類比探究 整體感知

第6章 一次函數(shù)

領(lǐng)" 銜" 人：王競進(jìn)（正高級教師）

組稿團隊：江蘇省鹽城市王競進(jìn)初中數(shù)學(xué)名師工作室

一次函數(shù)是在我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了代數(shù)式與代數(shù)式的值、方程（組）、數(shù)軸與平面直角坐標(biāo)系等有關(guān)知識，并積累了一系列研究數(shù)學(xué)問題的思想、方法與策略的基礎(chǔ)上展開探索的內(nèi)容?！昂瘮?shù)”主要研究變量之間的關(guān)系，一次函數(shù)圖象與性質(zhì)的研究方法是今后進(jìn)一步研究反比例函數(shù)、二次函數(shù)乃至高中的指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)等函數(shù)圖象與性質(zhì)的基礎(chǔ)，是數(shù)學(xué)思維的一次飛躍。

從實際問題出發(fā)，感悟抽象過程

與方程、不等式的研究方式類似，函數(shù)也是從同學(xué)們熟悉的實際問題出發(fā)，逐步抽象、概括形成的概念。

例如，本章起始安排的是我們七年級就非常熟悉的用火柴棒搭小魚的數(shù)學(xué)活動。隨著所搭小魚條數(shù)的變化，所需火柴棒的根數(shù)也在變化；當(dāng)所搭小魚條數(shù)確定時，所需火柴棒的根數(shù)也確定。由此引出兩個變量的關(guān)系：一個變量變化時，另一個變量也隨之變化；一個變量確定時，另一個變量也隨之確定。再抽象到兩個變量x和y的關(guān)系：如果對于x的每一個值，y都有唯一的值與它對應(yīng)，那么我們稱y是x的函數(shù)。

從特殊圖象入手，凸顯數(shù)形結(jié)合思想

函數(shù)的研究離不開圖象和性質(zhì)，其中的討論運用了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想。探究一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)時，我們可以從特殊的、簡單的表達(dá)式入手，先畫出它的圖象，再討論其特征和性質(zhì)。

在一次函數(shù)y=kx+b中，我們可以為k、b賦予一些特殊的、簡單的值，然后通過列表、描點、連線，畫出它的圖象。例如，我們可以畫出函數(shù)y=x-1的圖象，如圖1。

再通過觀察、比較、分析、類比，得到一次函數(shù)的性質(zhì)。

在一次函數(shù)y=kx+b中：

如果k＞0，函數(shù)值y隨自變量x的增大而增大；

如果k＜0，函數(shù)值y隨自變量x的增大而減??；

如果b＞0，圖象與y軸交于原點上方；

如果b=0，圖象與y軸交于原點；

如果b＜0，圖象與y軸交于原點下方。

加強知識之間的內(nèi)在聯(lián)系，

完善知識體系

一次函數(shù)與方程、方程組有著密切的聯(lián)系，它們可以共同應(yīng)用于解決日常生活中的問題。

例如，一根彈簧的長度為10厘米，當(dāng)彈簧受到x牛的拉力時（x不超過100），彈簧的長度是y（厘米），求拉力為70牛時，彈簧的長度。有關(guān)數(shù)據(jù)如表1所示：

從表中我們可以看出，拉力和彈簧長度增加量呈線性增長。因此，我們可以設(shè)函數(shù)表達(dá)式為y=kx+b。

根據(jù)題意，可列出方程組

解得k=0.05，b=10。所以一次函數(shù)表達(dá)式為y=0.05x+10。

當(dāng)x=70時，y=10+0.05×70=13.5。所以當(dāng)拉力為70牛時，彈簧長度是13.5厘米。

無論是在本章學(xué)習(xí)一次函數(shù)的概念、性質(zhì)與應(yīng)用，還是后續(xù)研究反比例函數(shù)、二次函數(shù)的概念、性質(zhì)與應(yīng)用時，我們都要能夠在“類比探究，整體感知”的過程中，形成研究函數(shù)的一般路徑、方法、策略，不斷發(fā)展自己的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

（作者單位：江蘇省建湖縣教育局教研室）