類(lèi)比推理在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用策略探究

摘 要：文章結(jié)合類(lèi)比推理在高中數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)中的重要地位，著重分析類(lèi)比推理在高中數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)中的具體應(yīng)用策略.教師可以從概念類(lèi)比、方法類(lèi)比、知識(shí)類(lèi)比、問(wèn)題類(lèi)比等角度，豐富高中數(shù)學(xué)課堂上的教學(xué)活動(dòng)和學(xué)習(xí)環(huán)節(jié).

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué)；教學(xué)；類(lèi)比推理

中圖分類(lèi)號(hào)：G632

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

文章編號(hào)：1008-0333（2024）33-0030-03

收稿日期：2024-08-25

作者簡(jiǎn)介：梁麗珠（1974.4—），女，福建省浦城人，本科，中學(xué)高級(jí)教師，從事高中數(shù)學(xué)解題研究.

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》（以下簡(jiǎn)稱(chēng)《課程標(biāo)準(zhǔn)》）指出，數(shù)學(xué)學(xué)科的核心素養(yǎng)包括數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)據(jù)建模等內(nèi)容.其中，邏輯推理包括兩類(lèi)，一類(lèi)是從特殊到一般的推理，推理形式主要有歸納、類(lèi)比；另一類(lèi)是從一般到特殊的推理，推理形式主要有演繹.其中類(lèi)比推理是高中數(shù)學(xué)課程中非常重要的論證方法，是得到數(shù)學(xué)結(jié)論、構(gòu)建數(shù)學(xué)體系的重要方式，同時(shí)也是發(fā)展高中生數(shù)學(xué)思維能力的重要教學(xué)手段.

1 類(lèi)比推理在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用優(yōu)勢(shì)

1.1 知識(shí)點(diǎn)整合優(yōu)勢(shì)

在高中數(shù)學(xué)課堂上，類(lèi)比推理具備知識(shí)點(diǎn)的整合優(yōu)勢(shì).數(shù)學(xué)學(xué)科中的抽象概念、公式定理數(shù)量非常多，因此要求學(xué)生在歸納、分類(lèi)和匯總所學(xué)知識(shí)的基礎(chǔ)上，精準(zhǔn)把握知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系.學(xué)生在整合、建構(gòu)知識(shí)體系的過(guò)程中，可以運(yùn)用類(lèi)比推理和其他思想方法，深入探索數(shù)學(xué)知識(shí)之間的共性.類(lèi)比推理是學(xué)生生成邏輯推理素養(yǎng)的重要工具^[1].在運(yùn)用類(lèi)比推理方法時(shí)，高中生應(yīng)結(jié)合知識(shí)與經(jīng)驗(yàn)，在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)活動(dòng)中發(fā)揮主體優(yōu)勢(shì).教師則關(guān)注學(xué)生對(duì)知識(shí)框架、體系結(jié)構(gòu)的整體認(rèn)知建構(gòu)情況，協(xié)助其發(fā)展邏輯推理素養(yǎng).

1.2 思維訓(xùn)練優(yōu)勢(shì)

在高中數(shù)學(xué)課堂上，類(lèi)比推理可以作為一個(gè)專(zhuān)項(xiàng)模塊，協(xié)助學(xué)生達(dá)成深度學(xué)習(xí)、思維訓(xùn)練、變式訓(xùn)練等任務(wù)目標(biāo)^[2].類(lèi)比推理可以協(xié)助學(xué)生透過(guò)現(xiàn)象看到本質(zhì)，快速構(gòu)建抽象的概念模型.學(xué)生在解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，可以運(yùn)用類(lèi)比推理方法，將數(shù)學(xué)知識(shí)層面上的相似特征，作為遷移運(yùn)用、綜合實(shí)踐的參考依據(jù).類(lèi)比推理還可以鍛煉學(xué)生的多重思維能力，使其快速適應(yīng)數(shù)學(xué)課堂上的多元教學(xué)情境.更可以讓學(xué)生形成辯證、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S能力^[3].

