耦合風(fēng)場四旋翼植保無人機下洗流與霧滴分布研究

摘要：旋翼植保無人機噴藥過程中霧滴與旋翼旋轉(zhuǎn)產(chǎn)生的下洗流場和外界風(fēng)場高度耦合作用，直接影響施藥品質(zhì)。因此基于拉格朗日多相流模型對耦合風(fēng)場的四旋翼植保無人機下洗流、有無下洗霧滴分布和含風(fēng)場霧滴分布規(guī)律進行數(shù)值分析計算，通過旋翼風(fēng)速測量試驗驗證數(shù)值計算方法的可靠性。結(jié)果表明，旋翼下洗氣流在軸間中垂線上互相吸引，會發(fā)生氣流聚合現(xiàn)象，最大氣流速度為14 m/s；隨著風(fēng)場作用，迎風(fēng)側(cè)氣流受到擠壓逐漸向背風(fēng)側(cè)偏轉(zhuǎn)，風(fēng)速過大超過3 m/s下洗流已逐漸失去對風(fēng)抗干擾能力；有下洗氣流作用時沉積時間相比無下洗流作用時加快10倍，提高施藥效率；風(fēng)速的增加導(dǎo)致霧滴的沉積范圍變大，當(dāng)風(fēng)速達到2～3 m/s時漂移增加，出現(xiàn)復(fù)噴現(xiàn)象更加嚴(yán)重。

關(guān)鍵詞：植保無人機；計算流體力學(xué)；數(shù)值仿真；下洗流場；霧滴分布

中圖分類號：S494； O359

文獻標(biāo)識碼：A

文章編號：20955553 （2024） 070081

06

Research on downwash flow and droplet distribution of four-rotor plant

protection UAV coupling with wind field

Li Renfeng1， Han Shunkai1， Yang Fengbo2

（1. School of Aero Engine， Zhengzhou University of Aeronautics， Zhengzhou， 450046， China；

2. College of Mechanical and Electronic Engineering， Nanjing Forestry University， Nanjing， 210037， China）

Abstract：

In the spraying process of the rotor plant protection UAV， the droplets is highly coupled with downwash flow field generated by the rotation of rotor and the external wind field， which directly affects the spraying quality. Therefore， based on the Lagrangian multiphase flow model， this paper conducts numerical analysis and calculation on the downwash flow of the four-rotor plant protection UAV with coupled wind field， the distribution of droplets with or without downwash， and the distribution of droplets with wind field. The reliability of the numerical calculation method is verified by the rotor wind speed measurement test. The results show that the rotor downwash flow attracts each other on the vertical line between the axes， and the flow convergence will occur. The maximum airflow velocity is 14 m/s. With the effect of the wind field， the airflow on the windward side is squeezed and gradually deflects to the leeward side. When the wind speed exceeds 3 m/s， the downwash flow has gradually lost its ability to resist wind interference. The deposition time with downwash flow is 10 times faster than that without downwash flow， which improves the application efficiency. The increase of wind speed leads to the larger deposition range of droplets and the phenomenon of re-spraying is more serious when the wind speed reaches 2-3 m/s.

Keywords：

plant protection UAV; computational fluid dynamics; numerical simulation; downwash flow; droplet distribution

0 引言

現(xiàn)代農(nóng)業(yè)領(lǐng)域中，多旋翼植保無人機廣泛用于農(nóng)作物防蟲害施藥作業(yè)，具有成本低、不受空間限制、節(jié)省人力等優(yōu)勢［13］。無人機噴灑農(nóng)藥過程受到多旋翼下洗流場、飛行相對氣流流場和外界環(huán)境風(fēng)力等多方面的耦合作用，最終藥滴沉積到植被區(qū)域，也有部分藥液會漂移到其他區(qū)域。在這些復(fù)雜氣流作用下，下洗氣流可以起到垂向加速沉積的作用，但多旋翼產(chǎn)生的復(fù)雜尾渦和其他風(fēng)場帶來的不確定性同時也會影響低空施藥的效果，甚至出現(xiàn)某些區(qū)域重復(fù)噴灑和漏噴等現(xiàn)象，最終導(dǎo)致農(nóng)藥利用率的顯著降低和某些植被的破壞［4， 5］。

