數(shù)學教材結構化設計的理論基礎、基本原則與優(yōu)化路徑

【摘"要】結構化設計是教材編寫的主要策略。這種策略以建構主義學習理論、皮亞杰的認知發(fā)展理論、布魯納的學習理論、結構主義理論為基礎，以學生中心、邏輯性、系統(tǒng)性、領域內容結構化為基本原則。這些理論和原則在國內外數(shù)學教材設計中得到了不同程度的體現(xiàn)。結合教材設計實例可以得出優(yōu)化教材結構化設計的路徑：搭建知識框架，注重層次化與遞進性；凸顯跨領域整合，強化應用性與情境化；推動跨學科整合，拓展數(shù)學應用場景。

【關鍵詞】數(shù)學教材；結構化設計；理論基礎；基本原則；優(yōu)化路徑

教材連接教學目標與教學實踐，既是教師規(guī)劃教學活動的重要依據(jù)，又是學生獲取知識、提升能力的主要載體，其設計質量直接影響教學質量?！读x務教育數(shù)學課程標準（2022年版）》在課程理念部分提出“設計體現(xiàn)結構化特征的課程內容”的要求，強調課程內容組織的重點在于“對內容進行結構化整合，并探索發(fā)展學生核心素養(yǎng)的有效路徑”?；诖?，本文探討數(shù)學教材結構化設計的理論基礎與基本原則，并結合實例探析優(yōu)化數(shù)學教材結構化設計的路徑，從而明確數(shù)學教材設計的正確導向與科學方法，提升數(shù)學教材結構化設計的科學性與實效性，使之更好地服務于教學實踐。

一、數(shù)學教材結構化設計的理論基礎

（一）結構化設計的內涵

有研究提出，結構化設計是一種以知識的邏輯體系為核心，通過科學方法分層次、分模塊組織教材內容的設計理念。這種設計理念旨在通過清晰的內容結構提升教材的教學效能和學生的學習適應性，幫助學生構建完整的認知框架。數(shù)學學科具有高度的抽象性與邏輯性，這種特性要求教材內容的組織不僅要遵循數(shù)學知識發(fā)展的內在脈絡，以體現(xiàn)數(shù)學學科的邏輯體系，還要充分考慮學生認知發(fā)展的階段性特征，以有效達成教學目標。

（二）相關的理論支撐

基于結構化設計的內涵，從學生學習的角度思考數(shù)學教材的結構化設計，我們可以總結出以下四點認識。第一，學生是知識的建構者，數(shù)學教材結構化設計應通過具有邏輯性和系統(tǒng)性的內容組織，促進學生主動整合新舊知識，建構個性化的內在知識體系。第二，學生的認知發(fā)展具有階段性，數(shù)學教材結構化設計需結合學生不同的發(fā)展階段，合理安排與其認知水平相適應的教學內容。第三，數(shù)學知識的呈現(xiàn)需體現(xiàn)層次性，數(shù)學教材結構化設計應通過從具體到抽象的多層次表征過程，逐步引導學生深化數(shù)學理解。第四，數(shù)學知識之間具有內在的邏輯關系，數(shù)學教材結構化設計要通過搭建清晰的知識框架幫助學生提煉規(guī)律并遷移運用。

以上四點認識與建構主義學習理論、皮亞杰的認知發(fā)展理論、布魯納的學習理論、結構主義理論的核心思想相契合。以這些理論為指導，深入探討數(shù)學教材的結構化設計，有助于提升數(shù)學教材設計的科學性與結構化水平。

1.建構主義學習理論

建構主義學習理論認為，學習是主動建構的過程，學習者需要將新知識融入已有的知識框架中，從而形成更加完整和深刻的認知體系。該理論的核心觀點在于，學習者是知識的主動建構者，知識學習本質上是一種個體化的意義建構過程。維果茨基的最近發(fā)展區(qū)理論拓展了建構主義學習理論的內涵，強調學習并非完全孤立的個人活動，而是通過社會互動實現(xiàn)的。他強調利用有效的外部支持，促使學生在現(xiàn)有認知水平的基礎上主動構建，從而實現(xiàn)更高層次的理解。對數(shù)學教材的結構化設計而言，這種外部支持不僅體現(xiàn)于通過邏輯性、系統(tǒng)性的內容組織提供的知識框架，還體現(xiàn)于通過層次分明的內容呈現(xiàn)提供的認知路徑。