2 類(lèi)比推理在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用策略

2.1 類(lèi)比數(shù)學(xué)概念，找準(zhǔn)教學(xué)切入點(diǎn)

在高中數(shù)學(xué)課堂的教學(xué)活動(dòng)中，數(shù)學(xué)概念是學(xué)生深入理解數(shù)學(xué)世界的鑰匙.類(lèi)比數(shù)學(xué)概念，是教師找準(zhǔn)教學(xué)切入點(diǎn)的重要手段.在單元總結(jié)、專(zhuān)題復(fù)習(xí)等教學(xué)活動(dòng)中，學(xué)生可以結(jié)合具體知識(shí)點(diǎn)，運(yùn)用類(lèi)比推理等數(shù)學(xué)方法，深入探究概念之間的相似點(diǎn)和不同點(diǎn).在類(lèi)比數(shù)學(xué)概念時(shí)，教師應(yīng)以嚴(yán)謹(jǐn)、凝練的數(shù)學(xué)語(yǔ)言為工具，與學(xué)生共同揭示數(shù)學(xué)問(wèn)題的本質(zhì).根據(jù)學(xué)生對(duì)概念的實(shí)際理解情況，教師應(yīng)動(dòng)態(tài)化調(diào)整類(lèi)比推理方法的應(yīng)用方式.

在等差數(shù)列和等比數(shù)列的類(lèi)比概念教學(xué)活動(dòng)中，教師可以從兩種數(shù)列的基本定義、通項(xiàng)公式、中項(xiàng)公式、前n項(xiàng)的和S_n開(kāi)始，引導(dǎo)學(xué)生歸納、類(lèi)比兩者之間的相似特征.在人教版高二選擇性必修第二冊(cè)第四章的概念教學(xué)活動(dòng)中，學(xué)生可以循序漸進(jìn)地理解數(shù)列的基本概念、等差數(shù)列、等比數(shù)列以及數(shù)學(xué)歸納法.

2.2 類(lèi)比數(shù)學(xué)方法，掌握數(shù)學(xué)差異性

在高中數(shù)學(xué)課堂上，類(lèi)比推理方法一般運(yùn)用在知識(shí)整合、思維訓(xùn)練、問(wèn)題探究等學(xué)習(xí)活動(dòng)之中.教師可以根據(jù)實(shí)際學(xué)情，結(jié)合問(wèn)題探究情境類(lèi)比數(shù)學(xué)方法，讓更多學(xué)生掌握“最優(yōu)”的解題方法.數(shù)學(xué)學(xué)科具備工具性、差異性等特征，因此每個(gè)學(xué)生在運(yùn)用類(lèi)比推理方法時(shí)，應(yīng)將數(shù)學(xué)知識(shí)匯總到思維導(dǎo)圖或者微課上.

以人教版高一必修第一冊(cè)的“二次函數(shù)與一元二次方程、不等式”一課為例，教師應(yīng)類(lèi)比函數(shù)方程思想、數(shù)形結(jié)合方法，讓學(xué)生經(jīng)歷真實(shí)的探究學(xué)習(xí)過(guò)程，靈活運(yùn)用類(lèi)比推理方法解決實(shí)際問(wèn)題.學(xué)生在借助二次函數(shù)圖象研究一元二次方程、一元二次不等式的過(guò)程中，可以將函數(shù)方程思想運(yùn)用在數(shù)學(xué)建模與問(wèn)題解析環(huán)節(jié)之中，進(jìn)而掌握三者之間的共性和差異.

從函數(shù)的觀點(diǎn)看一元二次方程，則需要將二次函數(shù)值設(shè)為0，解方程即為“自變量為何值時(shí)，函數(shù)值為0”.如果二次函數(shù)圖象與x軸有交點(diǎn)，則交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為函數(shù)的零點(diǎn).從函數(shù)的觀點(diǎn)看一元二次不等式，當(dāng)二次函數(shù)值大于0或小于0時(shí)，則得到一個(gè)一元二次不等式，不等式的解集則是自變量x的取值范圍.學(xué)生在對(duì)比三者概念和圖象的過(guò)程中，能夠總結(jié)出：我們可以利用二次函數(shù)圖象來(lái)判斷一元二次方程根的存在性以及根的個(gè)數(shù)，并求解一元二次不等式.

學(xué)生在類(lèi)比函數(shù)方程思想、數(shù)形結(jié)合方法時(shí)，可以自主判斷一元二次函數(shù)根的實(shí)際情況，將函數(shù)圖象和交點(diǎn)坐標(biāo)作為求解函數(shù)問(wèn)題的工具.運(yùn)用類(lèi)比推理方法，二次函數(shù)、一元二次方程、一元二次不等式這三類(lèi)數(shù)學(xué)問(wèn)題，均可以歸納到同一個(gè)平面直角坐標(biāo)系上，引導(dǎo)學(xué)生觀察圖象、構(gòu)造解析式解決實(shí)際問(wèn)題.