目前對于無人機噴藥的研究包括試驗和仿真方法，試驗方法存在成本高和測試過程復(fù)雜等缺陷，隨著計算流體力學(xué)（Computational Fluid Dynamics，CFD）技術(shù)的不斷發(fā)展，現(xiàn)逐漸在農(nóng)業(yè)機械領(lǐng)域取得廣泛應(yīng)用。考慮各種結(jié)構(gòu)和環(huán)境等復(fù)雜因素下的植保無人機流場動力學(xué)模型不斷建立，作業(yè)參數(shù)、風(fēng)場等對于霧滴沉積和漂移等問題的影響也在持續(xù)進行中。Yang等［6， 7］以SLK-5六旋翼植保無人機為研究對象，對風(fēng)場導(dǎo)致的霧滴運動開展相關(guān)數(shù)值研究。Zhang等［8］針對Thrush 510G型固定翼飛機的二維模型進行有無側(cè)風(fēng)影響的研究，分析側(cè)風(fēng)環(huán)境帶來的渦流場的演化過程。楊知倫等［9］利用流體仿真方法研究XV-2植保無人機旋翼下洗氣流的速度分布特性，深入分析下洗流對霧滴運動方式的影響并進行實地測試。王景旭等［10］采用拉格朗日離散相模型捕捉霧滴軌跡，結(jié)合試驗和數(shù)值方法研究噴霧角度、速度和霧滴粒徑與沉積率的關(guān)系。張宋超等［11］結(jié)合田間試驗和CFD兩相流數(shù)值計算建立N-3型單旋翼無人機的沉積率和飄移預(yù)測模型并進行深入研究。張健等［12］以小型多旋翼植保無人機為研究對象，開展環(huán)境風(fēng)速對六旋翼植保無人機下洗流和霧滴沉積數(shù)值計算。陳盛德等［13］針對平面扇形噴頭和標(biāo)準(zhǔn)壓力噴頭分別研究航空植保噴施過程中側(cè)向風(fēng)對霧滴沉積和飄移的影響。目前，風(fēng)場對四旋翼無人機下洗流場和霧滴分布影響的研究盡管已取得一定成果，但對于不同無人機結(jié)構(gòu)結(jié)果仍然存在較大差異，因此有必要探索風(fēng)場、下洗流和霧滴漂移之間的相互作用規(guī)律。

本文以四旋翼植保無人機為研究對象，采用基于DPM的多相模型對無人機耦合風(fēng)場下的下洗流場、有無下洗流霧滴沉積和含風(fēng)場霧滴沉積分布規(guī)律進行數(shù)值研究，進而深入探索風(fēng)場、下洗流耦合作用下霧滴的運動軌跡。

1 理論基礎(chǔ)與計算模型

1.1 控制方程

1.1.1 氣相控制方程

將坐標(biāo)系定義在慣性系上，建立以絕對物理量為參數(shù)的守恒積分形式的N-S方程作為氣體連續(xù)相方程。

三維N-S方程的守恒形式［14， 15］為

Ut+（F-Fv）t+（G-Gv）t+（H-Hv）t=0

（1）

U=［ρ，ρu，ρv，ρw，ρe］T

F=［ρu，ρu2+p，ρuv，ρuw，ρu（e+V2/2）+p/ρ］T

G=［ρv，ρuv，ρv2+p，ρvw，ρv（e+V2/2+p/ρ）］T

H=［ρw，ρuw，ρvw，ρw2+p，ρw（e+V2/2+p/ρ）］T

（2）

Fv=［0，τxx，τxy，τxz，kT/x+uτxx+vτxy+wτxz］T

Gv=［0，τyx，τyy，τyz，kT/y+uτyx+vτyy+wτyz］T

Hv=［0，τzx，τzy，τzz，kT/z+uτzx+vτzy+wτzz］T

（3）

式中：

U——流動向量；

F、G、H——通量矢量；

t——時間；

Fv、Gv、Hv——黏性通量矢量；

k——熱傳導(dǎo)系數(shù)；

T——氣體溫度；

p、ρ、e、μ、V——

壓強、密度、內(nèi)能、黏性系數(shù)和速度；

u、v、w——速度在x、y、z方向上的分量；

τxx、τyy、τzz、τxy、τxz、τyz——不同方向的剪切力。

1.1.2 顆粒相控制方程

無人機噴霧為氣—液兩相流問題，霧滴漂移沉積受旋翼下洗氣流作用的影響，文中采用DPM離散相模型來模擬噴藥霧滴的變化。霧滴運動方程采用歐拉—拉格朗日方法求解［16］，如式（4）所示。

dupdt=

18μCDRe24ρpdp2（u－up）+gx（ρp－ρ）ρp+

12ρρpddt（u－up）

（4）

式中：

u——連續(xù)相速度；

up——顆粒的速度；

μ——氣體動力黏度；

ρp——顆粒的密度；

dp——顆粒的直徑；

gx——重力加速度；

Re——相對雷諾數(shù)；

CD——曳力系數(shù)。

Taylor比擬破碎模型即TAB模型適合低韋伯?dāng)?shù)射流霧化，韋伯?dāng)?shù)很大情況下，霧滴會發(fā)生破碎，控制方程如式（5）所示。