總體而言，學生通過與教材、教師和同伴的互動，主動吸收新知識并將其與已有知識結合，形成不斷發(fā)展的認知體系的過程，充分體現(xiàn)了建構主義學習理論所強調的“主動建構”思想。

2.皮亞杰的認知發(fā)展理論

皮亞杰的認知發(fā)展理論提出，兒童的認知能力隨著年齡增長逐步發(fā)展，依次經(jīng)歷感知運動階段（0～2歲）、前運算階段（2～7歲）、具體運算階段（7～11歲）和形式運算階段（11歲及以上）。各階段的學生在認知方式、邏輯思維能力以及抽象概念的處理上表現(xiàn)出顯著差異。根據(jù)這一理論，數(shù)學教材的結構化設計應充分考慮學生不同認知發(fā)展階段的特點，使其教學效能最大化。

以形式運算階段為例。該階段的學生已經(jīng)具備一定的邏輯推理能力和假設性思維能力，他們不僅能處理具體的數(shù)學材料，還能理解和操作抽象的數(shù)學概念和符號。因此，這一階段的數(shù)學教材結構化設計，一方面要加強符號化和抽象化內容的表達，幫助學生通過抽象表征深化已有認知；另一方面要提供更多的探索性學習機會，引導學生在自主思考和推理的過程中發(fā)現(xiàn)數(shù)學規(guī)律，通過問題解決提升抽象思維能力。這樣設計有助于學生從以具體事物為依托的具象學習逐步過渡到以邏輯推理和符號操作為核心的抽象概念學習。

3.布魯納的學習理論

布魯納的學習理論不僅強調知識是個體主動建構獲得的，還強調學習是一個遞進的過程，伴隨著認知結構的不斷發(fā)展。他提出動作性表征、圖像性表征和符號性表征三種知識表征方式，并說明這三種表征方式相互聯(lián)系、逐步遞進。這與學生從具象思維向抽象思維發(fā)展的認知過程相適應。這一理論為數(shù)學教材的結構化設計提供了重要的理論依據(jù)，有助于我們從學生的認知發(fā)展規(guī)律出發(fā)，科學組織課程內容。

從學生認知發(fā)展階段來說，在具體運算階段，教材內容設計應注重動作性表征，利用實物操作、實驗演示等手段幫助學生建立直觀認知；在具體運算向形式運算階段過渡時期，教材可逐步引入圖像性表征和符號性表征，設計更加抽象、更加具有探究性的內容，如符號運算和公式推理，幫助學生在不同認知層次上逐步深入地理解數(shù)學知識。從學生認知過程來說，結構化的數(shù)學教材內容應按照從感知操作到圖像表征再到符號化表達的順序組織。例如，初中數(shù)學函數(shù)單元內容可以先通過列表、畫圖等具體操作和形象化圖示幫助學生理解基本概念，再引導其使用解析式等符號和關系進行推理與應用，逐步實現(xiàn)抽象概念學習。

4.結構主義理論

結構主義理論由列維·斯特勞斯提出。他在《結構人類學習》一書中提出其核心觀點：知識和思維具有深層的邏輯結構，這種結構決定了個體對世界的認知方式。結構主義認為，復雜的知識體系由若干基本單元構成，這些單元通過特定的邏輯關系相互聯(lián)系，從而構建整體的知識框架。通過分析單元之間的內在聯(lián)系，學習者能夠對知識全貌形成清晰的認知，并有效吸收新知識。

在指導數(shù)學教材結構化設計方面，結構主義理論給我們帶來重要啟示。一是教材要體現(xiàn)知識的系統(tǒng)性和層次性，注重知識之間的內在邏輯關系，幫助學生通過深入理解這些關系形成完整且深刻的認知結構。二是教材應構建知識的整體框架，因為結構主義強調知識理解要基于整體視角，學習者可通過分析各知識單元之間的聯(lián)系把握知識的整體性，并從中提煉出規(guī)律性的認知?；诖?，數(shù)學教材的結構化設計應確保知識內容之間形成清晰的邏輯關系。例如，通過領域化的內容設計，將相關知識點組織在同一主題或概念體系下，幫助學生在學習過程中發(fā)現(xiàn)各知識點之間的內在邏輯關系，并逐步理解它們所體現(xiàn)的數(shù)學規(guī)律；通過綜合實踐活動或項目式學習，構建不同主題或章節(jié)內容之間的聯(lián)結，引導學生識別數(shù)學概念、定理及方法的共性，從不同問題情境和題型中提煉出具有普適性的數(shù)學思想方法，提高遷移與運用知識的能力，獲取解決新問題的認知工具，從而提高學習效能。

