1要寫在千位上；第三步把前面的積合起來，也就是把每個小長方形的面積合起來，結(jié)果是1740?！?/p>

筆者根據(jù)學生的回答用課件同步演示豎式計算過程，并呈現(xiàn)相同計數(shù)單位的個數(shù)合起來的過程，也就是“10個一+8個十+2個百+5個十+40個十+10個百=10+80+200+50+400+1000=1740”。

然后，筆者讓學生對照前面三位數(shù)乘一位數(shù)、兩位數(shù)乘兩位數(shù)的計算方法，交流、總結(jié)三位數(shù)乘兩位數(shù)的計算方法。學生這樣梳理：三位數(shù)乘一位數(shù)、兩位數(shù)乘兩位數(shù)與三位數(shù)乘兩位數(shù)的豎式形式相似，每一步計算的本質(zhì)相通，都是先拆分、再計算，最后將相同計數(shù)單位的個數(shù)累加得出結(jié)果。由此，學生感悟到三位數(shù)乘兩位數(shù)的算理算法與前面所學的整數(shù)乘法的算理算法具有一致性。

最后，筆者拋出挑戰(zhàn)性問題：你能用豎式模型表示多位數(shù)乘多位數(shù)的計算方法嗎？學生通過小組交流達成共識，得出多位數(shù)乘多位數(shù)的筆算模型（如圖3）。

以上教學引導學生通過轉(zhuǎn)化的方法解決新問題，用數(shù)形結(jié)合的方法建立豎式計算與橫式計算之間的聯(lián)系，發(fā)現(xiàn)新舊知識的相似與相通之處，最終提煉出“拆、算、合”的多位數(shù)乘多位數(shù)筆算模型。

三、多元練習，深化對運算一致性的感悟

為深化學生對乘法運算一致性的感悟，發(fā)展學生的運算能力，增強學生的推理意識，筆者設(shè)計了如下3道練習題，引導學生思考如何運用運算一致性原理解釋計算過程，并組織學生反饋和交流，分享解題思路，討論解題中遇到的問題。

①說一說

在用豎式計算134×12時，先用（"""）乘（"""），得數(shù)的末位和第二個因數(shù)的（"""）位對齊；再用（"""）乘（"""），得數(shù)的末位和第二個因數(shù)的（"""）位對齊；最后把兩個得數(shù)（"""）。

②填一填

③算一算

自學教材第48頁“你知道嗎？”，在圖4中用“格子乘法”計算356×43。

前兩道題側(cè)重算理算法的理解，主要是讓學生理清三位數(shù)乘兩位數(shù)筆算各部分乘積的含義、末位對齊規(guī)則，發(fā)展運算能力。第3題引導學生學習教材中的兩位數(shù)乘兩位數(shù)的“格子乘法”算法，并將其遷移運用到三位數(shù)乘兩位數(shù)的計算中。

多元化的練習題有助于學生感悟筆算乘法與“格子乘法”的關(guān)聯(lián)，深化對運算一致性的理解，提高學習興趣。

文字編輯"劉佳