F－Kx－Ddxdt=md2xdt2

（5）

式中：

x——

實際的噴霧顆粒軌跡與球形顆粒軌跡兩者之間的位移數(shù)值；

K、D——系數(shù)，來源于泰勒模型；

m——液滴質(zhì)量；

F——液滴阻力。

1.1.3 SST k-ω湍流模型

旋翼旋轉(zhuǎn)過程中會產(chǎn)生較大的下洗渦流，SST k-ω湍流模型［17， 18］為剪切應(yīng)力輸運模型，該模型運用混合函數(shù)，將k-ε和k-ω兩方程模型更加有效地結(jié)合起來，能夠充分發(fā)揮k-ω模型對自由來流的處理優(yōu)勢以及k-ω模型對壁面流動的優(yōu)勢。具體表達式為

（ρk）t+（ρuik）xi=xjΓkkxj+Gk-Yk+Sk

（6）

（ρω）t+（ρujω）xj=

xjΓωωxj+Gω-Yω+

Dω+Sω

（7）

式中：

Gk——

平均速度梯度引起的湍動能k的產(chǎn)生項；

Gω——ω的產(chǎn)生項；

Γk、Γω——k、ω的有效擴散率；

Yk、Yω——k、ω由于湍流引起的耗散；

Dω——橫向擴散項；

Sk、Sω——用戶自定義源項。

1.2 四旋翼植保無人機物理模型

根據(jù)四旋翼植保無人機實物模型，建立其三維幾何模型，將靜止區(qū)域和旋翼區(qū)域分為兩個部分，并建立各個區(qū)域多面體高精度網(wǎng)格，為保證計算精確性，在旋翼壁面和機體壁面表面添加邊界層，第一層邊界高度為1 mm。最終建立的幾何與網(wǎng)格模型如圖1和圖2所示。

1.3 植保無人機施藥噴霧計算條件

四旋翼植保無人機工作在開放的自然環(huán)境中，因此在無人機外側(cè)較大區(qū)域建立外部自由空間區(qū)域。根據(jù)無人機整機測試尺寸以及模型簡化需要，建立包含四個旋翼部分的圓柱體旋轉(zhuǎn)區(qū)域和外界自由空間靜止區(qū)域，其中靜止外區(qū)域為6 m×6 m×3.5 m的長方體區(qū)域，定義無人機前進方向為x正方向，z軸正方向為上升方向，旋翼旋轉(zhuǎn)速度為3 000 r/min，相鄰旋翼旋轉(zhuǎn)方向相反。為模擬耦合風(fēng)場下洗流與霧滴沉積的影響，設(shè)置x負方向為迎風(fēng)速度入口，風(fēng)速大小取值區(qū)間為1～3 m/s，具體計算區(qū)域和邊界條件設(shè)置如圖3所示，無人機壁面和地面均為無滑移壁面邊界條件。

霧滴計算采用壓力旋流霧化模型，4個噴嘴分別位于4個旋翼下方400 mm位置處，每個噴嘴噴射粒子數(shù)量為100，初始噴射流量為0.005 kg/s，霧化半錐角為45°，霧化器直徑為1 mm，流體物理參數(shù)見表1。同時設(shè)置速度入口和壓力出口邊界為霧滴逃逸，地面為液膜，無人機機體壁面為反彈。

1.4 數(shù)值方法驗證

為驗證下洗流計算數(shù)值方法的可靠性，針對懸停狀態(tài)下的四旋翼植保無人機開展了風(fēng)速測試試驗，分別于4個旋翼正下方1 m和2 m位置布置測試點進行風(fēng)速測試，室外溫度為20 ℃，測點分布如圖4所示。