二、數(shù)學教材結構化設計的基本原則

通過對建構主義學習理論、皮亞杰的認知發(fā)展理論、布魯納的學習理論、結構主義理論的探討，我們可以明確數(shù)學教材內容的組織應體現(xiàn)邏輯性、系統(tǒng)性和層次性，契合學生的認知發(fā)展規(guī)律，注重學生學習主動性的激發(fā)，并反映知識的深層結構?；谶@些理論，我們提出以下數(shù)學教材結構化設計的基本原則。

1.學生中心設計原則

基于建構主義學習理論，教材結構化設計應始終以學生為中心，充分考慮其認知水平與學習需求，設計符合其學習特點的內容。教材內容的編排需基于不同年齡階段學生的認知能力，提供多樣化的學習活動和問題情境，以激發(fā)學生的學習興趣，促進學生主動學習。

2.邏輯性設計原則

依據(jù)皮亞杰的認知發(fā)展理論，教材結構化設計應注重知識點排列的內在邏輯關系，通過合理的知識推導過程和遞進的概念認知過程，使學生理解數(shù)學知識的內在聯(lián)系，掌握抽象的數(shù)學思想方法，為他們學習更加復雜的內容奠定基礎。同時，教材內容的呈現(xiàn)需確保知識點之間邏輯關系清晰、銜接嚴密，避免混亂或斷層。

3.層次化設計原則

基于布魯納的學習理論，教材結構化設計要遵循從具體表征到抽象表征的認知程序，保證相關內容在多個層次上得到呈現(xiàn)。例如，從動作性表征到圖像性表征再到符號性表征，結構化的教材要確保在不同認知階段分層次為學生提供適當?shù)谋碚鞣绞剑箤W生通過多樣化的方式理解數(shù)學概念，逐步實現(xiàn)從感性認識到抽象理解的轉變。

4.領域內容結構化設計原則

根據(jù)結構主義理論，教材結構化設計應將課程各領域內容結構化地呈現(xiàn)，以體現(xiàn)其系統(tǒng)性和關聯(lián)性。具體來說，在初中數(shù)學教材中，數(shù)與代數(shù)領域內容的架構以函數(shù)為主體，突出函數(shù)與方程（組）、函數(shù)與不等式（組）之間的緊密聯(lián)系；圖形與幾何領域內容的架構以“實驗幾何—論證幾何”為主體結構，突出探究圖形性質的認知活動；統(tǒng)計與概率領域內容的架構以“數(shù)據(jù)分析—可能性—統(tǒng)計推斷”為結構，圍繞數(shù)據(jù)相關活動進行。教材結構化設計應反映各領域內知識單元之間的邏輯關系，幫助學生全面理解與掌握數(shù)學知識結構。

上述原則的有機融合能優(yōu)化數(shù)學教材內容的組織與呈現(xiàn)，為學生的數(shù)學學習提供系統(tǒng)的支持與指導。

三、數(shù)學教材結構化設計的優(yōu)化路徑

在明確數(shù)學教材結構化設計原則的基礎上，我們可結合國內外數(shù)學教材的結構化設計實踐，通過以下路徑優(yōu)化數(shù)學教材的結構化設計。

1.搭建知識框架，注重層次化與遞進性

層次化的內容組織與遞進性的知識安排是優(yōu)化教材結構化設計的重要手段，有助于學生逐步構建系統(tǒng)的數(shù)學知識框架。教材設計應從學生的認知發(fā)展特點出發(fā)，根據(jù)其理解水平和學習能力，從基礎概念到復雜應用逐步推進。以北師大版初中數(shù)學教材為例，其中“函數(shù)”內容分經(jīng)驗性理解、形式化理解、結構化理解三個學習階段，貫穿七、八、九三個年級，被設計在不同冊次教材中，力圖幫助學生結構化地理解所學內容。同樣，“方程”內容按照由淺入深的邏輯呈現(xiàn)，從一元一次方程入手，逐步擴展到二次方程及其復雜應用。通過這種遞進式編排，知識內容之間形成清晰的邏輯層次，有助于學生在學習過程中逐步提升認知水平，構建完整的數(shù)學知識體系。