2.3 類(lèi)比數(shù)學(xué)知識(shí)，重構(gòu)教學(xué)框架

在高中數(shù)學(xué)課堂上，類(lèi)比推理方法具有知識(shí)整合的應(yīng)用優(yōu)勢(shì)，因此教師可以引導(dǎo)學(xué)生類(lèi)比數(shù)學(xué)知識(shí)，重構(gòu)單元知識(shí)框架.學(xué)生在建構(gòu)和完善知識(shí)結(jié)構(gòu)的過(guò)程中，可以靈活運(yùn)用類(lèi)比推理方法，將有相似點(diǎn)的數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)、數(shù)學(xué)要素關(guān)聯(lián)起來(lái)，并在思維導(dǎo)圖上詳細(xì)分析數(shù)學(xué)語(yǔ)言的表達(dá)規(guī)律.

以高一年級(jí)的“函數(shù)”知識(shí)模塊為例，學(xué)生可以按照一次函數(shù)、二次函數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)的順序，運(yùn)用類(lèi)比推理方法歸納總結(jié)知識(shí)點(diǎn).教師可以設(shè)計(jì)循序漸進(jìn)的課堂探究性任務(wù)，重構(gòu)教學(xué)框架，關(guān)注學(xué)情與學(xué)習(xí)目標(biāo)之間的差距.

（1）在一次函數(shù)y=（2m+2）x+4中，y隨著x的增大而增大，那么m的取值范圍為.

（2）如果函數(shù)f（x）=x²+bx+c對(duì)任意實(shí)數(shù)t都有f（2+t）=f（2-t），那么f（2）f（1）f（4）.

（3）在函數(shù)y=1x²，y=3x³，y=x²+2x，y=x-1，y=x⁰中，冪函數(shù)有個(gè).

（4）已知函數(shù)f（x）=a+22^x+1的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，則a的值為.

（5）若函數(shù)y=f（x）是函數(shù)y=a^x（agt;0，且a≠1）的反函數(shù)，其圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（a，a），則f（x）的解析式是.

（6）已知π2lt;θlt;π，sin（π2+θ）=-35，則tan（π-θ）的值為.

在類(lèi)比六種函數(shù)的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)時(shí)，師生應(yīng)選用類(lèi)比推理方法，將上述例題所考查的知識(shí)點(diǎn)梳理出來(lái)，在學(xué)生“分析問(wèn)題→探究問(wèn)題→解決問(wèn)題”的過(guò)程中，提高學(xué)生的類(lèi)比推理和邏輯思維能力.（1）～（3）題非?；A(chǔ)，（4）～（6）題則綜合考查學(xué)生對(duì)函數(shù)知識(shí)的理解和實(shí)際掌握情況.在學(xué)生分析函數(shù)問(wèn)題時(shí)，教師可以從旁指導(dǎo)，適當(dāng)給予探究提示，并合理設(shè)置問(wèn)題情境、生活情境，使學(xué)生將函數(shù)知識(shí)遷移運(yùn)用到情境之中.

以（4）題為例，學(xué)生可以通過(guò)“關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)”這一條件，判斷出題目中的函數(shù)為奇函數(shù)，并利用f（0）=0可得到解，即f（0）=a+22⁰+1=a+1=0，求得a=-1.奇函數(shù)是“函數(shù)”知識(shí)模塊中應(yīng)用頻率比較高的基本性質(zhì)，在學(xué)生類(lèi)比推理、歸納總結(jié)數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)的過(guò)程中，容易忽略奇函數(shù)和偶函數(shù)，因此陷入解題誤區(qū)，將簡(jiǎn)單的問(wèn)題變復(fù)雜.在學(xué)生類(lèi)比數(shù)學(xué)知識(shí)的過(guò)程中，教師可以準(zhǔn)確判斷出學(xué)情和教學(xué)框架之間的差異，據(jù)此，動(dòng)態(tài)化調(diào)整課堂教學(xué)環(huán)節(jié).在學(xué)生運(yùn)用類(lèi)比推理方法時(shí)，教師可以適當(dāng)給予提示，使其找到“最優(yōu)”的問(wèn)題解法.

2.4 類(lèi)比數(shù)學(xué)問(wèn)題，鍛煉解決能力

在高中數(shù)學(xué)課堂上，教師可以通過(guò)類(lèi)比數(shù)學(xué)問(wèn)題等方式，鍛煉學(xué)生的數(shù)學(xué)問(wèn)題解決能力.類(lèi)比推理方法兼具知識(shí)整合、思維訓(xùn)練等應(yīng)用優(yōu)勢(shì)，因此可以根據(jù)學(xué)生的實(shí)際學(xué)情，量入為出地安排學(xué)習(xí)活動(dòng)和任務(wù).教師可以將易于理解的數(shù)學(xué)問(wèn)題，共享給特定小組的學(xué)生，鼓勵(lì)其通過(guò)小組合作、探究實(shí)踐等方式共同解決問(wèn)題.