測試試驗與數(shù)值計算結(jié)果誤差如圖5所示，圖5（a）為懸停工況計算穩(wěn)定后yoz切面的Z方向速度分布云圖，圖5（b）給出了8個典型觀測點Z方向速度測量值和數(shù)值計算值相對誤差的絕對值分布。風(fēng)速誤差基本控制在11%以內(nèi)，數(shù)值計算基本滿足工程計算的精度要求。

2 耦合風(fēng)場四旋翼植保無人機下洗流與噴霧分布

2.1 耦合風(fēng)場旋翼植保機下洗流場分析

農(nóng)用植保無人機田間作業(yè)的顯著特征之一就是存在旋翼下洗氣流，其對無人機飛行和噴施作業(yè)效果有著決定性作用。圖6為無風(fēng)場四旋翼植保無人機下洗流線圖，兩旋翼的下洗氣流在軸間中垂線上互相吸引，發(fā)生氣流聚合現(xiàn)象，中心區(qū)域壓強降低，兩側(cè)對中心產(chǎn)生擠壓作用，最大氣流速度為14 m/s；遠離旋翼后速度降低，當(dāng)中心聚合減弱后出現(xiàn)向外擴張的形態(tài)，由于靠近地面后的合并區(qū)域內(nèi)限制氣流的運動，且在地面作用下產(chǎn)生了反彈，進而在中心處形成近地渦流區(qū)域。

圖7分別為不同迎風(fēng)氣流風(fēng)速下yoz截面氣流速度場分布。

由圖7可知，當(dāng)迎風(fēng)氣流為1 m/s時，來流沖擊旋翼下洗流場，下洗氣流在近地面出現(xiàn)反彈，進而與來流相互作用旋轉(zhuǎn)形成較大漩渦，隨著風(fēng)速的增加，該渦逐漸向迎風(fēng)側(cè)旋翼下洗氣流處移動，中心位置由于聚合所產(chǎn)生的近地渦流由于擠壓逐漸消失，迎風(fēng)側(cè)氣流受到擠壓逐漸向背風(fēng)側(cè)偏轉(zhuǎn)，若繼續(xù)增加風(fēng)速，則下洗流將失去對風(fēng)抗干擾能力；縱觀結(jié)果可得迎風(fēng)風(fēng)速在3 m/s范圍之內(nèi)時，在一定程度上可抵抗風(fēng)的擾動，繼續(xù)增加風(fēng)速將達到臨界使得聚合現(xiàn)象失效。

2.2 有無下洗流場霧滴沉積分布

圖8為在相同時間內(nèi)有無下洗流場噴霧霧滴運動軌跡分布規(guī)律，由圖8可知，當(dāng)旋翼不旋轉(zhuǎn)時即不存在下洗氣流，從噴頭噴出的霧滴比較分散，與設(shè)置的噴射角度基本相同；隨著霧滴的運動，在運動一段距離后由于動力減小，因此僅靠重力向下運動，因此位于中間的一些小直徑霧滴容易漂移并消失。對比有無下洗氣流圖可以看到在下洗流的影響下，霧滴更容易集中在施藥中心區(qū)域，位于中間核心位置的小直徑霧滴受到下洗氣流的作用，更多的沉積在了植被上。從計算進程上分析，由于下洗氣流的作用，其沉積時間相比較無下洗流作用時加快了10倍以上，因此下洗流作用使得藥滴更快沉積，可提高施藥效率。

2.3 耦合風(fēng)場霧滴沉積分布

2.3.1 噴藥霧滴軌跡分析

圖9為不同迎風(fēng)風(fēng)速時噴藥霧滴軌跡分布，由圖9可知，當(dāng)采用壓力旋流噴霧模式進行噴霧計算時，小的霧滴顆粒會集中在中心區(qū)域，隨著向外擴展，霧滴直徑逐漸增加。當(dāng)存在風(fēng)速時，由于來流風(fēng)速的影響，根據(jù)風(fēng)速大小的不同，霧滴沉積區(qū)間發(fā)生改變；隨著風(fēng)速的增加，靠近地面的霧滴逐漸向外側(cè)空間后方偏移，出現(xiàn)重噴現(xiàn)象，對于農(nóng)作物的安全有較大影響，旋翼下方地面區(qū)域沉積藥滴的量減少，達不到理想的效果。

