探索神奇的圓柱容球

阿基米德是一位“全能型天才”，他一生成就無數(shù)，其中“圓柱容球”定理是他在數(shù)學(xué)領(lǐng)域最滿意的發(fā)現(xiàn)。按照他生前的遺愿，人們在他的墓碑上刻了一個圓柱容球的幾何圖形。

圓柱容球就是把一個球放在一個圓柱形容器中，蓋上蓋子后，球恰好與圓柱的上、下底面及側(cè)面緊密接觸（球的直徑與圓柱的高和底面直徑相等）。當(dāng)圓柱容球時，球的體積正好是圓柱體積的 ，球的表面積也是圓柱表面積的 。

世上真有如此巧合的事？我決定自己動手驗(yàn)證圓柱容球定理的真實(shí)性。

動手探索樂趣多

如何計(jì)算球的體積呢？課堂上，老師曾用排水法測量不規(guī)則物體的體積。受此啟發(fā)，我找到一個空心球、一個與它緊密接觸的空心圓柱，開始動手實(shí)驗(yàn)。首先，將圓柱注滿水，并滴入幾滴色素方便觀察；然后，將空心球緩緩?fù)迫胨?，直到它完全被水淹沒，此時水從圓柱邊緣溢出 ；最后，測量圓柱中剩余水的體積。我發(fā)現(xiàn)剩余水的體積大約占據(jù)了圓柱的 ！由此可以推出：當(dāng)圓柱容球時，溢出水的體積（即空心球的體積）為圓柱的 。

我迫不及待地想要探索球的表面積，可是如何計(jì)算球的表面積呢？看著桌上的黏土，我想到了一個好辦法。首先，將黏土搟成均勻的薄片，將其輕柔地覆蓋在球的表面，確保無縫隙貼合。待黏土完全干燥后，小心地將其從球面剝離。最后，將黏土切割成小塊，并將這些小塊黏土重新拼接成圓形。令人興奮的是，這些黏土完美地拼成了4個直徑與球相等的近似圓形！基于這一發(fā)現(xiàn)，我推出：球的表面積S球=4πr2。

根據(jù)教材上的公式，圓柱的表面積S圓柱=2πr2+2πrh=2πr2+2πr×2r=6πr2。由此可以推出S球∶S圓柱=4πr2∶6πr2= 。

通過以上探究可以證明，當(dāng)圓柱容球時，不管是球的表面積還是體積，都等于圓柱的 ！我不禁感嘆：數(shù)學(xué)真是奇妙！

幾何奧秘我揭曉

親眼見證了圓柱容球定理的神奇后，我的好奇心被進(jìn)一步激發(fā)：其他的幾何體之間也存在這么巧合的關(guān)系嗎？這時，老師給我出了一道題：有一塊正方體的木料，棱長a=4 cm，用這塊木料加工成體積最大的圓柱，那么圓柱的體積、表面積分別是多少？與正方體的體積、表面積有什么關(guān)系？

這可難不倒我！我信心滿滿地投入計(jì)算。根據(jù)題意，要使圓柱的體積最大，圓柱的高、底面的直徑都應(yīng)等于棱長，即h=4 cm、d=4 cm，故圓柱底面半徑r=2 cm。根據(jù)教材上的公式，圓柱的體積V圓柱=πr2h=π×22×4=16πcm3，正方體的體積V正方體=a3=43=64 cm3，所以V圓柱∶V正方體=16π∶64= 。圓柱的表面積S圓柱=2πr2+2πrh=2π×22+2π×2×4=24πcm2，正方體的表面積

S正方體=6a2=6×42=96 cm2，所以S圓柱∶S正方體=24π∶96= 。

這么看來，當(dāng)正方體容圓柱時，圓柱的體積和表面積都是正方體的 ！

對于這一連串的發(fā)現(xiàn)，我內(nèi)心十分激動！數(shù)學(xué)是一門發(fā)現(xiàn)的學(xué)科，想要更好地理解它，就要細(xì)心觀察，勇于探索！希望大家也能在思考與探索的過程中找到答案，感受數(shù)學(xué)的魅力。