2.凸顯跨領域整合，強化應用性與情境化

在構建知識框架的同時，教材結構化設計需要注重跨領域整合，以凸顯數(shù)學知識的實際應用價值和情境化表現(xiàn)?？珙I域整合不僅能將不同領域數(shù)學內容聯(lián)系起來，還能結合其他學科知識與現(xiàn)實問題幫助學生體會數(shù)學的廣泛應用價值。北師大版初中數(shù)學教材通過結構化編排實現(xiàn)課程內容的跨領域整合。例如，八年級上冊前五章按“勾股定理—實數(shù)—位置與坐標—一次函數(shù)—二元一次方程組”的順序編排，通過邏輯清晰的內容遞進和領域整合，幫助學生在幾何與代數(shù)、數(shù)與函數(shù)等領域之間建立聯(lián)系。在情境化設計方面，教材通過實際問題將不同領域的數(shù)學知識串聯(lián)起來，凸顯數(shù)學知識的應用性，增強學習的趣味性。例如，“二元一次方程組”教材內容通過引入增收節(jié)支、汽車相遇等問題，讓學生通過觀察函數(shù)圖象感受收入與支出、速度與時間等變量之間的關系，理解圖象交點的含義與二元一次方程組的解之間的關系，將幾何的直觀化與代數(shù)的邏輯性，以及數(shù)與函數(shù)的動態(tài)性和抽象性有機結合，引導學生在分析具體數(shù)據(jù)的過程中構建抽象的函數(shù)模型，解決實際問題。

3.推動跨學科整合，拓展數(shù)學應用場景

在跨領域內容整合前提下，優(yōu)化教材結構化設計的下一步是推動跨學科整合，拓展數(shù)學應用場景。國外數(shù)學教材的結構化設計普遍強調跨學科整合。例如，MathinFocus是一套以“主題整合”為核心設計理念的美國數(shù)學教材，它通過設計跨學科的問題情境將數(shù)學知識融入真實生活場景，引導學生在解決綜合性問題的過程中深刻理解數(shù)學的實際意義，提升跨學科思維能力。教材中每個主題內容都從現(xiàn)實問題出發(fā)，逐步引導學生分析問題、提出假設，應用數(shù)學思想方法解決問題，最后反思和總結。例如，該教材“建筑設計”主題內容引導學生從特征出發(fā)對圖形分類，然后明確不同圖形的具體特征，最后根據(jù)建筑物特點逐步探索優(yōu)化建筑設計的方案。在這一過程中，學生不僅要學習平面幾何和立體幾何中的一些基礎知識，還要運用代數(shù)知識進行計算，結合函數(shù)關系分析建筑物各部分的比例等。受此啟發(fā)，我們在設計數(shù)學教材時應更加注重數(shù)學與其他學科內容的有機結合，設計更加綜合、復雜的數(shù)學應用場景，強化對學生跨學科思維能力和創(chuàng)新思維能力的培養(yǎng)，激發(fā)其跨學科探究的興趣和潛力。例如，數(shù)學與物理結合可以幫助學生理解力學中的數(shù)學模型，如速度、加速度和力的計算；數(shù)學與藝術結合可以引導學生探索幾何圖形在藝術創(chuàng)作中的應用，如比例與對稱的美學表達等。

未來，數(shù)學教材結構化設計還可以在融合信息技術方面進行優(yōu)化，助推教材文本的數(shù)字化轉型，提高教材使用的交互性，以促進學生全面發(fā)展，滿足學生個性化的學習需求，培養(yǎng)學生的創(chuàng)新思維能力。

綦春霞

北京師范大學課程與教學研究院教授、博士生導師，中國教育學會課程專業(yè)委員會常務理事，中國教育學會基礎教育評價學會常務理事；義務教育數(shù)學課程標準研制組核心成員，全國中考數(shù)學評估組專家，全國高中數(shù)學學業(yè)質量監(jiān)測評估組專家，北京師范大學教育質量協(xié)同創(chuàng)新中心數(shù)學首席專家；在EducationandInformationTechnologies，ComputersandEducation，EducationalStudiesinMathematics以及《教育學報》《教師教育研究》《教育科學研究》《數(shù)學教育學報》等國內外期刊發(fā)表論文100余篇，完成和在研項目20余項。

文字編輯"劉佳