2.3.2 霧滴沉積分布范圍

不同植物冠層高度具有差異，因此分別針對距離地面0.5 m、1.0 m和1.5 m高度的霧滴沉積分布進行了統(tǒng)計，如圖10所示。

當(dāng)高度為1.5 m時，距離旋翼較近，因此下洗流對于霧滴的氣流作用相對較強，霧滴隨著氣流速度增加有所偏移，迎風(fēng)側(cè)漂移大于背風(fēng)側(cè)，風(fēng)速為3 m/s時最大漂移距離約為0.2 m；當(dāng)高度為1.0 m時，隨著風(fēng)速的增加，迎風(fēng)側(cè)氣流向背風(fēng)側(cè)氣流處偏移，迎風(fēng)氣流下最大風(fēng)速偏移距離達到0.5 m；當(dāng)高度為0.5 m時，風(fēng)速為最大時前后旋翼處的霧滴出現(xiàn)重復(fù)噴的現(xiàn)象，且迎風(fēng)側(cè)霧滴的分布較為紊亂，重復(fù)沉積范圍變大，在速度達到2～3 m/s時向兩側(cè)漂移較為嚴(yán)重。

3 結(jié)論

以四旋翼植保無人機為研究對象，通過數(shù)值模擬、試驗驗證等研究手段，研究耦合風(fēng)場旋翼下洗氣流場分布規(guī)律，基于拉格朗日多相模型開展風(fēng)場對噴霧霧滴分布的影響。

1） 旋翼下洗氣流在軸間中垂線上互相吸引，會發(fā)生氣流聚合現(xiàn)象，最大氣流速度達到14 m/s；隨著距旋翼高度位移的增加，下洗氣流速度逐漸降低，氣流向外擴散，同時中心區(qū)域在地面附近相互作用產(chǎn)生反射流，形成近地渦。

2） 風(fēng)場作用使得下洗氣流在近地面出現(xiàn)反彈，與來流相互作用后形成較大渦流，且隨著風(fēng)速的增加，渦逐漸向迎風(fēng)側(cè)移動，中心位置近地渦流由于擠壓逐漸消失。

3） 下洗流的作用使得霧滴更容易集中在施藥區(qū)域，沉積速度提高了10倍，提升了施藥效率。風(fēng)場作用下霧滴的沉積范圍變大，距離旋翼越遠漂移越嚴(yán)重，且在風(fēng)速達到2～3 m/s時會出現(xiàn)重復(fù)噴現(xiàn)象，對植物安全性有不利影響。

參 考 文 獻

［1］Lan Yubin， Chen Shengde， Fritz B K. Current status and future trends of precision agricultural aviation technologies ［J］. International Journal of Agricultural and Biological Engineering， 2017， 10（3）： 1-17.

［2］He Xiongkui， Bonds J， Herbst A， et al. Recent development of unmanned aerial vehicle for plant protection in East Asia ［J］. International Journal of Agricultural and Biological Engineering， 2017， 10（3）： 18-30.

［3］張東彥， 蘭玉彬， 陳立平， 等. 中國農(nóng)業(yè)航空施藥技術(shù)研究進展與展望［J］. 農(nóng)業(yè)機械學(xué)報， 2014， 45（10）： 53-59.

Zhang Dongyan， Lan Yubin， Chen Liping， et al. Current status and future trends of agricultural aerial spraying technology in China ［J］. Transactions of the Chinese Society for Agricultural Machinery， 2014， 45（10）： 53-59.

［4］張平. 旋翼無人機下洗流場霧滴沉積理論分析與試驗研究［D］. 大慶： 黑龍江八一農(nóng)墾大學(xué)， 2021.

Zhang Ping. Theoretical analysis and experimental study of the droplet deposition in the downwash flow field of rotor UAV ［D］. Daqing： Heilongjiang Bayi Agricultural University， 2021.

［5］張豪， 祁力鈞， 吳亞壘， 等. 無人機果樹施藥旋翼下洗氣流場分布特征研究［J］. 農(nóng)業(yè)工程學(xué)報， 2019， 35（18）： 44-54.

Zhang Hao， Qi Lijun， Wu Yalei， et al. Distribution characteristics of rotor downwash airflow field under spraying on orchard using unmanned aerial vehicle ［J］. Transactions of the Chinese Society of Agricultural Engineering， 2019， 35（18）： 44-54.

［6］Yang Fengbo， Xue Xinyu， Cai Chen， et al. Numerical simulation and analysis on spray drift movement of multirotor plant protection unmanned aerial vehicle ［J］. Energies， 2018， 11（9）： 2399.

［7］楊風(fēng)波， 薛新宇， 蔡晨， 等． 多旋翼植保無人機懸停下洗氣流對霧滴運動規(guī)律的影響［J］. 農(nóng)業(yè)工程學(xué)報， 2018， 34（2）： 64-73.

