例析基本不等式解題教學(xué)的優(yōu)化

新課標(biāo)背景下的數(shù)學(xué)教學(xué)理念是以學(xué)生為中心，注重學(xué)生的主動(dòng)性和探究性，強(qiáng)調(diào)對(duì)學(xué)生的創(chuàng)新思維和實(shí)踐能力的培養(yǎng).在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，教師需要關(guān)注學(xué)生的情感體驗(yàn)和認(rèn)知理解，尊重學(xué)生的個(gè)性差異和發(fā)展需求，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行自主、合作、探究式的學(xué)習(xí).基本不等式是不等式中重要部分.從近年高考試題分析中，發(fā)現(xiàn)基本不等式的考題不是單純考察不等式知識(shí)點(diǎn)，而是往往與向量、三角、解析幾何、函數(shù)等多角度組合并延伸.在解題教學(xué)中發(fā)現(xiàn)，雖然基本不等式涉及到的考察范圍廣，但只要能理順?biāo)悸罚业絾栴}的關(guān)鍵，那么問題就會(huì)迎刃而解.本文通過實(shí)例就其解題教學(xué)優(yōu)化予以研究.

1.將生活經(jīng)驗(yàn)和數(shù)學(xué)文化融入基本不等式概念的教學(xué)

“基本不等式”是人教A版高中數(shù)學(xué)必修第一冊(cè)第二章的內(nèi)容，是在新教材中變化較大的內(nèi)容，也是代數(shù)式教學(xué)中的一個(gè)重要概念.初中教材以“畢達(dá)哥拉斯到朋友家作客時(shí)，發(fā)現(xiàn)朋友家用磚鋪成的地面圖案反映了直角三角形三邊的某種數(shù)量關(guān)系，對(duì)于任何直角三角形，其斜邊的平方恰好等于另兩邊平方之和”這個(gè)故事，用“趙爽弦圖”證明了勾股定理.公元3世紀(jì)，亞歷山大時(shí)期的數(shù)學(xué)家帕普斯在其《數(shù)學(xué)匯編》中給出了“半圓模型”.基本不等式的發(fā)現(xiàn)過程，恰好是歷史的再現(xiàn)過程，從阿契塔定義幾何中項(xiàng)，到歐幾里得介紹ab的幾何作法，再到帕普斯發(fā)現(xiàn)“半圓模型”.通過創(chuàng)設(shè)情境發(fā)現(xiàn)、探索“重要不等式”，有利于發(fā)展學(xué)生的直觀想象能力和數(shù)學(xué)抽象思維能力，而其中的證明，有利于發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)和邏輯推理素養(yǎng).此外，在解決基本不等式問題時(shí)，應(yīng)注意把相關(guān)的生活經(jīng)歷、數(shù)學(xué)文化與問題結(jié)合起來.

2.強(qiáng)調(diào)基本不等式概念的生成過程

高中數(shù)學(xué)概念抽象性較強(qiáng)，讓學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念定義、公式定理的理解存在一定障礙.教師在教學(xué)中要注重概念的生成過程，在生成過程中應(yīng)利用問題鏈方式，引導(dǎo)學(xué)生來理解基本不等式的重難點(diǎn)，并引導(dǎo)學(xué)生對(duì)基本不等式的內(nèi)容、條件、應(yīng)用具有深刻的認(rèn)識(shí).教學(xué)中發(fā)現(xiàn)一些學(xué)生只是機(jī)械地記憶了基本不等式的形式和證明過程，并沒有真正理解其含義和應(yīng)用.一部分學(xué)生對(duì)基本不等式的理解比較膚淺，對(duì)知識(shí)的理解不透徹，未能體會(huì)基本不等式蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法、應(yīng)用價(jià)值，不能靈活解決與基本不等式有關(guān)的問題，學(xué)習(xí)效果也不理想.對(duì)基本不等式的使用條件理解不到位，容易在運(yùn)用基本不等式求最值時(shí)出現(xiàn)以下常見的錯(cuò)誤：（1）符號(hào)不是正號(hào)，如x+1x≥2;（2）結(jié)果不是定值，如x+1x－1≥2xx－1;（3）等號(hào)取不到，如x∈（0，π2），sinx+4sinx≥4，等等.由此強(qiáng)調(diào)運(yùn)用基本不等式求最值時(shí)，必須滿足“一正、二定、三相等”必要條件.由此理解基本不等式求最值中“積定和最小”及“和定積最大”的基本原理.而且在基本不等式的教學(xué)中，有必要讓學(xué)生探索基本不等式的發(fā)現(xiàn)過程，并了解基本不等式a+ba≥ab（agt;0，bgt;0）的證明過程，從中體會(huì)證明不等式的基本思路和方法，滲透其中的數(shù)形結(jié)合思想.

評(píng)注：本題求解的難點(diǎn)在于對(duì)已知表達(dá)式的巧妙轉(zhuǎn)化，轉(zhuǎn)化方向是滿足基本不等式的條件，求解時(shí)應(yīng)注意盡管對(duì)稱取等求最值方便、快捷，特別是在解決客觀題時(shí)更簡捷，但所求結(jié)論僅限于只有一種最值的情況，否則，就容易出現(xiàn)錯(cuò)誤.

通過對(duì)基本不等式的解題教學(xué)實(shí)踐，我們認(rèn)為新課標(biāo)背景下對(duì)于基本不等式的深度教學(xué)需要對(duì)概念的理解、性質(zhì)的掌握、技巧的訓(xùn)練以及實(shí)際問題的解決等方面進(jìn)行優(yōu)化.在教學(xué)中教師要恰當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生將基本不等式的知識(shí)和其他所學(xué)知識(shí)結(jié)合起來，從題中得出已知條件，對(duì)題干進(jìn)行深入分析，并通過反復(fù)的訓(xùn)練，總結(jié)出各種問題的解決方法.同時(shí)，對(duì)一些典型的實(shí)例、易錯(cuò)的問題進(jìn)行深入的研究和思考，由此并總結(jié)出解題的規(guī)律，提高和發(fā)展學(xué)生的解題能力和數(shù)學(xué)素養(yǎng).