以向量、解析幾何、立體幾何等學(xué)生難以攻克的數(shù)學(xué)問(wèn)題為例，教師可以循序漸進(jìn)地安排學(xué)生參與探究實(shí)踐項(xiàng)目，使其運(yùn)用類(lèi)比推理等方法，總結(jié)歸納出三者之間的關(guān)系.

（1）已知a=3，b=（1，2），且a⊥b，則a的坐標(biāo)為.

（2）已知平面內(nèi)有△ABC，點(diǎn)A（-1，4），B（3，-2），C（x，y），若△ABC為等腰直角三角形，求點(diǎn)C的坐標(biāo).

（3）已知△ABC為等腰直角三角形，AB為斜邊，△ABD為等邊三角形，若二面角C-AB-D為150°，則直線(xiàn)CD與平面ABC所成角的正切值為.

向量、解析幾何、立體幾何三個(gè)知識(shí)模塊有相似之處，也是學(xué)生運(yùn)用類(lèi)比推理方法的重要依據(jù).教師應(yīng)循序漸進(jìn)地引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)合作探究上述例題，將抽象復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題轉(zhuǎn)化成數(shù)量化的運(yùn)算問(wèn)題.

在（3）題中，“二面角”與“平面角”是學(xué)生運(yùn)用類(lèi)比推理方法解決問(wèn)題的切入點(diǎn).在數(shù)學(xué)知識(shí)從二維過(guò)渡到三維的過(guò)程中，學(xué)生可以快速發(fā)展數(shù)學(xué)思維、空間想象能力.若題目中有非常明顯的等量關(guān)系，則可以將平面拓展延伸到空間維度，運(yùn)用勾股定理，引導(dǎo)學(xué)生提出假設(shè)，并在問(wèn)題情境中完成探究性任務(wù).學(xué)生應(yīng)運(yùn)用類(lèi)比推理方法，確定△ABC，△ABD與二面角C-AB-D之間的空間位置關(guān)系，根據(jù)正切值=對(duì)邊/鄰邊的計(jì)算公式，快速得出計(jì)算結(jié)果.在學(xué)生類(lèi)比數(shù)學(xué)問(wèn)題的過(guò)程中，可以“大膽猜想”“小心驗(yàn)證”，將類(lèi)比推理方法從概念、知識(shí)延伸到具體的問(wèn)題層面上，鍛煉自己的問(wèn)題解決能力.教師可以根據(jù)學(xué)生的實(shí)際學(xué)情，適當(dāng)引導(dǎo)其拓展類(lèi)比推理的數(shù)學(xué)解題思路.此外，教師需要鼓勵(lì)學(xué)生展示自己的類(lèi)比推理思路，并將相似的數(shù)學(xué)問(wèn)題歸納到筆記上.綜上所述，鍛煉高中生的問(wèn)題解決能力，是在課堂上運(yùn)用類(lèi)比推理等數(shù)學(xué)方法的重要教學(xué)目標(biāo).

3 結(jié)束語(yǔ)

在高中數(shù)學(xué)課堂的教學(xué)活動(dòng)中，類(lèi)比推理是鍛煉學(xué)生思維能力、問(wèn)題解決能力的重要教學(xué)工具.教師應(yīng)結(jié)合類(lèi)比推理的知識(shí)整合、思維訓(xùn)練優(yōu)勢(shì)，根據(jù)學(xué)生的實(shí)際學(xué)情，有的放矢地在課堂上滲透類(lèi)比推理方法.在數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)方法、數(shù)學(xué)知識(shí)、數(shù)學(xué)問(wèn)題的課堂教學(xué)環(huán)節(jié)中，教師應(yīng)找準(zhǔn)類(lèi)比推理與教學(xué)活動(dòng)的切入點(diǎn)，并引導(dǎo)學(xué)生掌握數(shù)學(xué)工具的差異性特征，結(jié)合實(shí)際學(xué)情重構(gòu)課堂教學(xué)框架，著重鍛煉高中生的數(shù)學(xué)問(wèn)題解決能力.

參考文獻(xiàn)：

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[責(zé)任編輯：李 璟]