Yang Fengbo， Xue Xinyu， Cai Chen， et al. Effect of down wash airflow in hover on droplet motion law for multi-rotor unmanned plant protection machine ［J］. Transactions of the Chinese Society of Agricultural Engineering， 2018， 34（2）： 64-73.

［8］Zhang Bin， Tang Qing， Chen Liping， et al. Numerical simulation of wake vortices of crop spraying aircraft close to the ground ［J］. Biosystems Engineering， 2016， 145： 52-64.

［9］楊知倫， 葛魯振， 祁力鈞， 等. 植保無人機旋翼下洗氣流對噴幅的影響研究［J］. 農(nóng)業(yè)機械學(xué)報， 2018， 49（1）： 116-122.

Yang Zhilun， Ge Luzhen， Qi Lijun， et al. Influence of UAVrotor down-wash airflow on spray width ［J］. Transactions of the Chinese Society for Agricultural Machinery， 2018， 49（1）： 116-122.

［10］王景旭， 祁力鈞， 夏前錦. 靶標(biāo)周圍流場對風(fēng)送噴霧霧滴沉積影響的CFD模擬及驗證［J］. 農(nóng)業(yè)工程學(xué)報， 2015， 31（11）： 46-53.

Wang Jingxu， Qi Lijun， Xia Qianjin. CFD simulation and validation of trajectory and deposition behavior of droplets around target affected by air flow field in greenhouse ［J］. Transactions of the Chinese Society of Agricultural Engineering， 2015， 31（11）： 46-53.

［11］張宋超， 薛新宇， 秦維彩， 等. N-3型農(nóng)用無人直升機航空施藥飄移模擬與試驗［J］. 農(nóng)業(yè)機械學(xué)報， 2015， 31（3）： 87-93.

Zhang Songchao， Xue Xinyu， Qin Weicai， et al. Simulation and experimental verification of aerial spraying drift on N-3 unmanned spraying helicopter ［J］. Transactions of the Chinese Society for Agricultural Engineering， 2015， 31（3）： 87-93.

［12］張健， 張超， 陳青， 等. 環(huán)境風(fēng)速對六旋翼無人機下洗氣流和霧滴沉積影響研究［J］. 農(nóng)業(yè)機械學(xué)報， 2022， 53（8）： 74-81.

Zhang Jian， Zhang Chao， Chen Qing， et al. Effect of ambient wind speed on downwash airflow and droplet deposition for six-rotor UAV ［J］. Transactions of the Chinese Society of Agricultural Engineering， 2022， 53（8）： 74-81.

［13］陳盛德， 展義龍， 蘭玉彬， 等. 側(cè)向風(fēng)對航空植保無人機平面扇形噴霧霧滴滴飄移的影響［J］. 華南農(nóng)業(yè)大學(xué)學(xué)報， 2021， 42（4）： 89-98.

Chen Shengde， Zhan Yilong， Lan Yubin， et al. Influence of crosswind on droplet drift of flat-fan nozzle in aviation plant protection UAV ［J］. Journal of South China Agricultural University， 2021， 42（4）： 89-98.

［14］Anderson J D. 吳頌平， 劉趙淼， 譯. 計算流體力學(xué)基礎(chǔ)及其應(yīng)用［M］. 北京： 機械工業(yè)出版社， 2007.

［15］王福軍. 計算流體動力學(xué)分析： CFD軟件原理與應(yīng)用［M］. 北京： 清華大學(xué)出版社， 2004.

［16］黃先北， 楊碩， 劉竹青， 等. 基于顆粒軌道模型的離心泵葉輪泥沙磨損數(shù)值預(yù)測［J］. 農(nóng)業(yè)機械學(xué)報， 2016， 47（8）： 35-41.

Huang Xianbei， Yang Shuo， Liu Zhuqing， et al. Numerical simulation of erosion prediction in centrifugal pump based on particle track model ［J］. Transactions of the Chinese Society for Agricultural Engineering， 2016， 47（8）： 35-41.

［17］Menter F R， Kuntz M， Langtry R. Ten years of experience with the SST turbulence model ［J］. Heat and Mass Transfer， 2003， 4： 625-632.

［18］Behery S M， Mofreh H H. A comparative study of turbulence models performance for separating flow in a planar asymmetric diffuser ［J］. Computers and Fluids， 2011， 44： 248-257.